TEORIA POLA. OPERATORY RÓŻNICZKOWE.

(1)

MP-C1-1

ĆWICZENIE 1

TEORIA POLA. OPERATORY RÓŻNICZKOWE.

Operator różniczkowy Hamiltona (nabla)

= i+ j+ k= , ,

x y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 

 

 

Operator różniczkowania przestrzennego, formalnie traktowany jako wektor.

Gradient

grad = i+ j+ k = i+ j+ k= , ,

x y z x y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

        

      

   

W wyniku mnożenia operatora nabla i wielkości skalarnej =(x,y,z) otrzymuje się wektor gradientu pola skalarnego  (gradient). Gradient wskazuje kierunek zmian wielkości skalarnej .

Każdemu polu skalarnemu  można przypisać wektorowe pole gradientu W= W ,W ,W _x _y _z . Operacja odwrotna nie zawsze jest możliwa. Jeżeli istnieje pole skalarne  takie, że W=grad to pole wektorowe

W nazywamy polem potencjalnym.

Dywergencja

x y z

W W W

W divW W W W

x, y, z , , x  y z

        

            

W wyniku mnożenia operatora nabla i wielkości wektorowej W W W W_x, _y, _z otrzymuje się wielkość skalarną, zwaną dywergencją lub rozbieżnością pola wektorowego.

Jeżeli pole wektorowe jest polem prędkości przepływu U U U U_x, _y, _z to dywergencja prędkości mówi o tym, czy w rozpatrywanym obszarze płynnym istnieją jakieś źródła płynu.

divU0 w rozpatrywanym punkcie obszaru płynnego istnieją dodatnie źródła płynu o jednostkowej wydajności równej divU

divU0 w rozpatrywanym punkcie obszaru płynnego istnieją ujemne źródła płynu, tzw.

upust

divU0 w rozpatrywanym punkcie obszaru płynnego nie istnieją źródła płynu, pole jest bezźródłowe

Rotacja

y y

z x z x

x y z

x y

W W

W W W W

y z z x x y

z

i j k

W rotW

W W W

, ,

 

   

  

     

  

      

 

(2)

MP-C1-2 W wyniku mnożenia operatora nabla i wielkości wektorowej W W W W_x, _y, _z otrzymuje się wielkość wektorową zwaną rotacją pola wektorowego.

Jeżeli pole wektorowe Wopisuje pole prędkości przepływu U U U U_x, _y, _z to wartość rotacji tego pola wskazuje na ruch wirowy elementów płynu.

y y

z x z x

x y z

X Y Z

x y z

i j k

U U

U U U U

rotU y z z x x y

U U U

, ,

 

  



 

    

                  

rotU0 przepływ wirowy rotU0 przepływ bezwirowy

Tożsamości:

a) div grad  

 

²₂ ²₂ ²₂ ²₂ ²₂ ²₂ ²

div grad

x, y, z x, y, z x y z  x y z 

                

                       

Wniosek: dywergencja gradientu skalara  to Δ laplasjan skalara .

Laplasjan jest główną częścią wielu równań mechaniki płynów, m.in. równania Laplace’a, które rządzi tzw. przepływami potencjalnymi.

b) ^{div rotU}

 

^⁰

   

^z ^y ^x ^z ^y ^x

y y

z x z x

2 2

2 2 2 2

y y

z x z x

U U

U U U U

div rotU U

x y z y z z x x y

U U

U U U U

x y z y z x z x y

U U

U U U U

x y x z y z y x z x z y 0

, , ^ ^

, ,

^ ^

        

                  

 

      

    

               

 

   

      

           

Wniosek: Pola dla których dywergencja znika nazywamy polami bezźródłowymi.

c) ^{rot grad}



^{ }



⁰

   

_x _y ² ² ² ² ² ²

 

x y z

z

i j k

rot grad grad 0 0 0 0

y z z y, z x x z, x y y x , ,

 

  

  

             

                   

Wniosek: Pola dla których rotacja znika nazywamy polami bezwirowymi lub potencjalnymi.

(3)

MP-C1-3

Operator różniczkowania substancjalnego (pochodna materialna, pochodna substancjalna, operator Stokesa)

Operator różniczkowania materialnego określa tempo zmiany dowolnej własności związanej z elementarną objętością ciała, która może znajdować się w ruchu, w odróżnieniu od różniczkowania lokalnego – związanego z układem odniesienia, który zwykle uznaje się za nieruchomy.

Pochodna materialna jest szczególną interpretacją pochodnej funkcji wielu zmiennych, związaną z eulerowskim sposobem opisu ruchu płynu. Pokazuje ona, w jaki sposób zmienia się w czasie dowolny parametr charakteryzujący element płynu poruszający się w polu tego parametru.

D Ugrad

Dt t

  



gdzie:

D Dt

pochodna substancjalna (materialna)

obrazuje całość zmian jakim podlega znajdujący się w chwili czasu t w punkcie (x,y,z) element płynu

t



pochodna lokalna

obrazuje zmiany jakie zachodzą z upływem czasu dt w danym punkcie pola przepływu (tj. pokazuje zmiany wynikające z niestacjonarności pola przepływu)

Ugrad

pochodna konwekcyjna (unoszenia)

obrazuje zmiany jakie zachodzą przy przemieszczeniu w czasie dt elementu płynu z punktu (x,y,z) do punktu (x+dx,y+dy,z+dz)

Jeżeli H jest funkcją skalarną zmiennych Eulera ^HH t x t y t z t



,

     

, ,



DH H H dx H dy H dz

Dt t x dt y dt z dt

   

   

   

x y z

dx dy dz

U U U

dt  dt  dt 

x y z

DH H H H H H

U U U UgradH

Dt t x y z t

    

     

    

Zastosowanie operatora pochodnej materialnej do składowych pola prędkości pozwala obliczyć przyspieszenie materialne, tj. przyspieszenie elementu płynu poruszającego się w niestacjonarnym i niejednorodnym polu prędkości.