################################################################################
Równania ró żniczkowe zwyczajne.
Teoria jako ściowa z zastosowaniami
D. K. Arrowsmith, C. M. Palace
Tytuł oryginału : „Ordinary differential equations. A qualitative approach with applications”
Chapman and Hall 1982
Tłumaczenie z przekładu rosyjskiego Moskwa MIR 1986
********************************************************************************
Tłumaczenie z rosyjskiego: R. Waligóra
Ostatnia modyfikacja : 2011-09-10 Tłumaczenie całości książki.
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Wprowadzenie.
Przed lekturą prezentowanej książki dobrze byłoby, aby czytelnik dysponował podstawową wiedzą na temat własności i rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych oraz układów takich równań, oraz posiadał wiadomości na temat podstaw algebry macierzy. Podstawy związane z wymienionymi tematami można znaleźć np. w tekstach
Rozdział I – część II Macierze i wyznaczniki. Operatory liniowe.
Rozdział XII. Wprowadzenie do teorii równań różniczkowych zwyczajnych ( rrz ) lub wymienionej w nich literaturze (wstępnej ).
Rozszerzenie niektórych zagadnień prezentowanych w książce, zainteresowany czytelnik może znaleźć w następujących monografiach dostępnych w języku polskim :
1) „Jakościowa teoria równań różniczkowych” - Henryk Żołądek ; UW 2011
2) „Wstęp do teorii układów dynamicznych” - Andrzej Pelczar ; AGH Kraków 1980 3) „Wstęp do teorii równań różniczkowych -Andrzej Pelczar, Jacek Szarski ; PWN 1989 część I – Wstęp do teorii równań zwyczajnych i
równań cząstkowych pierwszego rzędu część II − Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych
Prezentowana książka stanowi doskonały wstęp do klasycznej monografii tych samych autorów :
“An itroduction to dynamical systems” - D. K. Arrowsmith, C. M. Palace ; Cambridge 1994
Skróty zastosowane w tłumaczonym tek ście.
rr – równanie różniczkowe ( równań różniczkowych, równania różniczkowego ) rrz – równanie różniczkowe zwyczajne
urrz – układ równań różniczkowych zwyczajnych.
************************************************************************************************
Przedsłowie.
Niniejsza książka stanowi wprowadzenie do jakościowej teorii równań różniczkowych zwyczajnych i zaznajamia czytelnika z ich zastosowaniem do modelowania układów zależnych od czasu. Poruszane w niej idee matematyczne stanowią zadziwiającą mieszankę idei należących do analizy matematycznej, algebry i geometrii, tak, więc
potencjalnemu czytelnikowi przyjdzie zastosować cały zbiór matematycznych trików. Różnorodność jest również charakterystyczna zarówno dla wprowadzanego obszaru zastosowań jak i typów układów dynamicznych – od bardzo tradycyjnych zagadnień mechaniki i teorii elektryczności, do modeli wykorzystywanych w ekologii i onkologii.
Książka w pierwszej kolejności przeznaczona jest dla studentów o średnim stopniu zaawansowania, zakładamy, że czytelnik posiada wiedzę dotyczącą podstawowych pojęć teorii funkcji wielu zmiennych i algebry liniowej.
Konkretniej, przyjmujemy znajomość takich pojęć jak ciągłość, różniczkowalność, poziomice punkty krytyczne funkcji dwóch zmiennych. Czytelnik powinien mieć już styczność z pewnymi pojęciami algebraicznymi takimi jak np. baza, przekształcenie liniowe, wartości własne i wektory własne, jednakże nie jest obowiązkowa znajomość jordanowskiej formy macierzy. Konieczne wyniki z tego ostatniego zagadnienia zostaną, bowiem sformułowane i zilustrowane.
Naszym zadaniem metodologicznym, którego trzymamy się w całym wykładzie jest , to, aby wszędzie gdzie jest to możliwe wyjaśniać sens przedstawianych twierdzeń na odpowiednich przykładach. Staraliśmy się przekonać czytelników, że takie twierdzenia są efektywne i pokazać, w jaki sposób są one stosowane.
Wobec tego, mamy nadzieje, że przekazujemy nie tylko wiedze konieczna dla zbudowania i analizy konkretnych modeli, ale również pobudzamy głębsze zrozumienie ukazywanych matematycznych wyników jak takich.
Książka składa się z pięciu rozdziałów. W rozdziale 1 rozwijamy podejście do badania przestrzeni stanów równań różniczkowych, zawierających tylko jedną zmienna rzeczywistą. Elementarne techniczne detale, związane z analizą matematyczna potrzebne dla rozwiązania równań różniczkowych są eksponowane w ćwiczeniach, a główny nacisk położono na geometryczna interpretacje rozwiązań. W tym kontekście wprowadza się pojęcia - równania
autonomicznego, portretu fazowego, oraz jakościowej równoważności. W dalszej kolejności, w omawianym rozdziale omawiamy, w jaki sposób takie pojęcia rozszerzyć na układy równań różniczkowych i podajemy krótki przegląd zawartości następnych rozdziałów.
Rozdział 2 poświęcony jest układom liniowym, przy czym szczególną uwagę poświęcono parom sprzężonych równań różniczkowych. Tutaj też wprowadzamy niezależny wykład form, Jordana macierzy rzeczywistych 2-go rzędu, materiał ten wprowadzamy tak, aby czytelnik mógł powiązać go z wcześniej poznanymi pojęciami algebraicznymi.
Rozdział 3 zawiera pewne podstawowe wyniki dotyczące układów nieliniowych. Materiał tego rozdziału został dobrany w sposób uwzględniający wiedze czytelnika średnio zaawansowanego. Wprowadzamy tam twierdzenie o linearyzacji i omawiamy różnicę między lokalnym i globalnym badaniem rozwiązań. Rozdział kończy się zaznajomieniem z pojęciem cyklu i elementami teorii Poincarego-Bedixsona.
W rozdziale 4 demonstrujemy rolę metod jakościowych przy badaniu modeli ,a w rozdziale 5 zebrano pewne tematy, o bardziej złożonym charakterze. Ten ostatni rozdział prawdopodobnie, będzie pomocny dla studentów o większej wiedzy, chociaż idea funkcji Lapunowa może pojawiać się już na wcześniejszych etapach studiów. Na końcu każdego rozdziału podano ćwiczenia, których celem jest utrwalenie wiadomości wyłożonych wcześniej, oraz skłonienie czytelnika do krytycznej ich analizy. Podano również krótkie porady odnośnie sposobów rozwiązania danego zadania.
(* w dalszej kolejności autorzy składają podziękowania *)
D. K. Arrowsmith, C. M. Palace
1. Wprowadzenie
W niniejszym rozdziale pokazujemy, co to jest jakościowe podejście do rr i wprowadzamy pewne kluczowe pojęcia , takie jak portret fazowy i równoważność jakościowa.
1.1 Poj ęcia wprowadzające
1.1.1 Istnienie i jednoznaczność.
Definicja 1.1.1 Niech X(t, x) – będzie funkcją przyjmującą wartości rzeczywiste zmiennych rzeczywistych x, t o dziedzinie D ⊆ R2 . Funkcje x(t), gdzie t – należy do pewnego odcinka I ⊆ R , dla której wszędzie na I spełniona jest równość :
x• ≡ dx/dt = X(t, x(t) ) (1.1)
nazywamy rozwiązaniem rr (1.1).
Aby funkcja x(t) była rozwiązaniem koniecznym jest spełnienie warunku ( t, x(t) )∈ D, dla dowolnego t ∈ I; zatem, obszar D ogranicza zarówno dziedzinę jak i obszar wartości funkcji x(t).
Jeśli funkcja x(t) z dziedzina I jest rozwiązaniem (1.1) , to dowolne jej ograniczenie na odcinek J ⊂ I jest również rozwiązaniem. Aby uniknąć jakichkolwiek niejasności będziemy brali zawsze w charakterze I odcinek maksymalny, na którym x(t) spełnia równanie (1.1). Rozwiązania posiadające takie własności nazywamy rozwiązaniami maksymalnymi.
Zatem, jeśli nie powiedziano inaczej, będziemy używali słowa „rozwiązanie” w sensie rozwiązania maksymalnego.
Rozpatrzmy kilka przykładów równań postaci (1.1) i ich rozwiązań. W każdym przypadku zadajemy : x• = X(t, x ) , D , x(t), I, C i C’ - są to pewne liczby rzeczywiste :
a) x• = x – t , R2 , 1 + t + Cet , R b) x• = x2 , R2 , ( C – t )-1 , ( -∞ , C ) , 0 , R , ( C’ – t )-1 , ( C’, ∞ ) c) x• = -x/t , { ( t, x) , t ≠ 0 } , C/t R2 , ( 0, ∞ ) , C’/t , ( 0, ∞ ) d) x• = 2x1/2 , { ( t, x) , x ≥ 0 } , { 0 , ( -∞, C ) { ( t – C )2 , ( C, ∞ ) , 0 , R e) x• = 2xt , R2 , Cet2 , R f) x• = -x/th(t) , { ( t, x) , t ≠ 0 } , C/sh(t) , ( -∞, 0 ) , C’/sh(t) , ( 0, ∞ )
Istnienie rozwiązań określone jest poprzez własności funkcji X. Następujące stwierdzenie podajemy bez dowodu :
Stwierdzenie 1.1.1 Jeśli funkcja X jest ciągła na otwartym otoczeniu D’ ⊆ D, to dla dowolnego punktu ( t0 , x0 ) ∈ D’ istnieje rozwiązanie x(t), t ∈ I, równania x• = X(t, x ) takie, że t0 ∈ I i x(t0 ) = x0.
Rozpatrzmy np. równanie :
x• = 2 | x |1/2 (1.2)
gdzie : D = R2. Dowolny punkt ( t0 , x0 ), x0 ≥ 0 można przedstawić jako ( t0, x(t0 ) ), gdzie x(t) – rozwiązanie :
x(t) = { 0 , t ∈( -∞ , C ) (1.3)
{( t – C )2 , t ∈( C , ∞ ) a C = t0 – √x0.
Dokładnie w taki sposób można znaleźć rozwiązanie również dla punktów ( t0 , x0 ), x0 < 0.
Zauważmy, ze stwierdzenie 1.1.1 nie wyklucza przypadku, kiedy x(t0) = x0 więcej niż dla jednego rozwiązania x(t).
Przykładowo dla (1.2) nieskończenie wiele rozwiązań x(t) spełnia warunek x(t0) = 0, właśnie taki warunek spełnia dowolne rozwiązanie postaci (1.3) o C > t0 , jak również rozwiązanie x(t) ≡ 0.
Następujące stwierdzenie daje warunek wystarczający przy którym każdemu punktowi z D’ odpowiada tylko jedno rozwiązanie.
Stwierdzenie 1.1.2 Jeśli X i ∂X/∂x są ciągłe w pewnym otoczeniu otwartym D’ ⊆ D , to dla dowolnego zadanego punktu ( t0 , x0 )∈ D’ istnieje jednoznaczne rozwiązanie x(t) równania x• = X(t, x ), takie, że x(t0 ) = x0.
Zauważmy, ze chociaż funkcja X = 2 | x |1/2 jest ciągła w D ( = R2 ), jej pochodna ∂X/∂x ( = | x |-1/2 dla x > 0 i - | x |-1/2 dla x < 0 ) jest ciągła tylko w obszarze D’ = { ( t, x ) | x ≠ 0 }, w zerze nie jest ona określona.
Już podkreślaliśmy, że punkt ( t0 , 0 ) , t0 ∈ R należy do nieskończonego zbioru rozwiązań równania x• = 2 | x |1/2.
Z drugiej strony, funkcje X(t, x) = x – t i ∂X/∂x = 1 są ciągłe w całym obszarze D =R2. Dowolny punkt ( t0 , x0 ) należy do jednego i tylko jednego równania x• = x – t , a dokładnie :
x(t) 1 + t + Cet (1.4)
gdzie : C = ( x0 – t0 – 1 )et0
Mamy również słabsze warunki wystarczające istnienia i jednoznaczności. Jednakże stwierdzenia 1.1.1 i 1.1.2 wyjaśniają charakter warunków nakładanych na X(t).
1.1.2 Interpretacja geometryczna.
Rozwiązanie x(t) równania x• = X(t, x ) możemy przedstawić w postaci wykresu graficznego funkcji x(t). Wykres ten określa pewną krzywą całkową na płaszczyźnie t, x.
Jeśli X jest ciągła w D, to stwierdzenie 1.1.1 mówi, że krzywe całkowe zapełniają obszar D , płaszczyzny t, x.
Wynika to z tego, ze każdy punkt D powinien leżeć w skrajnym przypadku na jednej krzywej całkowej. Zatem, rozwiązania rr przedstawiają rodzinę krzywych całkowych w D ( zobacz rys. 1.1 – 1.8 )
Jeśli obie funkcje X i ∂X/∂x są ciągłe w D, to ze stwierdzenia 1.1.2 wynika, ze istnieje jednoznaczna krzywa całkowa przechodząca przez każdy punkt D ( zobacz rys. 1.1 – 1.6 ).
Zauważmy, ze rodziny krzywych całkowych przedstawione na rys. 1.2 i 1.6 mają ze sobą dużo wspólnego. Dowolna krzywa całkowa na jednym z tych rysunków ma odpowiadającą jej krzywą na drugim; są one podobne co do formy – mają te same asymptoty, ale nie są one identyczne. Odpowiednioψć między tymi dwoma rodzinami krzywych całkowych jest ilustracją tego co dalej będziemy nazywali równoważnością jakościową. ( zobacz p. 1.3, 2.4, 3.3 ).
Będziemy mówili, ze zachowanie jakościowe krzywych całkowych na rys. 1.2 jest takie samo jak na rys. 1.6
W celu określenia jakościowego zachowania krzywych całkowych nie obowiązkowym jest dokładne wyrysowanie ich rozwiązania, często wystarczy szkic. Niekiedy możemy wykonać szkic krzywych całkowych bezpośrednio według rr.
Przykład 1.1.1 Wykonać szkic krzywych całkowych równania :
x• = t + (t/x) (1.5)
w obszarze D t, x , x ≠ 0.
Rozwiązanie. Poczyńmy następujące uwagi.
a) Równanie różniczkowe zadaje nachylenie krzywych całkowych ( tj. współczynnik kątowy stycznych do nich ) we wszystkich punktach obszaru D. W szczególności w punktach przecięcia z krzywą t + (t/x) = k ( gdzie k – pewna stała ) krzywe całkowe mają nachylenie k. Taka krzywa nazywa się izokilną nachylenia k. Zbiór izoklin, który otrzymujemy, kiedy nadajemy k różne wartości rzeczywiste – jest to (* w danym przypadku *) zbiór hiperboli :
x = t / ( k – t ) (1.6)
o asymptotykach : x = -1 , t = k. Niektóre z takich izoklin przedstawiono na rys. 1.9.
b) Znak x•• określa w jakich punktach D krzywe całkowe są wypukłe, a w jakich wklęsłe. Jeśli x•• > 0 ( < 0 ), to funkcja x• rośnie ( zmniejsza się ) przy wzroście t i krzywa całkowa jest wygięta * wypukła ). Zatem, obszar D można rozbić na dwa podzbiory, na każdym z nich krzywe całkowe są albo wypukłe , albo wklęsłe. Zbiory te są rozdzielone krzywą x•• = 0. Dla równania (1.5) otrzymujemy :
x•• = x-3( x + 1)( x – t )(x + t ) (1.7)
i D rozbija się na obszary P( x•• > 0 ) i N( x•• < 0 ), tak jak to pokazuje rys. 1.10.
c) Izokliny położone są symetrycznie względem prostej t = 0 i odpowiednio krzywe całkowe również powinny być symetryczne względem takiej krzywej. Funkcja X(t, x) = T + t/x spełnia zależność X( -t, x) = -X( t, x) z której wynika, że jeśli x(t) jest rozwiązaniem równania x• = X(t, x ) , to x(-t ) jest również jego rozwiązaniem ( zobacz ćwiczenie 6 )
Rys. 1.9 Niektóre izokliny dla równania x• = t + t/x. Krótkie kreseczki na izoklinach mają nachylenie k i pokazują, jak krzywe całkowe przecinają izokliny.
Rys. 1.10 Obszar wypukłości (N) i wklęsłości (P) Rys. 1.11 Krzywe całkowe rr x• = t + t/x Krzywych całkowych rr x• = t + t/x
Te trzy uwagi pozwalają nam wykonać szkic krzywych całkowych dla równania (1.5) ( zobacz rys. 1.11 )
Widać, że obie funkcje X(t, x) = t + t/x i ∂X/∂x = - t/x2 są ciągłe w D = { ( t, x) | x ≠ 0 }, tak więc przez każdy punkt przechodzi jedna krzywa całkowa.
Rozwiązanie rr :
x• = t + t/x (1.8)
można znaleźć za pomocą rozdzielania zmiennych ( zobacz ćwiczenie 1.2 ).
Zbiór krzywych całkowych składa się z krzywych, zadanych równaniem :
x – ln( | x + 1 | ) = ½ t2 + C (1.9)
gdzie : C – stała
i rozwiązania x(t) ≡ -1. Jednakże narysowanie krzywych całkowych bezpośrednio według równania (1.9) jest trudniejsze, niż według rr (1.5).
To co powiedziano powyżej doprowadza nas do dwóch ważnych idei :
1) Dwa różne rr mogą mieć rozwiązania o jednakowych zachowaniach jakościowych.
2) Zachowanie jakościowe rozwiązań określone jest przez funkcje X(t, x).
Teraz połączymy te dwie idee i zilustrujemy podejście jakościowe do rr na przykładzie równań o szczególnej postaci : x• = X(t). Zobaczymy, ze takie równania można poklasyfikować na jakościowo równoważne typy.
1.2 Równania autonomiczne.
1.2.1 Krzywe całkowe i portret fazowy.
Rr o postaci :
x• = X(t) , x ∈ S ⊆ R , ( D = R × S ) (1.10)
nazywamy autonomicznym. Nazwa ta jest usprawiedliwiona tym, że x• jest określone tylko przez jedno x.
Rozwiązanie równań autonomicznych posiada następującą ważną własność.
Jeśli ξ(t) – jest rozwiązaniem równania (1.10) o obszarze określoności I i o dziedzinie ξ(I), to η(t) = ξ( t + C ) przy dowolnym rzeczywistym C również jest rozwiązaniem o tym samym obszarze określoności i dziedzinie ( t | t + C ∈ I } Wynika to z tego, że :
η•(t) = ξ•(t + C ) = X(ξ(t + C) ) = X( η(t) ) (1.11)
Krzywa całkowa x = ξ(t) otrzymywana jest z krzywej całkowej x = η(t) poprzez przesunięcie względem t w kierunku dodatnim o wielkość C.
Oprócz tego, jeśli przez każdy punkt półpłaszczyźnie D’ = R × ξ(I) przechodzi tylko jedna krzywa całkowa, to wszystkie rozwiązania na D’ otrzymuje się poprzez przesunięcia x = ξ(t). Zatem, obszar D jest rozdzielany na półpłaszczyzny w których krzywe całkowe otrzymywane są z jakiejkolwiek jednej krzywej za pomocą przesunięcia wzdłuż osi t ( zobacz rys. 1.12 – 1.15 )
Rys. 1.12 x• = x, półobszar D’ – jest to Rys. 1.13 x• = ½ ( x2 – 1 ) półpłaszczyzna D’ ma postać półpłaszczyzna x < 0 i x > 0. R × ξ(I), gdzie ξ(I) = ( -∞, -1 ) , ( -1, 1 ) i ( 1, ∞ )
Rys. 1.14 Krzywe całkowe dla równania Rys. 1.15 Krzywe całkowe dla równania x• = x3 x• = x2
Przykładowo równanie :
x• = x (1.12)
ma rozwiązania :
ξ(t) = et , I = R , ξ(I) = ( 0, ∞ ) (1.13)
ξ(t) = 0 , I = R , ξ(I) = {0 } (1.14)
ξ(t) = -et , I = R , ξ(I) = ( -∞, 0 ) (1.15)
Wszystkie krzywe całkowe na półpłaszczyźnie D’ = { (t, x) | x ∈ ( 0, ∞ ), t ∈ R } otrzymywane są poprzez przesunięcia krzywej x = et. Analogicznie, krzywe całkowe w D’ = { (t, x) , x ∈ ( -∞ , 0 ) , t ∈ R } otrzymywane są poprzez
przesunięcia krzywej x = -et.
Dla takich rodzin krzywych całkowych, w których krzywe otrzymywane są jedna z drugiej poprzez przesunięcia, zachowanie rodziny określone jest przez zachowanie określonej funkcji X(x). Jeśli X(x) ≠ 0, to rozwiązania albo wzrastają, albo zmniejszają się, jeśli X(c) = 0, to istnieje rozwiązanie x(t) ≡ c.
Takie własności rozwiązań wygodnie jest przedstawiać na osi x, niż na płaszczyźnie t, x. Jeśli X(x) ≠ 0 dla x ∈(a, b), to Na tym odcinku rysujemy strzałkę pokazującą kierunek zmian x. Jeśli X(c) = 0, to rozwiązanie x(t) ≡ c przedstawiamy za pomocą punktu x = c. Takie rozwiązania nazywamy punktami stałymi (* lub punktami stacjonarnymi, punktami
równowagi lub punktami osobnymi – przypis tłumacza przekładu rosyjskiego *)
równania, ponieważ x = c dla wszystkich wartości t. Takie geometryczne przedstawienie zachowania jakościowego rozwiązań równania x• = X(x) nazywa się portretem fazowym.
Kilka portretów fazowych dla konkretnych funkcji X przedstawiono na rys. 1.16 – 1.19.
Odpowiednie rodziny krzywych całkowych przedstawiają rys. 1.12 – 1.15.
Rys. 1.16 x• = x , x = 0 – punkt stały. Rys. 1.17 x• = ½ ( x2 – 1 ) , x= ± 1 – punkty stałe.
Jeśli rozwiązanie x jest niestacjonarne, to powinno ono być albo wzrastającym, albo malejącym, a zatem jeśli liczba punktów stałych jest skończona, to może istnieć tylko skończona liczba „różnych” portretów fazowych.
Pod pojęciem „różne” rozumiemy „różniące się zbiorem obszarów, w których x wzrasta lub zmniejsza się”.
Przykładowo, rozpatrzmy przypadek jednego punktu stałego x = c ( rys. 1.20). Na każdej z otrzymywanych półprostych ( x < c, x > c ) funkcja X może być, albo dodatnia, albo ujemna. Odpowiednio, zatem portret fazowy powinien
odpowiadać jednemu z czterech przypadków, przedstawionych na rys. 1.20. To oznacza, że zachowanie jakościowe dowolnego rr autonomicznego o jednym punkcie stałym powinno odpowiadać jednemu z portretów fazowych na rys.
1.20 przy pewnej wartości c. Przykładowo, portrety fazowe dla równań x• = x , x• = x3 , x• = x – a , x• = ( x – a )3 , x• = sh(x) , x• = sh( x – a ) odpowiadają przypadkowi d) o c = 0 lub c = a.
Różne rr o jednym punkcie stałym, mające jeden i ten sam portret fazowy przyjmujemy jako jakościowo równoważne.
Zauważmy, ze rozważania, które wykorzystaliśmy przy otrzymywaniu rysunku 1.20 zachowują swoją moc, jeśli punkt x
= c jest tylko jednym z wielu punktów stałych na portrecie fazowym. Innymi słowy, zachowanie jakościowe x w otoczeniu dowolnego punktu stałego powinno być takie, jak w jednym z przypadków na rys. 1.20.
Mówimy, że takie zachowanie określa charakter ( postać lub naturę ) punktu stałego i dla jego opisu stosujemy pojęcia wymienione w opisie rys. 1.20.
Rys. 1.18 x• = x3 , x = 0 – punkt stały. Rys. 1.19 x• = x2 , x = 0 – punkt stały.
Rys. 1.20 Cztery możliwości wystąpienia portretu fazowego dla jednego izolowanego punktu stałego. Punkt stały nazywa się : atraktorem w przypadku a), bocznikiem w przypadkach b) i c) , repelerem w przypadku d)
Teraz wykonamy ważny krok – z powyższych rozważań wynika wniosek, że portret fazowy dowolnego równania autonomicznego jest całkowicie określony poprzez postać jego punktów stałych.
Wprowadźmy następującą definicję :
Definicja 1.2.1 Dwa rr o postaci x• = X(x) są jakościowo równoważne, jeśli posiadają one równa ilość punktów stałych o jednakowym charakterze, rozłożonych w jednakowym porządku na prostej fazowej.
Przykładowo równanie x• = ( x + 2 )( x + 1 ) jest równoważne równaniu x• = ½ ( x2 – 1 ). Oba te równania mają bowiem po dwa punkty stałe, jeden z których jest atraktorem, a drugi repelerem, przy czym atraktorowi odpowiada mniejsza wartość x. Równanie x• = - ( x + 2 )( x + 1 ) nie jest jakościowo równoważne równaniu x• = ½ ( x2 – 1 ), dlatego, ze atraktor i repeler zachodzą w odwrotnym porządku.
Przykład 1.2.1 Uporządkować następujące rr na grupy jakościowo równoważne : 1) x• = ch(x) 2) x• = ( x – a )2 3) x• = sin(x)
4) x• = cos(x) – 1 5) x• = ch(x) – 1 6) x• = sin(2x) 7) x• = ex 8) x• = sh2( x – b )
Rozwiązanie. Równania 1) i 7) nie maja punktów stałych, w obu przypadkach X(x) > 0 dla wszystkich x. Oba te równania maja portret fazowy pokazany na rys. 1.21a i odpowiednio są jakościowo równoważne.
Równanie 2) ma jeden punkt stały – bocznik przy x = a, przy czym X ≥ 0 dla wszystkich x.
Jeszcze jedno równanie o pojedynczym punkcie stałym, t0 równanie 5) posiada ono bocznik przy x = 0. Równanie 8) również posiada jednoznaczny bocznik przy x = b i również X ≥ 0 dla wszystkich x. Równania te tworzą druga grupę równań jakościowo równoważnych o portrecie fazowym, przedstawionym na rys. 1.21b.
Pozostałe równania 3), 4) i 6) maja nieskończenie wiele punktów stałych : dla 3) są to punkty x = nπ, dla 4) ,to x = 2πn , a dla 6) to x = ½ nπ, przy n ∈ Z.
Jednakże dla równania 4) X(x) ≤ 0 dla wszystkich x, tak, ze wszystkie punkty stałe są bocznikami, a równania 3) i 6) mają zmieniające się atraktory i repelery ( zobacz rys. 1.21 c) i d) ). Zatem z wymienionych równań jakościowo równoważne są tylko 3) i 6).
Rys. 1.21 Portrety fazowe dla jakościowo równoważnych grup równań w przykładzie 1.2.1. W przypadku b) c = a dla 2), c= 0 dla 5) i c = b dla 8). W przypadku c) cn = 2nπ dla 4), a w przypadku d) cn = nπ dla 3) i cn = ½ nπ dla 6).
Przykład 1.2.1 zwraca nasza uwagę na fakt, że „jakościowa równoważność” jest relacją równoważności na zbiorze wszystkich autonomicznych rr. Możemy , zatem rozbić ten zbiór na nie przecinające się klasy równań jakościowo równoważnych. Jednakże jeśli wymagamy tylko tego, aby spełniony był warunek jednoznaczności rozwiązań przechodzących przez określony punkt, takich klas będziemy mieli nieskończenie wiele. Jest tak, dlatego, ze może wystąpić dowolnie dużo punktów stałych.
Jeśli nałożymy na X pewne dodatkowe ograniczenia, to może się okazać, że istnieje tylko skończona liczba klas.
Przykładowo, załóżmy, że funkcja X jest liniowa, tj. X(x) = ax o a rzeczywistym. Dla dowolnego a ≠ 0 istnieje tylko jeden punkt stały przy x= 0. Jeśli a > 0 , to taki punkt jest repelerem, a jeśli a < 0 – to atraktorem. Dla osobnego przypadku a = 0 wszystkie punkty osi x są punktami stałymi. Zatem, zbiór równań { x• = X)x) | X(x) = a x } może być rozbity na trzy klasy zgodne z jakościowym zachowaniem ich rozwiązań.
Dla funkcji X nieliniowej, każdy punkt stały powinien należeć do jednego z możliwych typów, pokazanych n a rys. 1.20.
Zatem, chociaż może istnieć nieskończenie wiele różnych portretów fazowych, zawierają one nie więcej niż cztery różne postacie punktów stałych.
Takie ograniczenie związane jest z tym, że równanie x• = X(x) zawiera tylko jedną zmienną rzeczywistą x.
Dlatego pojawia się jednowymiarowy portret fazowy, na którym x w każdym punkcie niestacjonarnym może tylko wzrastać lub zmniejszać się.
1.2.2 Portrety fazowe i dynamika.
W różnych zastosowaniach rr x• = X(x) modeluje zmianę pewnego parametru x pewnego układu fizycznego w zależności od czasu. Mówimy, że stan układu określony jest przez wartość wielkości x. Przykładowo równanie :
p• = ap ; p, a > 0 (1.16)
modeluje wzrost populacji p izolowanego gatunku. W ramach takiego modelu stan gatunku w chwili t zadany jest przez liczbę osobników p(t) żyjących w chwili t. Innym przykładem jest prawo Newtona dla poruszających się ciał.
Dalej, temperatura T ciała, stygnącego w środowisku o temperaturze τ, spełnia równanie :
T• = − a ( T −τ ) , a > 0 (1.17)
Przyjmujemy, ze stan ciała określony jest przez jego temperaturę.
Możemy przedstawić stan x( t0 ) naszego modelu w dowolnej chwili czasu t0 poprzez punkt na prostej fazowej równania x• = X(x). Wraz ze wzrostem czasu stan takiego układu będzie się zmieniał, czemu odpowiadać będzie ruch punktu na prostej fazowej z prędkością x• = X(x). Zatem, dynamika układu fizycznego reprezentowana jest poprzez ruch punktu fazowego na prostej fazowej.
Portret fazowy ustala tylko skierowanie prędkości punktu fazowego i odpowiednio odzwierciedla jedynie jakościowy obraz dynamiki. Taka jakościowa informacja może okazać się jednak użyteczna przy budowaniu modelu.
Rozpatrzmy przykładowo (1.16) – model wzrostu izolowanej populacji. Zauważmy, że p• > 0 dla wszystkich p > 0 ,a portret fazowy na rys. 1.22 pokazuje, że populacja rośnie nieograniczenie. Własność ta jest nieprawdopodobna, bowiem środowisko w którym żyje ten gatunek, ma swoje ograniczenia i nie może zapewnić środków dla rosnącej
nieograniczenie populacji.
Załóżmy więc, ze otaczające środowisko może zapewnić byt populacji pe. Jak teraz należy zmienić równanie (1.16) aby spełnić taki warunek ?
Oczywiście, nieograniczony wzrost p powinien zostać w jakiś sposób powstrzymany. Jedna z możliwości jest
wprowadzenie atraktora pe, tak jak to pokazano na rys. 122b. To oznacza, ze populacje większe niż pe zmniejszają liczbę osobników, a populacje mniejsze niż pe – zwiększają. Równowaga jest osiągana przy p = pe. Aby mogły istnieć dwa punkty stałe przy p = 0 i p = pe, funkcja X(p) w (1.16) powinna być nieliniowa.
Równanie :
p• = p ( a – bp ) (1.18)
jest dobre pod tym względem, ze przy b =0 sprowadza się ono do (1.16), w przeciwnym wypadku posiada ono punkt stały pe = a/b.
Rys. 1.22 Portrety fazowe dla równań : a) p• = ap ; ; b) p• = p ( a – bp ) ,pe = a/b W obu przypadkach interesuje nas tylko zachowanie nieujemnych populacji ( p≥ 0 ). Równanie b) nazywa się prawem logistycznego wzrostu populacji [ składową bp nazywa się współczynnikiem zagęszczenia )
Oczywiście, w modelach układów fizycznych często, stan układu określony jest poprzez więcej niż jedną zmienną.
Jeśli chcielibyśmy zastosować idee jakościową do badania również takich układów, to powinniśmy przeanalizować równania autonomiczne o więcej niż jednej zmiennej.
1.3 Układy autonomiczne na płaszczyźnie.
Rozpatrzmy rr o postaci :
x• ≡ dx /dt = X(x) (1.19)
gdzie : x = ( x1 , x2 ) - wektor w R2.
Równanie to jest równoważne układowi dwóch powiązanych równań :
x1• = X1( x1 , x2 ) , x2• = X2( x1 , x2 ) (1.20)
przy czym : X(x) = ( X1( x1 , x2 ) , X2( x1 , x2 ) ), ponieważ x• = ( x1•, x2• )
Rozwiązanie równania (1.19) jest parą funkcji (x1(t) , x2(t) ) , t ∈ I ⊆ R1, spełniających układ równań (1.20).
Ogólnie mówiąc rozwiązanie x1(t) , x2(t) zawiera dwie dowolne stałe, mamy więc dwuparametryczną rodzinę rozwiązań.
Zachowanie jakościowe takiej rodziny rozwiązań określone jest przez to, jak zachowują się x1i x2 ze wzrostem czasu. W miejsce tego, aby prosto wskazywać na prostej fazowej, czy zwiększa się lub zmniejsza wielkość, powinniśmy pokazać teraz jak zmienia się położenie punktu na płaszczyźnie fazowej.
Dlatego portret fazowy będzie dwuwymiarowy, a zachowanie jakościowe określamy poprzez rodzinę krzywych ze wskazaniem skierowania ruchu na tych krzywych przy wzroście t.
Takie krzywe nazywa się trajektoriami lub orbitami.
Badanie jakościowe równań na płaszczyźnie rozpoczniemy ( podobnie jak w punkcie 1.2 ) od zbadania punktów stałych równania (1.19). Punktom stałym odpowiadają rozwiązania postaci x(t) = c = ( c1, c2 ) i pojawiają się one w przypadku, kiedy :
X1( c1, c2 ) = 0 , X2( c1, c2 ) = 0 (1.21)
Odpowiednia trajektoria – to punkt (c1, c2 ) na płaszczyźnie fazowej. W punkcie 1.2 „charakter” takiego punktu stałego określał portret fazowy.
Rozpatrzmy niektóre przykłady izolowanych punktów stałych na płaszczyźnie w celu określenia ich charakteru.
Na rysunkach 1.23 – 1.32 pokazano niektóre z potencjalnych możliwości.
W pierwszej kolejności rozpatrzmy rys. 1.23, tj. układ :
x1• = −x1 , x2• = − x2 (1.22)
Ma on punkt stały (0, 0) i rozwiązania :
x1(t) = C1e-t , x2(t) = C2e-t (1.23)
gdzie : C1 , C2 – pewne stałe rzeczywiste.
Dowolne rozwiązanie należące do rodziny (1.23) przy K = C2/ C1 spełnia dla wszystkich t, równanie :
x2(t) = K x1(t) (1.24)
Zatem, każda trajektoria rodziny (1.23) leży na pewnej prostej, przechodzącej przez początek współrzędnych (* trajektoria dla C1 = 0 leży na prostej x1 = 0 – przypis tłumacza przekładu rosyjskiego *)
Z równań (1.23) widać, że przy dowolnych niezerowych C1 i C2 wartości | x1(t) | i | x2(t) | zmniejszają się przy wzroście t i dążą do zera przy t →∞. Na rysunku pokazano to za pomocą strzałek na trajektoriach; jeśli ( x1(t), i x2(t) )
przedstawiają sobą położenie punktu fazowego x w chwili t, to wraz ze wzrostem t porusza się on w kierunku ku początkowi współrzędnych. Aby to przedstawić poglądowo wystarczy narysować prostą skierowaną. Na rys. 1.24 : x2 = Kx12
zmienia to formę trajektorii. Jednakże tak jak poprzednio są one skierowane ku punktowi stałemu w początku współrzędnych.
Na rys. 1.25 pokazano jeszcze jedną możliwość. Teraz przy wzroście t, wielkość | x1(t) | zmniejsza się, a | x2(t) | wzrasta.
Układ x1• = −x1, x2• = − x2 posiada rozwiązania :
x1(t) = C1e-t , x2(t) = C2 et (1.25) gdzie : C1, C2 – liczby rzeczywiste.
Wtedy : x2 = Kx1-1
(1.26)
K = C1C2.
W tym przypadku tylko dwie trajektorie dążą do punktu stałego (0, 0), a wszystkie pozostałe wcześniej lub później odchodzą od niego, przy czym | x2 | → ∞ przy | x1(t) | → 0 i na odwrót.
Zachowanie jakościowe teraz różni się mocno od tego, co przedstawiono na rysunkach 1.23 i 1.24.
Na rys. 1.26 trajektorie są zamknięte, dlatego jedne i te same punkty płaszczyzny t, x wraz ze wzrostem czasu następują po sobie. W punkcie 1.4 pokażemy, że układ :
x1• = x2 , x2• = − x1 (1.27)
posiada rozwiązania :
x1(t) = C1cos( - t + C2 ) , x2(t) = C1sin( - t + C2 ) (1.28)
skąd wynika, że :
x12 + x22 = C12 (1.29)
zatem, trajektorie tworzą rodzinę koncentrycznych okręgów o centrum w punkcie stałym (0, 0). Jest to jeszcze jedna postać zachowania jakościowego. Zamkniętość trajektorii jest odbiciem tego faktu, że x1(t) i x2(t) – są funkcjami periodycznymi o tym samym okresie.
Przykłady te pokazują, że jakościowo różne rozwiązania prowadzą do trajektorii o różnych własnościach geometrycznych. Problem wydzielenia różnych postaci punktów stałych sprowadza się do problemu wydzielenia różnych konfiguracji geometrycznych, złożonych z trajektorii. Tak jak w punkcie 1.2 powinniśmy rozwiązanie tego problemu, względem tego co należy rozumieć pod słowem „różne”. Przy tym możemy po swojemu dokonać wyboru stosowania w tej kwestii odpowiednich kryterii „różności”.
Przykładowo na rys. 1.23 i 1.24 wszystkie trajektorie skierowane są ku początkowi współrzędnych. Rozsądnie byłoby przyjąć ten fakt jako określający własność jakościową, a różne formy trajektorii przyjąć jako nieistotne. Moglibyśmy wtedy twierdzić, ze charakter punktu stałego jest w jednym i w drugim przypadku jednakowy. Oczywiście jego charakter zmienia się radykalnie, jeśli zmienilibyśmy x1• na – x1• i x2• na – x2•. W takim przypadku wszystkie trajektorie
byłyby skierowane od początku współrzędnych ( zobacz ćwiczenie 22 ) i zachowanie jakościowe rozwiązań byłoby całkowicie inne.
Porównajmy rys. 1.25 i rys. 1.27. Czy punkty stałe na tych rysunkach maja jednakowy charakter ?
W obu przypadkach | x1(t) | dąży do zera wtedy, kiedy | x2(t) | dąży do nieskończoności i tylko dwie oddzielne trajektorie przybliżają się do punktu stałego. Można zatem przyjąć, ze punkty stałe są jednakowe. Czy zmieni się charakter punktu stałego w tych przypadkach, jeśli odwrócimy orientacje trajektorii jak w poprzednim przykładzie ? Zmiana orientacji oznaczałoby, że osie x1 i x2 zamieniły się miejscami. Jednakże własności wydzielające rys. 1.25 i 1.27 z pozostałych zostają przy tym zachowane i można wnioskować, że charakter punktu stałego nie zmienia się.
Analogicznie można powiedzieć, że rysunki 1.26 , 1.28 oraz to co otrzymujemy z nich przy zmianie orientacji trajektorii mają w początku współrzędnych punkt stały o jednej i tej samej postaci.
Podejście intuicyjne, zastosowane przy rozpatrzeniu powyższych przykładów, pozwoliło nam wydzielić siedem różnych typów punktów stałych przedstawionych na rysunkach 1.23 – 1.32. W istocie istnieje jednak nieskończenie wiele różnych portretów fazowych na płaszczyźnie, mających tylko jeden punkt stały. Niektóre przykłady portretów fazowych z więcej niż jednym punktem stałym pokazano na rysunkach 1.33 – 1.36.
Rys. 1.33 Portret fazowy dla układu Rys. 1.34 Portret fazowy dla układu
x1• = x1( a – bx2 ) , x2• = −x2 ( c – dx1) ; x1• = −x1[ 1 –3 x22/3 ( 1 − x1) /(1 + x1) ] , a, b, c, d > 0. Punkty stałe to (0, 0 ) i ( c/d , a/b ) x2• = x2 – 3x1x22/3 ( 1 − x1) , x1, x2 ≥ 0.
Punkty stałe to (0, 0 ) i ( ½ , 1 )
Rys. 1.35 Portret fazowy dla układu : Rys. 1.36 Portret fazowy dla układu : x1• = ( 2 – x1 – 2x2 )x1 x1• = sin(x1) , x2• = -sin(x2) x2• = ( 2 – 2x1 – x2 )x2 Punkty stałe to ( nπ, mπ ) ; m, n ∈ Z Punkty stałe to ( 0, 0 ), ( 2, 0 ), ( 0, 2 )
( 2/3 , 2/3 )
Jak widać stosunkowo prosto można otrzymać złożone rodziny trajektorii.
1.4 Budowa portretów fazowych na płaszczy źnie.
Metody stosowane w celu zbadania trajektorii układu o postaci : x1• = X1( x1 , x2 ) , x2• = X2( x1 , x2 ) ; ( x1 , x2 ) ∈ S ⊆ R2 są prostym uogólnieniem idei, które wykorzystaliśmy w punkcie 1.1
1.4.1 Otrzymywanie jawnych wzorów.
W punkcie 1.3 udało się nam zbudować trajektorie, przedstawione na rysunkach 1.23 – 1.25 rozwiązując równania układu pojedynczo. Było to możliwe dlatego, że x1• zależało tylko od x1, a x2• - tylko od x2. Taki układ w którym każde z równań zawiera tylko jedną zmienną nazywamy separowalnym. Zazwyczaj układy nie posiadają tej własności i aby sprowadzić je do takiej postaci należy znaleźć nowe zmienne w których układ będzie separowalny.
Przykład 1.4.1 Rozpatrzmy układ :
x1• = x2 , x2• = - x1 (1.30)
którego portret fazowy przedstawia rys. 1.26.
Należy przejść do współrzędnych biegunowych według wzorów :
x1 = r cos(θ) , x2 = r sin(θ) (1.31)
Następnie zapisać (1.30) w nowych współrzędnych i otrzymać x1 i x2 jako funkcje t.
Rozwiązanie. Zauważmy, że :
r2 = x12 + x22 , th(θ) =x1/x2 , x1 ≠ 0 (1.32)
zróżniczkujmy teraz powyższe wyrażenia względem t. Otrzymamy :
2rr• = 2x1x1• + 2x2x2• , sec2(θθ• ) = x1-2 ( x2•x1 – x1•x2 ) (1.33) Podstawiając wartości x1• i x2• z (1.30) widać, że :
r• = 0 , θ• = -1 (1.34)
Równania te można rozwiązać oddzielnie i otrzymać r(t) ≡ C1 , θ(t) = - t + C2 , C2 – pewna stała rzeczywista.
Ostatecznie, zgodnie z (1.31) mamy :
x1(t) = C1 cos( -t + C2 ) , x2(t) = C1 sin( - t + C2 ) (1.35)
Niekiedy rozwiązania udaje się znaleźć również w przypadku, kiedy tylko jedna ze zmiennych jest separowalna w jednym z równań. Takie układy nazywamy częściowo separowanymi.
Przykład 1.4.2 Znaleźć rozwiązania układu :
x1• = x1 , x2• = x1 + x2 (1.36)
i przedstawić jego portret fazowy.
Rozwiązanie. Układ (1.36) można rozwiązać nie wprowadzając nowych zmiennych. Pierwsze równanie ma rozwiązania :
x1(t) = C1et (1.37)
gdzie : C1 – liczba rzeczywista.
Podstawienie x1 do drugiego równania daje :
x2• = x2 + C1et (1.38)
Rozwiązania (1.38) mają postać :
x2(t) = et ( C1t + C2 ) (1.39)
( zobacz ćwiczenie 1.1 )
Aby narysować portret fazowy, rozpatrzmy wzory (1.37) i (1.39) i zauważmy, że :
a) Dla C1 = K > 0 funkcja x1(t) wzrasta ściśle i przyjmuje wszystkie wartości dodatnie przy wzroście t od −∞ do +∞
b) Dla C1 = K > 0 funkcja x2(t) → 0 przy t → −∞ ; x2(t) < 0 dla C1t + C2 < 0 ; x2(t) = 0 przy C1t + C2 = 0 i x2(t) → ∞ przy t → ∞.
c) Dla C1 = 0 otrzymujemy rozwiązanie :
x1(t) ≡ 0 , x2(t) = C2 et (1.40)
d) Jeśli C1 = -K < 0, to odpowiednia trajektoria jest symetryczna jednej z trajektorii, odpowiadającej przypadkom a), b), względem początku współrzędnych.
Zauważmy, że zmianę znaku x2 prowadzącą do wyniku b), można zauważyć bezpośrednio z drugiego wzoru (1.36) – wynika bowiem z niego, że x2• = 0, kiedy x2 = - x1. Oprócz tego, symetria wymieniona w punkcie d) może być również zauważona z postaci układu (1.36), ponieważ jest on inwariantny względem przekształceń :
x1→ −x1, x2→ −x2 ( zobacz ćwiczenie 26 ).
Na koniec, przedstawiono portret fazowy – rys. 1.37.
Rys. Portret fazowy dla układu (1.36). Rys. 1.38 Portret fazowy dla układu (1.42) Linią punktową pokazano prostą x2 = −x1 Początek współrzędnych jest punktem stałym.
na której x2• = 0. Początek współrzędnych jest Trajektorie są to hiperboloidy.
punktem stałym.
W punkcie 1.3 wykluczaliśmy niekiedy z równań dla x1(t) i x2(t) zmienną t otrzymując równanie trajektorii w nieparametrycznej postaci. Równanie trajektorii często możemy znaleźć, rozwiązując równanie :
dx1/ dx2 = x2• / x1• = X1( x1, x2 ) / X1( x1, x2 ) (1.41)
Przykład 1.4.3 Rozpatrzmy układ :
x1• = x2 , x2• = x1 (1.42)
Należy wyznaczyć dx1/ dx2 tak aby znaleźć trajektorie po czym należy narysować portret fazowy dla tego układu.
Rozwiązanie. Dla układu (1.42) :
dx1/ dx2 = x1/ x2 , x1≠ 0 (1.43)
skąd :
x12 + x22 = C (1.44)
gdzie : C – liczba rzeczywista.
Taką rodzinę hiperboloid łatwo jest przedstawić i ustanowić ich orientacje zgodnie z (1.42). Zauważmy, że x1(t) i x2(t) przy x1, x2 > 0 wzrastają wraz ze wzrostem t. To pozwala ustanowić skierowanie wszystkich trajektorii przy x2 > −x1.
Analogicznie, jeśli x1, x2 < 0 to x1•, x2• < 0 co pozwala otrzymać orientacje na półpłaszczyźnie x2 < − x1. Portret fazowy przedstawiono na rys. 1.38.
1.4.2 Izokliny.
Podobnie jak w punkcie 1.1, niekiedy koniecznym jest otrzymanie portretu fazowego, kiedy nie można zapisać jawnych wzorów dla rozwiązań. Można to zrobić, uogólniając metodę izoklin, gdzie zadano funkcje wektorową X : S → R2, zadaje ona wektor x• ( pole wektorowe ). Dla jakościowego badania zazwyczaj wystarcza znajomość kierunku X(x ) Kierunek ten jest stały na izoklinach równania (1.41). Szczególnie interesujące są punkty, gdzie dx2 / dx1 staje się równe zeru lub w nieskończoności , tj. izokliny gdzie x2• = 0 lub x1• = 0.
Jeśli dla dowolnego punktu x0 ∈ S i dowolnego t0 ∈ R istnieje jednoznaczne rozwiązanie x(t) równania (1.19), takie ,że :
x( t0 ) = x0 (1.45)
to przez każdy punkt x0 ∈ S przechodzi dokładnie jedna trajektoria. Wszystkie przykłady, które rozważaliśmy do tej pory w punktach 1.3 i 1.4 były właśnie tego typu. Jeśli pojawia się niejednoznaczność, to zazwyczaj bywa ona usytuowana na pewnych liniach w S i tylko w ich otoczeniu zachowanie trajektorii nie może być ocenione od razu z postaci funkcji.
Przykład 1.4.4 Znaleźć rozwiązania układu :
x1• = 3x12/3 , x2• = 1 (1.46)
i pokazać, ze przez dowolny punkt (0, c) ; c – dowolna liczba rzeczywista, przechodzi więcej niż jedno rozwiązanie.
Co oznacza taki wynik dla portretu fazowego ?
Rozwiązanie. Układ (1.46) jest separowalny. Możemy zatem znaleźć jawną postać rozwiązań :
x1(t) = ( t + C3 )3 , x2(t) = t + C3 (1.47)
Oprócz tego, funkcja x1(t) ≡ 0 jest rozwiązaniem pierwszego równania, ponieważ układ posiada również rozwiązania o postaci :
x1(t) ≡ 0 , x2(t) = t + C3 (1.48)
Jeśli w (1.47) podstawimy C2 = 0 , C1 = -c, to ( x1(c) ,x2(c) ) = (0, c). Jeśli w (1.48) C2 = 0 ,to ponownie ( x1(c) ,x2(c) ) = (0, c). Ponieważ rozwiązania (1.47) i (1.48) są różne, to punkt (0,c ) leży na więcej niż jednym rozwiązaniu.
Zauważmy, że wszystkie trajektorie, zadane równaniami (1.47), są styczne do osi x2, która sama jest trajektorią odpowiadającą równaniom (1.48). Skierowanie na tej osi pokazano strzałkami na rys. 1.39. Teraz nie jest jasnym co powinniśmy rozumieć pod terminem oddzielanej trajektorii, ponieważ :
x1(t) = { ( t − a )3 , t < a (1.49)
{ 0 , a ≤ t ≤ b x2 = t + C {( t − b )3 , t > b
również spełniają układ (1.46).
W pozostałej części książki będziemy zajmowali się tylko układami, posiadającymi własność jednoznaczności.
W punkcie 1.1.1wskazalismy użyteczny warunek wystarczający dla spełnienia twierdzenia istnienia i jednoznaczności – ciągłej różniczkowalności funkcji X(x ).
Rys. 1.39 Portret fazowy dla układu (1.46). Układ ten nie posiada punktów stałych , a trajektorie są styczne do osi x2
Przykład 1.4.5 Narysować portret fazowy układu
x1• = x12 , x2• = x2( 2x1 – x2 ) (1.50)
nie znajdując jawnych wzorów dla trajektorii.
Rozwiązanie. Rozpatrzmy zadany układ i zauważmy jego następujące własności : a) mamy jeden punkt stały – początek współrzędnych.
b) pole wektorowe tego układu X(x ) = (x12 , x2( 2x1 – x2 ) ), spełnia warunek X(x ) = X(−x ). To oznacza, że jego trajektorie są inwariantne względem przekształcenia : x1→−x1 , x2 →−x2 ( zobacz ćwiczenie 26 ). Dlatego skierujemy uwagę tylko na płaszczyznę x1 ≥ 0.
c) izoklina x1• = 0 pokrywa się z osią x2 i dla x2 ≠ 0 spełniona jest na niej zależność x2• = −x22 < 0.
Dlatego istnieje trajektoria, pokrywająca się z dodatnią półosią x2 o kierunku od początku układu współrzędnych.
Rozpatrzmy równanie :
dx2/ dx1 = x2( 2x1 – x2 ) / x12 , x1 ≠ 0 (1.51)
Równanie izokliny odpowiadającej nachyleniu C, ma postać : x2( 2x1 – x2 ) = x12 − ( x1 − x2 )2 = Cx12
lub :
x2 = x1[ 1 ± ( 1 − C )1/2 ] , C ≤ 1 (1.52)
Równanie to pozwala nam znaleźć nachylenie na niektórych wybranych izoklinach. Przykładowo : a) C = 0 na prostych x2 = 0 i x2 =2x1
b) C = 1 na x2 = x1
c) C = ½ na x2 = ( 1 ± 1/ √2 )x1
d) C = -3 na x2 = - x1 i x2 = 3x1 e) C = -2 na x2 = ( 1 ±√3 )x1
Orientacja trajektorii określona jest przez to, że x1• > 0 przy x1 ≠ 0. Otrzymana informacja pozwala przedstawić izokliny ( rys. 1.40 )oraz narysować portret fazowy ( rys. 1.41 )
Rys. 1.40 Informacja o układzie Rys. 1.41 Szkic portretu fazowego dla układu (1.50). Znak x1• = x12 , x2• = x2( 2x1 – x2 ) krzywizny trajektorii między parami x1 = 0 i x2 = x1 Zauważmy, że C = 1 na x2 = x1 stąd wynika, że wynika z tego, że przy x1 > 0 wartość C wzrasta wraz Na tej prostej leżą trajektorie, tak jak to pokazuje rysunek ze wzrostem x1.
1.5 Potoki i ewolucja.
Równaniu :
x• = X(x ) , x ∈ S ⊆ R (1.53)
można nadać interpretacje dynamiczną, mianowicie przyjmując x• jako prędkość punktu na prostej fazowej ( zobacz punkt 1.2 ). Taka interpretacja pozwala spojrzeć na rr i jego rozwiązania z nowego punktu widzenia. Można przyjąć, że równanie (1.53) zadaje potok punktów fazowych na prostej fazowej. Funkcja X zadaje prędkość tego potoku przy każdej wartości x ∈ S. Rozwiązanie x(t) równania (1.53), spełniające warunek x0(t) = x0 określa ewolucje punktu fazowego, który w chwili t = t0 zajmował położenie x0 , tj. jej przeszłe ( przy t < t0 ) i przyszłe ( przy t > t0 ) położenia.
Idee taką można sformalizować, wprowadzając funkcje φt : S → S. Funkcję taką nazywamy „potokiem fazowym” lub
„operatorem ewolucji”. Termin „operator ewolucji” zazwyczaj stosuje się w zastosowaniach, gdzie φt opisuje zmianę w czasie, stanu pewnego realnego układu fizycznego. Pojęcie „potok” częściej stosuje się w przypadku, kiedy badamy globalną dynamikę, a nie ewolucje danego, konkretnego punktu.
Funkcja φt przeprowadza punkt x0 ∈ S w punkt φt (x0 ), otrzymywany z x0 w czasie t poprzez przesunięcie po linii całkowej równania (1.53), przechodzącej przez x0. Jest jasne, ze aby funkcja φt była określona, koniecznym jest aby dla danego równania słuszne było twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności. Punkt φt (x0 ) dla dowolnego rozwiązania x(t) równania (1.53) przechodzący w x0, dla t = t0 pokrywa się z x( t + t0 ). Taką własność zilustrowano na rys. 1.42, związana jest ona z tym, że rozwiązania równania autonomicznego można otrzymać jedno z drugiego poprzez przesunięcie wzdłuż osi t.
Rys. 1.42 Krzywe całkowe dla rr x• = ½ ( x2 – 1 ). Zauważmy, że rozwiązania ξ(t) i η(t) spełniają warunki ξ( t1) = η(t2) = x0 ; ξ( t + t1) = η( t + t2 ) = φt (x0 ), t ∈ R
Zatem, rozwiązanie równania (1.53) takie, że x (t0 ) = x0 zadane jest wzorem :
x(t) = φt –t0 (x0 ) (1.54)
Rozwiązanie równania x• = ax przedstawia sobą najprostszy przykład wzoru (1.54). W tym przypadku :
x(t) = exp[ a( t – t0 ) ] x0 (1.55)
tak, że działanie operatora φt –t0 polega po prostu na pomnożeniu przez exp[ a( t – t0 ) ] , jednakże taką prostą postać operator ewolucji ma tylko dla równań liniowych. W rzeczywistości znajomość operatora φt jest równoważne umiejętności rozwiązania równania (1.53) i dlatego określenie tego operatora napotyka takie same trudności jak rozwiązanie tego równania.
Operator φt posiada następujące, proste własności wynikające bezpośrednio z definicji. Z własności jednoznaczności otrzymujemy, że :
φs + t (x ) = φs( φt (x ) ) ; s, t ∈ R (1.56)
jeśli tylko lewa i prawa część równości jest określona.
W szczególności :
φt ( φ-t( x) ) = φ-t (φt (x ) ) = φ0(x ) = x (1.57)
tj. :
φs-1 = φ-t (1.58)
Dla potoku, zadanego wzorem (1.55), zależności (1.56) i (1.58) bezpośrednio wynikają z własności eksponenty.
Jednakże zazwyczaj takie zależności nie są aż tak oczywiste.
Przykład 1.5.1 Znaleźć operator ewolucji φt dla równania :
x• = x – x2 (1.59)
Sprawdzić dla takiego przypadku własność (1.56).
Rozwiązanie. Rozwiązania równania (1.59) zadane są wzorem :
∫
dx / ( x – x2 ) = ln( | x / x –1 | ) = t + C (1.60)dla x ≠ 0, x ≠ 1.
Zatem :
x / x – 1 = Ket
gdzie : K = ± eC , więc :
x(t) = Ket / ( Ket – 1) (1.61)
Jeśli podstawimy x = x0 przy t = 0, to z (1.61) otrzymujemy, że K = x0 / ( x0 – 1 ) i
x(t) = φt (x0 ) = x0et / ( x0et – x0 + 1 ) (1.62)
dla wszystkich rzeczywistych t i x0 ≠ 0, x0 ≠ 1. We wzorze (1.60) punkty x = 0 i x = 1 wykluczają się, ponieważ dla interwałów zawierających te punkty całka nie jest określona. Jednakże z (1.59) widać, ze takie punkty są punktami stałymi równania , tj. :
φt (0) = 0 , φt(1) = 1 (1.63)
dla wszystkich t ∈ R.
Potok φt zapisany w postaci (1.62) również posiada takie własności, zatem możemy podstawić :
φt (x) = xet / ( xet – x + 1 ) (1.64)
dla wszystkich rzeczywistych x, t.
W celu sprawdzenia podstawowej własności (1.56) operatora ewolucji zauważymy, że :
φs ( φt (x) ) = φs (x1 ) (1.65)
gdzie : x1 = φt (x). Zatem :
φs ( φt (x) ) = x1es / ( x1es – x1 + 1 ) (1.66)
przy czym :
x1 = xet / ( xet – x + 1 ) (1.67)
Podstawienie (1.67) do (1.66) daje :
φs ( φt (x) ) = xes+t / ( xes+ t – x + 1 ) = φs+t (x) (1.68)
W punkcie 1.1 widzieliśmy, że rozwiązania równania x• = X(x ) mogą być nieokreślone dla wszystkich t rzeczywistych.
Następny przykład pokazuje jak to wpływa na obszar określoności φt (x).
Przykład 1.5.2 Znaleźć operator ewolucji φt dla równania :
x• = x2 (1.69)
i dla wszystkich x rzeczywistych wskazać interwał zmienności t, na którym jest on określony.
Rozwiązanie. Rozwiązania (1.69) zadane są wzorami :
∫
x-2 dx = - x-1 = t + C (1.70)gdzie : C – stała.
Równość ta jest spełniona na dowolnym odcinku nie zawierającym x = 0. Jeśli x = x0 przy t = 0 , to C = - x0-1 i otrzymujemy :
x(t) = x0 / ( 1 – x0t ) , t ≠ x0-1 (1.71)
Z użyciem pojęcia operatora ewolucji, równanie (1.71) oznacza, że :
φt (x ) = x / ( 1 – xt ) (1.72)
dla niezerowych wartości x. Tak jak w przykładzie 1.5.1, operator φt (x) zadany wzorem (1.72), działa również przy x =0 , tj. :
φt (0 ) = 0 dla wszystkich t rzeczywistych. (1.73)
Słuszność wyrażenia (1.73) jest widoczna z równania (1.69), dla którego x =0 – jest punktem stałym. Zatem wzór (1.72) jest słuszny dla wszystkich x rzeczywistych. Jednakże operator φt nie jest określony dla wszystkich t, aby to pokazać rozpatrzmy np. (1.72) dla t = x-1. W istocie interwał na którym określony jest operator φt (x) określony jest następująco według wartości x :
a) x > 0 ; cała ewolucja punktu x określona jest wzorem (1.72) dla −∞ < t < x-1 b) x =0 z (1.73) widać, że φt (0) istnieje dla −∞ < t < ∞.
c) x < 0 ponownie ewolucja opisywana jest wzorem (1.72) ale teraz dla x-1 < t < ∞.
W przypadku a) φt (x) wzrasta od dowolnie małej wartości przy dużych ujemnych t, przyjmując wartość x przy t = 0 i dąży do nieskończoności przy t → x-1. analogicznie w przypadku c) φt (x) przyjmuje dowolnie duże ujemne wartości przy t bliskich x-1, wraz ze wzrostem t wielkość φt (x) wzrasta , a przy t →∞ dąży do zera ( zobacz rys. 1.15 ) Taką właśnie rolę odgrywa operator ewolucji na płaszczyźnie. Z autonomiczności równania (1.19) i w tym przypadku wynika, że rozwiązania można otrzymać jedno z drugiego poprzez przesunięcie wzdłuż osi t; operator φt (x)
przeprowadza punkt x w punkt, otrzymywany poprzez ruch po trajektoriach równania (1.19) w czasie t, tj.
φt (x) : R2 → R2. Z tego punktu widzenia trajektoria przechodząca przez punkt x, jest to zbiór punktów
{ φt (x) : t ∈ R }zorientowany względem t wzrastającego. Jak zobaczymy w rozdziale 3 i 5, taki opis rozwiązań może okazać się bardziej dogodny.
W paragrafie 2.5 podamy ogólną metodę otrzymywania operatora ewolucji dla układów liniowych na płaszczyźnie, taki operator zadany jest poprzez macierz 2 × 2. Przykładowo, rozwiązania układu x•2 = – x2 , które maja postać :
x1(t) = C1e-t , x2(t) = C2e-2t (1.74)
można zapisać tak :
[ x1(t) ] = [ e-t , 0 ] [ C1 ] (1.75)
[ x2(t) ] [ 0 , e-t ] [ C2 ] skąd wynika, że :
φt = [ et , 0 ] (1.76)
[ 0 , e-2t ]
jest operatorem ewolucji dla danego układu.
Ć wiczenia.
Do punktu 1.1 1) Pokazać, ze rr : x• = p(t)x = q(t)
można zapisać w postaci : d/dt ( xeP(t) ) = q(t) eP(t) gdzie :
P(t) =
∫
p(t) dt.Funkcje eP(t) nazywamy czynnikiem całkującym dla tego równania.
Zastosować to przekształcenie do rozwiązania następujących równań : a) x• = x − t ; b) x• = x + et ; c) x• = −x ctg(t) + 5ecos(t) , t ≠ nπ , n ∈ Z
2) Równanie różniczkowe : x• = f(x) g(t)
nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych, ponieważ jego rozwiązanie przechodzące przez punkt (t0 , x0 ) płaszczyzny t, x zadane jest wzorem :
x t
∫
du / f(u) =∫
g(s) dsx0 t0
( jeśli tylko powyższe całki istnieją ). W tej zależności zmienne x i t są rozdzielone. Zastosować te wzory do rozwiązania następujących równań :
a) x• = xt ; b) x• = − x/t , t ≠ 0 ; c) x• = −t / x , x ≠ 0 ; d) x• = −t / th(t) , t ≠ 0 3) Rr o postaci :
M(t, x) + N(t, x)x• = 0
nazywają się równiami o różniczkach zupełnych, jeśli istnieje funkcja F(t, x) o ciągłych pochodnych do drugiego rzędu włącznie, taka że ∂F/∂t ≡ M(t, x) , ∂F/∂x ≡ N(t, x).
Pokazać, ze dla istnienia takiej funkcji konieczne jest aby :
∂M/∂x = ∂N/∂t
i że dowolne rozwiązanie takiego rr spełnia zależność : F(t, x) = const.
Pokazać, ze równanie :
(x / t ) + [ ln(xt) + 1 ] x• = 0 , t, x > 0
jest równaniem o różniczkach zupełnych. Znaleźć F(x, t) i naszkicować kilka krzywych całkowych tego równania.
4) Znaleźć poprzez całkowanie rozwiązania następujących rr : a) x• = x2 , b) x• = ½ x3 , c) x• = ½ ( x2 – 1 ) , d) x• = 3 x2/3 , e) x• = sqrt ( 1 – x2 ) | x | ≤ 1 , f) x• = 2 x1/2 x ≥ 0
Równania e) i f) określone są odpowiednio w obszarach : D = { (t, x) | | x | ≤ 1 } , D = { (t, x) | x ≥ 0 } Na mocy stwierdzenia 1.1.1 ich rozwiązania powinny istnieć również w obszarach : D’ = { (t, x) | | x | < 1 } i D’ = { (t, x) | x > 0 }.
Czy istnieją rozwiązania które znaleźliście na brzegu obszarów D ?
5) Pokazać, jak można zbudować nieskończenie wiele rozwiązań spełniających warunek początkowy x(0) = 0 dla równań d) i f) z ćwiczenia 4. Czy można zrobić to samo dla rozwiązań z ćwiczenia 4e, spełniającego następujące warunki początkowe :
a) x(0) = 1 , b) x(0) = -1 ? Wyjaśnić odpowiedź.
6) Niech rr x• = X(t, x) posiada własność X(t, x ) = X( -t, -x ). Dowieść, że jeśli x = ξ(t) – jest rozwiązaniem, to x = -ξ(-t) jest również rozwiązaniem. Otrzymać analogiczne wyniki dotyczące symetrii rozwiązań dla przypadków : a) X(t, x ) = -X(-t, -x )
b) X(t, x) = -X(t, -x).
Jakie z wskazanych typów symetrii są obecne na rysunkach 1.1 – 1.8 ? 7) Rr o postaci :
x• = h(t, x ) (1)
nazywamy jednorodnym, jeśli dla funkcji h(t, x) spełniona jest tożsamość : h(αt, αx ) ≡ h(t, x ) przy wszystkich α rzeczywistych. Pokazać, że izoklinami takiego równania zawsze są proste, przechodzące przez początek współrzędnych na płaszczyźnie t, x. Wykorzystać taki wynik w celu przedstawienia krzywych całkowych równania :
x• = ex/t , t ≠ 0 (2)
Pokazać, ze zamiana zmiennych x = ut pozwala sprowadzić (1) do równania o zmiennych rozdzielonych ( ćwiczenie 2 ) względem funkcji u przy t ≠ 0. Czy można z pomocą tego wyniku otrzymać rodzinę krzywych całkowych dla (2) ? 8) Narysować rodzinę krzywych całkowych rozwiązań rr :
x• = ax – bx2 , x > 0 ; a, b > 0
Określić postać krzywych całkowych bezpośrednio z rr. Dowieść, że x• wzrasta przy 0 < x < a/2b i zmniejsza się przy a/2b < x < a/b. Jak zachowuje się x• przy a/b < x < ∞ ?
9) Dowieść, że podstawienie y = x -1 , x ≠ 0, pozwala sprowadzić następujące rr : x• = ax – bx2
do postaci opisanej w ćwiczeniu 1. Rozwiązać to równanie i pokazać, że : x(t) = ax0 / { bx0 + ( a – bx0 ) exp[ -a ( t – t0 ) ] }
gdzie : x(t0 ) = x0.
Sprawdzić czy szkic otrzymany w ćwiczeniu 8 jest zgodny z tym wzorem ?
Czy można z niego otrzymać jakiekolwiek własności jakościowe rozwiązań, które nie są otrzymywane bezpośrednio z postaci rr ?
10) Naszkicować krzywe całkowe dla następujących rr :
a) x• = x2 – t2 – t , b) x• = t – t/x , x ≠ 0 , c) x• = (2t + x ) / ( t – 2x ) , t ≠ 2x , d) x• = x2 + t2 wykorzystując izokliny i obszary wypukłości i wklęsłości.
11) Nie rozwiązując podanych rr, zbudować izokliny i naszkicować rodzinę następujących rr :
a) x• = x + t , b) x• = x3 – x , c) x• = xt2 , d) x• = x ln(x) , x > 0 , e) x• = sh(x ) , f) x• = t( x + 1 )/ ( t2 + 1 ) Jakie ogólne własności geometryczne posiadają rozwiązania równań b) , d) i e) ?
Sprawdzić otrzymane wyniki znajdując jawną postać rozwiązań.
Ćwiczenia do punktu 1.2
12) Znaleźć punkty stałe następujących autonomicznych rr :
a) x• = x + 1 , b) x• = x – x3 , c) x• = sh(x2 ) , d) x• = x4 – x3 – 2x2 , e) x• = x2 + 1
Określić charakter tych punktów stałych ( atraktor, repeler, bocznik ) I zbudować portret fazowy dla każdego z tych równań.
13) Jakie z poniższych rr mają jednakowy portret fazowy ? a) x• = sh(x) , b) x• = ax , a > 0
c) x• = { x ln( | x | ) dla x ≠ 0 { 0 dla x= 0
d) x• = sin(x) , e) x• = x3 – x , f) x• = th(x)
Objaśnić swoimi słowami, co znaczy, ze dwa rr mają jednakowy portret fazowy.
14) Rozpatrzyć następujące rr zależne od parametru : x• = ( x – λ ) ( x2 – λ) , λ ∈ R
Znaleźć wszystkie możliwe portrety fazowe, które można otrzymać dla tego równania, jak również interwały zmienność parametru λ, odpowiadające każdemu z takich portretów.
15) Ile różnych jakościowo typów portretów fazowych istnieje na prostej fazowej dla rr z trzema punktami stałymi ? Jaki jest wzór na ilość różnych portretów fazowych w przypadku n punktów stałych ?
16) Pokazać, że portret fazowy następującego rr : x• = ( a – x ) ( b – x )
jest taki sam jakościowo, jak dla równania : y• = y ( y – c )
dla wszystkich rzeczywistych a, b, c , a ≠ b, c ≠ 0. Pokazać, że tym niemniej przekształcenie o postaci : y = kx + m przeprowadzające pierwsze równanie w drugie, istnieje tylko jeśli c = b – a lub c = a – b.
17) Rozpatrzyć rr o postaci : x• = x3 + ax – b
Pokazać, że na płaszczyźnie a, b istnieje krzywa C dzieląca tę płaszczyznę na dwa obszary A , B takie, że przy a, b ∈ A portret fazowy posiada jeden repeler , a jeśli a, b ∈ B to posiada on dwa repelery i jeden atraktor pomiędzy nimi. Niech ustalona będzie pewna liczba a < 0, opisać zmianę w konfiguracji punktów stałych, kiedy b zmienia się od -∞ do +∞.
18) Materia γ tworzona jest w wyniku reakcji chemicznej między materią α i β. W reakcji tej gram materii γ pojawia się połączeniu p gramów materii α i q = 1 – p gramów materii β. Prędkość tworzenia γ w dowolnej chwili t jest równa iloczynowi mas α i β, nie wchodzących w danej chwili jeszcze w reakcje. Pokazać, że jeśli w chwili t = 0 połączyć a gram materii α i b gram materii β, to liczba x(t) materii γ przy t > 0 będzie spełniała równanie :
x• = ( a – px ) ( b – qx )
Przy założeniu, że a/p > b/q, zbudować portret fazowy dla tego równania. Jaka największa liczba materii γ pojawia się w wyniku takiego przebiegu reakcji ?
Ćwiczenia do punktu 1.3
19) Znaleźć punkty stałe następujących układów rr na płaszczyźnie : a) x1• = x1( a – bx1 )
x2• = −x2( c – dx1 ) ; a, b, c, d > 0 b) x1• = x2
x2• = – sin(x1) c) x1• = x2
x2• = x2( 1 – bx12 ) – x1 d) x1• = x1( 2 – x1 – 2x2 ) x2• = x2( 2 – 2x1 – x2 ) e) x1• = sin(x1)
x2• = cos(x2 )
20) Narysować następujące rodziny krzywych na płaszczyźnie, zadane parametrycznie w postaci : a) ( x1 , x2 ) = ( a cos(t) , a sin(t) )
b) ( x1 , x2 ) = ( a cos(t) , 2a sin(t) ) c) ( x1 , x2 ) = ( aet , be-2t )
d) ( x1 , x2 ) = ( aet + be-2t , aet − be-2t ) e) ( x1 , x2 ) = ( aet + be2t , be2t ) gdzie a, b ∈ R
Znaleźć układ rr na płaszczyźnie dla których powyższe rodziny zadają portret fazowy.
21) Poklasyfikować zgodnie ze szkicami narysowanymi dla ćwiczenia 20 rodziny krzywych a) – e) według grup, posiadających w początku współrzędnych na płaszczyźnie x1, x2 punkty stałe jednakowego typu.
22) Rozpatrzyć portret fazowy dla układu : x1• = X1 ( x1, x2 ) , x2• = X2 ( x1, x2 ) Pokazać, że układ o postaci :
y1• = − X1 ( y1, y2 ) , y2• = −X2 ( y1, y2 )
posiada jako trajektorię te same krzywe ale o przeciwnej orientacji. Sprawdzić ten wynik rozwiązując rr : a) x1• = x1 , x2• = x2
b) x1• = x1 , x2• = 2x2
I porównaη szkice z rysunkami 1.23 I 1.24.
Ćwiczenia do punktu 1.4 23) Pokazać, że układ : x1• = x2 , x2• = x1
przekształca się w układ rozseparowany, jeśli dokonamy zamiany zmiennych o postaci : x1= y1 + y2 , x2 = y1 − y2
Zbudować portret fazowy dla tego układu.
24) Pokazać, że rozwiązanie układu rr : x1• = −2x1 , x2• = x1 − 2x2
spełniające warunki początkowe x1(0) = 1 , x2(0) = 2 zadane jest wzorami : x1(t) = e-2t , x2(t) = e-2t ( t + 2 )
Dowieść jednoznaczności tego rozwiązania.
25) Rozpatrzyć układ nieliniowych rr pierwszego rzędu :
x1• = −x2 + x1 ( 1 − x12− x22 ) , x2• = x1 + x2 ( 1 − x12− x22 ) (1) Dokonać zamiany zmiennych : x1 = rcos(θ) , x2 = r sin(θ) i pokazać, że układ (1) jest równoważny układowi :
r• = r ( 1 − r2 ) , θ• = 1 (2)
