(2) Korzystaj¸ac z kryteri´ow d’Alemberta i Cauchy’ego znale´z´c promienie zbie˙zno´sci podanych szereg´ow pot¸egowych (zak ladamy, ˙ze x ≥ 0

Matematyka dla Chemik´ow Lista 9

(1) Korzystaj¸ac z kryterium por´ownawczego i twierdze´n o zbie˙zno´sci szeregu geometrycznego i o zbie˙zno´sci szereguP∞

i=1 1

n^r sprawdzi´c czy nasti¸epuj¸ace szeregi si¸a zbie˙zne/rozbie˙zne:

∞

X

i=1

1

1 + aⁿ , gdzie a > 0,

∞

X

i=1

1 pn(1 + n),

∞

X

i=1

2ⁿsin a

3ⁿ , gdzie a > 0.

(2) Korzystaj¸ac z kryteri´ow d’Alemberta i Cauchy’ego znale´z´c promienie zbie˙zno´sci podanych szereg´ow pot¸egowych (zak ladamy, ˙ze x ≥ 0):

∞

X

n=0

xⁿ,

∞

X

n=1

xⁿ nⁿ,

∞

X

n=1

nxⁿ⁻¹,

∞

X

n=1

n!xⁿ

nⁿ, e^x= 1 +

∞

X

n=1

xⁿ n!.

(3) Napisa´c szereg Taylora dla podanych funkcji i punkt´ow x0(napisa´c pierwsze cztery niezerowe wyrazy i znale´z´c posta´c n-go wyrazu szeregu):

f (x) = x^−1/2, dla x₀= 1, f (x) = cos x, dla x₀= 0, f (x) = ln(1 + x), dla x0= 0, f (x) = sin x, dla x0= 0.

(4) Oszacowa´c dok ladno´sci wzor´ow przybli˙zonych na podanych przedzia lach:

sin x ≈ x −x³

6 dla |x| < π

6, ln(1 + x) ≈ x −x²

2 dla |x| < 1 10.

1