Algebra I Zadanie 3.7
Marek Wawreniuk Mateusz Gryka 20 grudnia 2013
Zadanie 3.7. Niech G, H będą skończenie generowanymi grupami cyklicznymi. Pokazać, że jeżeli dla każdej liczby n ∈ N grupa G ma tyle samo elementów rzędu n, co grupa H to grupy G i H są ze sobą izomorficzne.
(Założenie przemienności jest istotne, stwierdzenia powyższe dla grup nieprzemiennych nie jest prawdziwe).
Teza: G ' H.
Dowód: Zauważmy zatem, że |G| =
∞
P
i=1
Gi =
∞
P
i=1
Hi = |H| , gdzie Gi i Hi oznaczają ilość elementów rzędu i odpowiednio w grupach G i H.
Niech |G| = |H| = n0 , dodatkowo wiemy, że istnieje również jednoznaczny rozkład n0na czynniki pierwsze:
n0= pi11· pi22· ... · piss
Niech Gpi oznacza maksymalną pi podgrupę G, a Hpi oznacza maksymalną pi podgrupę H. Z Twierdzenia o klasyfikacji grup przemiennych skończenie generowanych wiemy, że każda taka grupa jest izomorficzna ze skończonym produktem nierozkładalnych p-grup cyklicznych(i grup izomorficznych z nierozkładalną grupą cy- kliczną nieskończoną Z).
Mamy zatem:
Gp1 ' (Zlp111)v11× ... × (Zlp1t1)v1t Hp1 ' (Zkp111)w11× ... × (Zkp1t1 )w1t Następnie stosujemy procedurę:
1) Weźmy maksymalne l1α oraz k1α jeśli l1α 6= k1α, to któreś z nich jest większe, czyli w którejś grupie są elementy rzędu wyższego niż w drugiej co daje sprzeczność z założeniami zadania.
2) Jeśli l1α= k1αto sprawdzamy v1αi w1α. Jeśli v1α6= w1αto w obu podgrupach mamy elementy tego samego maksymalnego rzędu natomiast w jednej z nich jest ich więcej, przez co otrzymujemy sprzeczność z założeniami.
Jeżeli l1α = k1α i v1α= w1α , wtedy powtarzamy procedurę kolejno dla grup ilorazowych Gp1/(Zlp1α1 )v1α oraz Hp1/(Zlp1α1 )v1α.
Wniosek. Na mocy indukcji matematycznej względem wykładników przy danych liczbach pierwszych oraz potem ze względu na kolejne liczby pierwsze otrzymujemy:
Gp1 ' (Zip111)v11× ... × (Zip1m1 )v1m ' Hp1
Następnie wnioskujemy, że Gpi' Hpi dla każdego i ∈ {1, ..., s}.
A z tego wynika już, że
G ' Gp1× ... × Gps ' Hp1× ... × Hps' H
1
