Algebra - Zadanie 2.8 Natalia Jankowska i Ola Grzybowska

Algebra - Zadanie 2.8

Natalia Jankowska i Ola Grzybowska

Treść zadania: . Udowodnić, że nie istnieje grupa, w której elementów rzedu_, 7 jest dokładnie 18.

Rozwiazanie:_, Dowód nie wprost

Z wykładu wiadomo, że: liczba elemenentów rzedu k = ϕ(k) · liczba podgrup_, izomorficznych z Zk, gdzie ϕ(k) jest funkcja Eulera (tzn jest to ilość takich liczb_, naturalnych niewiekszych od k, które s_, a wzgl_, ednie pierwsze z k; wiemy też, że_, jeżeli k jest liczba pierwsz_, a to ϕ(k) = k − 1)._,

W naszym zadaniu:

liczba elementów rzedu 7 = ϕ(7)· liczba podgrup izomorficznych z Z_, ⁷, czyli 18 = 6 · x. W takim razie musi zachodzić równość x = 3. czyli musza istnieć_, 3 podgrupy izomorficzne z Z⁷. Nazwijmy te pogdrupy A, B, C. Podgrupy te przecinaja si_, e trywialnie, każda z nich ma po 6 elementów rz_, edu 7 oraz rz_, edy_, tych podgrup wynosza 7._,

Weźmy działanie na zbiorze podgrup G wyznaczone przez automorfizmy wewnetrzne._, Zatem mamy homomorfizm Φ : G → AutG, gdzie elementowi g ∈ G odpowiada element Φg∈ AutG. Zatem dla dowolnego x ∈ G x 7−→^Φg gxg⁻¹.

Obserwacja: Przy automorfizmie Φ_g na podgrupe (dowoln_, a) H ¬ G, obraz tej_, podgrupy H⁰= Φ_g(H) jest izomorficzny z H.

Z tego możemy wywnioskować, że każdy automorfizm Φ_g przeprowadza A na A, B lub C (czyli na jedyne podgrupy, które sa izomorficzne z A)._,

Zatem otrzymujemy homomorfizm ψ : A → Σ3.

A ma rzad 7, a Σ_, 3 ma rzad 6, wi_, ec homomorfizm ψ jest trywialny._, Dokładniej: niech a ∈ A bedzie generatorem podgrupy A. Wtedy:_,

◦ o(ψ(a)) | 6, bo rzad elementu ψ(a) ∈ Σ_, 7dzieli rzad Σ_, 7.

◦ o(ψ(a)) | 7, bo rzad obrazu przy homomorfizmie dzieli rz_, ad grupy. A wiadomo,_, że (6, 7) = 1.

Zatem o(ψ(a)) = 1. Zatem ψ(a) jest permutacja trywialn_, a: A → A, B → B,_, C → C.

Weźmy obciecie naszego automorfizmu Φ_{, a}do B. Ponieważ ψ(a) jest permutacja_, trywialna, wi_, ec Φ_{, a|B} : B → B jest automorfizmem. Zatem istnieje homomrfizm γ : A → AutB, gdzie A ma rzad 7, a AutB ma rz_, ad 6, wi_, ec analogicznie jest to_, homomorfizm trywialny - (7, 6) = 1. (Jeżeli nasz element a nie jest generatorem, a elementem neutralnym, też dostaniemy AutB).

1

Podsumowujac: ∀a ∈ A ∀b ∈ B Φ_, a(b) = b ⇔ aba⁻¹ = b ⇔ ab = ba.

Wiemy, że < a > ∩ < b >= 1. (A i B przecinaja si_, e trywialnie) oraz a i b s_, a_, przemienne (ab = ba). Zatem:

< a, b >'< a > x < b > ' Z⁷ x Z⁷. Ale w grupie ' Z⁷ x Z⁷ mamy aż 48 elementów rzedu 7, czyli otrzymujemy sprzeczność._,

2