Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011

Endomorfizmy liniowe

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011

Definicja

Niech V b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Przekształcenie liniowe

ϕ :V → V nazywamyendomorfizmemprzestrzeni V . Ponadto, je´sli A jest baz ˛a V , to macierz M(ϕ)^A_Anazwiemymacierz ˛a endomorfizmuϕw bazie A i oznaczymy M(ϕ)A

Przykład

1. Znane z geometrii szkolnej izometrie oraz podobie ´nstwa płaszczyzny, je´sli nie ruszaj ˛a punktu (0, 0) s ˛a pewnymi

endomorfizmami płaszczyzny jako przestrzeni liniowej R². Np. niech s – symetria wzgl ˛edem osi X, r – obrót wokół (0, 0) o k ˛at π/2, k – jednokładno´s´c w skali −3 wzgl ˛edem (0, 0), i niech A – baza standardowa, za´s baza B = ((1, 2), (0, 1)) :

M(s)A =

 1 0 0 −1



, M(s)B =

 1 0

−4 −1



Definicja

Niech V b ˛edzie przestrzeni ˛a liniow ˛a. Przekształcenie liniowe

ϕ :V → V nazywamyendomorfizmemprzestrzeni V . Ponadto, je´sli A jest baz ˛a V , to macierz M(ϕ)^A_Anazwiemymacierz ˛a endomorfizmuϕw bazie A i oznaczymy M(ϕ)A

Przykład

1. Znane z geometrii szkolnej izometrie oraz podobie ´nstwa płaszczyzny, je´sli nie ruszaj ˛a punktu (0, 0) s ˛a pewnymi

endomorfizmami płaszczyzny jako przestrzeni liniowej R². Np. niech s – symetria wzgl ˛edem osi X, r – obrót wokół (0, 0) o k ˛at π/2, k – jednokładno´s´c w skali −3 wzgl ˛edem (0, 0), i niech A – baza standardowa, za´s baza B = ((1, 2), (0, 1)) :

M(s)A =

 1 0 0 −1



, M(s)B =

 1 0

−4 −1



Przykład

M(r )A =

 0 −1

1 0



, M(r )B =

 −2 −1

5 2

 ,

M(k )A=

 −3 0 0 −3



=M(k )B

Ogólnie, macierz ˛a jednokładno´sci w

skali α, czyli endomorfizmu ϕ : V → V zadanego przez ϕ(v ) = αv jest, niezale˙znie od bazy







α 0

. ..

0 α







Problem

Dany endomorfizm ϕ : V → V . Jak zmienia si ˛e M(ϕ)Aprzy zmianie bazy A w V ?

Przykład

M(r )A =

 0 −1

1 0



, M(r )B =

 −2 −1

5 2

 ,

M(k )A=

 −3 0 0 −3



=M(k )B

Ogólnie, macierz ˛a jednokładno´sci w

skali α, czyli endomorfizmu ϕ : V → V zadanego przez ϕ(v ) = αv jest, niezale˙znie od bazy







α 0

. ..

0 α







Problem

Dany endomorfizm ϕ : V → V . Jak zmienia si ˛e M(ϕ)Aprzy zmianie bazy A w V ?

Definicja

Mówimy, ˙ze macierze A, B ∈ M_n×n(R) s ˛apodobne⇔ istnieje taka macierz odwracalna C ∈ M_n×n(R), ˙ze B = C⁻¹AC.

Twierdzenie

Niech ϕ : V → V b ˛edzie endomorfizmem sko ´nczeniewymiarowej przestrzeni V . Wówczas dla dowolnych baz A, B przestrzeni V macierze M(ϕ)A i M(ϕ)B s ˛a podobne.

Dowód: M(ϕ)^B_B =M(id ◦ ϕ ◦ id )^B_B =M(id )^B_AM(ϕ)^A_AM(id )^A_B. Zatem, M(ϕ)B =C⁻¹M(ϕ)AC, gdzie C = M(id )^A_B.

Definicja

Mówimy, ˙ze macierze A, B ∈ M_n×n(R) s ˛apodobne⇔ istnieje taka macierz odwracalna C ∈ M_n×n(R), ˙ze B = C⁻¹AC.

Twierdzenie

Niech ϕ : V → V b ˛edzie endomorfizmem sko ´nczeniewymiarowej przestrzeni V . Wówczas dla dowolnych baz A, B przestrzeni V macierze M(ϕ)A i M(ϕ)B s ˛a podobne.

Dowód: M(ϕ)^B_B =M(id ◦ ϕ ◦ id )^B_B =M(id )^B_AM(ϕ)^A_AM(id )^A_B. Zatem, M(ϕ)B =C⁻¹M(ϕ)AC, gdzie C = M(id )^A_B.

Przykład

Niech ϕ : R²→ R², ϕ((x₁,x₂)) = (2x₁+3x₂,x₁− x₂), A = st, B = ((1, 1), (1, 0)),

ϕ((1, 1)) = (5, 0) = 0(1, 1)+5(1, 0), ϕ((1, 0)) = (2, 1) = 1(1, 1)+1(1, 0) M(ϕ)A=

 2 3 1 −1



,C = M(id )^A_B =

 1 1 1 0

 ,

M(id )^B_A=C⁻¹=

 0 1 1 −1



,C⁻¹M(ϕ)AC =

 0 1 1 −1

  2 3 1 −1



·

·

 1 1 1 0



=

 1 −1

1 4

  1 1 1 0



=

 0 1 5 1



=M(ϕ)_B

Twierdzenie

Niech V – przestrze ´n liniowa, dimV = n. Macierze A, B ∈ M_n×n(R) s ˛a podobne ⇔ istnieje endomorfizm ϕ : V → V i takie bazy A, B w V , ˙ze A = M(ϕ)A,B = M(ϕ)B

Wektory i warto ´sci własne

Definicja

niech ϕ : V → V b ˛edzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V . Ró˙zny od0 wektor v ∈ V nazywamywektorem własnymje´sli istnieje liczba α ∈ R taka, ˙ze ϕ(v) = αv. Sam ˛a liczb ˛e α nazywamy wówczas warto´sci ˛a własn ˛aendomorfizmu ϕ (odpowiadaj ˛aca wektorowi własnemu v )

Interpretacja geometryczna

Wektor własny v endomorfizmu ϕ wyznacza prost ˛a liniow ˛a postaci lin(v ) , któr ˛a ϕ przeprowadza w siebie, tzn. ϕ(lin(v )) ⊂ lin(v ) Uwaga: Niech α ∈ R b ˛edzie warto´sci ˛a własn ˛a endomorfizmu

ϕ :V → V przestrzeni V . Zbiór wektorów własnych, którym odpowiada αuzupełniony przez wektor0 tworzy podprzestrze ´n V zwan ˛a

podprzestrzeni ˛a własn ˛adla α i oznaczan ˛a V_(α). Czyli: V_(α) = {v ∈ V |ϕ(v ) = αv }.

Wektory i warto ´sci własne

Definicja

niech ϕ : V → V b ˛edzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V . Ró˙zny od0 wektor v ∈ V nazywamywektorem własnymje´sli istnieje liczba α ∈ R taka, ˙ze ϕ(v) = αv. Sam ˛a liczb ˛e α nazywamy wówczas warto´sci ˛a własn ˛aendomorfizmu ϕ (odpowiadaj ˛aca wektorowi własnemu v )

Interpretacja geometryczna

Wektor własny v endomorfizmu ϕ wyznacza prost ˛a liniow ˛a postaci lin(v ) , któr ˛a ϕ przeprowadza w siebie, tzn. ϕ(lin(v )) ⊂ lin(v )

Uwaga: Niech α ∈ R b ˛edzie warto´sci ˛a własn ˛a endomorfizmu

ϕ :V → V przestrzeni V . Zbiór wektorów własnych, którym odpowiada αuzupełniony przez wektor0 tworzy podprzestrze ´n V zwan ˛a

podprzestrzeni ˛a własn ˛adla α i oznaczan ˛a V_(α). Czyli: V_(α) = {v ∈ V |ϕ(v ) = αv }.

Wektory i warto ´sci własne

Definicja

niech ϕ : V → V b ˛edzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V . Ró˙zny od0 wektor v ∈ V nazywamywektorem własnymje´sli istnieje liczba α ∈ R taka, ˙ze ϕ(v) = αv. Sam ˛a liczb ˛e α nazywamy wówczas warto´sci ˛a własn ˛aendomorfizmu ϕ (odpowiadaj ˛aca wektorowi własnemu v )

Interpretacja geometryczna

Wektor własny v endomorfizmu ϕ wyznacza prost ˛a liniow ˛a postaci lin(v ) , któr ˛a ϕ przeprowadza w siebie, tzn. ϕ(lin(v )) ⊂ lin(v ) Uwaga: Niech α ∈ R b ˛edzie warto´sci ˛a własn ˛a endomorfizmu

ϕ :V → V przestrzeni V . Zbiór wektorów własnych, którym odpowiada αuzupełniony przez wektor0 tworzy podprzestrze ´n V zwan ˛a

podprzestrzeni ˛a własn ˛adla α i oznaczan ˛a V_(α). Czyli:

V_(α) = {v ∈ V |ϕ(v ) = αv }.

Przykład

oznaczmy jak poprzednio s – symetri ˛e R²wzgl ˛edem osi X, r – obrót wokół (0, 0) o π/2, k – jednokładno´s´c wzgl ˛edem (0, 0) w skali −3.

Symetria s ma dwie warto´sci własne α₁=1 oraz α₂= −1, przy czym V₍₁₎=o´s X, V₍₋₁₎=o´s Y.

Obrót r nie warto´sci i wektorów własnych.

Jednokładno´s´c k ma warto´s´c własn ˛a α = −3, i V₍₋₃₎= R². Ogólnie dla jednokładno´sci liniowej ϕ : V → V w skali α, tzn. ϕ(v ) = αv , dla v ∈ V liczba α jest jedyn ˛a warto´sci ˛a własn ˛a, i V_(α) =V

Przykład

oznaczmy jak poprzednio s – symetri ˛e R²wzgl ˛edem osi X, r – obrót wokół (0, 0) o π/2, k – jednokładno´s´c wzgl ˛edem (0, 0) w skali −3.

Symetria s ma dwie warto´sci własne α₁=1 oraz α₂= −1, przy czym V₍₁₎=o´s X, V₍₋₁₎=o´s Y.

Obrót r nie warto´sci i wektorów własnych.

Jednokładno´s´c k ma warto´s´c własn ˛a α = −3, i V₍₋₃₎= R². Ogólnie dla jednokładno´sci liniowej ϕ : V → V w skali α, tzn. ϕ(v ) = αv , dla v ∈ V liczba α jest jedyn ˛a warto´sci ˛a własn ˛a, i V_(α) =V

Przykład

oznaczmy jak poprzednio s – symetri ˛e R²wzgl ˛edem osi X, r – obrót wokół (0, 0) o π/2, k – jednokładno´s´c wzgl ˛edem (0, 0) w skali −3.

Symetria s ma dwie warto´sci własne α₁=1 oraz α₂= −1, przy czym V₍₁₎=o´s X, V₍₋₁₎=o´s Y.

Obrót r nie warto´sci i wektorów własnych.

Jednokładno´s´c k ma warto´s´c własn ˛a α = −3, i V₍₋₃₎= R². Ogólnie dla jednokładno´sci liniowej ϕ : V → V w skali α, tzn. ϕ(v ) = αv , dla v ∈ V liczba α jest jedyn ˛a warto´sci ˛a własn ˛a, i V_(α) =V

Przykład

oznaczmy jak poprzednio s – symetri ˛e R²wzgl ˛edem osi X, r – obrót wokół (0, 0) o π/2, k – jednokładno´s´c wzgl ˛edem (0, 0) w skali −3.

Symetria s ma dwie warto´sci własne α₁=1 oraz α₂= −1, przy czym V₍₁₎=o´s X, V₍₋₁₎=o´s Y.

Obrót r nie warto´sci i wektorów własnych.

Jednokładno´s´c k ma warto´s´c własn ˛a α = −3, i V₍₋₃₎= R². Ogólnie dla jednokładno´sci liniowej ϕ : V → V w skali α, tzn. ϕ(v ) = αv , dla v ∈ V liczba α jest jedyn ˛a warto´sci ˛a własn ˛a, i V_(α) =V

Symetria s ma dwie warto´sci własne: 1 oraz −1. Przestrzeni ˛a własn ˛a V₍₁₎jest o´s X , przestrzeni ˛a własna V₍₋₁₎jest o´s Y . Jedynie dla prostych liniowych X i Y mamy s(X ) ⊂ X , s(Y ) ⊂ Y (te zawierania s ˛a równo´sciami)

X Y

V_−1 

V_{1 }

l sl

Obrót r nie ma wektorów własnych. Obraz r (l) dowolnej prostej liniowej l (tzn. przechodz ˛acej przez0) nie zawiera si ˛e w tej prostej

rl

l

X Y

Problem

Jak znajdowa´c wektory i warto´sci własne?

Sprawdzenie, ˙ze wektor jest wektorem własnym jest proste, wystarczy obliczy´c warto´s´c przekształcenia. Np. φ : R²→ R²,

φ((x₁,x₂)) = (x₁+2x₂,x₁+2x₂). Niech v = (1, 1). Mamy φ(v ) = (3, 3) = 3v , zatem v jest wektorem własnym dla warto´sci własnej 3. Jak jednak wykrywa´c warto´sci i wektory własne?

Definicja

Niech A ∈ M_n×n(R). Wielomian w(λ) = det(A − λI) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.

Przykład

A =

 1 2 3 4



,w (λ) = det

 1 − λ 2 3 4 − λ



= (1 − λ)(4 − λ) − 6 =

λ²− 5λ − 2

Problem

Jak znajdowa´c wektory i warto´sci własne?

Sprawdzenie, ˙ze wektor jest wektorem własnym jest proste, wystarczy obliczy´c warto´s´c przekształcenia. Np. φ : R²→ R²,

φ((x₁,x₂)) = (x₁+2x₂,x₁+2x₂). Niech v = (1, 1). Mamy φ(v ) = (3, 3) = 3v , zatem v jest wektorem własnym dla warto´sci własnej 3. Jak jednak wykrywa´c warto´sci i wektory własne?

Definicja

Niech A ∈ Mn×n(R). Wielomian w(λ) = det(A − λI) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.

Przykład

A =

 1 2 3 4



,w (λ) = det

 1 − λ 2 3 4 − λ



= (1 − λ)(4 − λ) − 6 =

λ²− 5λ − 2

Problem

Jak znajdowa´c wektory i warto´sci własne?

Sprawdzenie, ˙ze wektor jest wektorem własnym jest proste, wystarczy obliczy´c warto´s´c przekształcenia. Np. φ : R²→ R²,

φ((x₁,x₂)) = (x₁+2x₂,x₁+2x₂). Niech v = (1, 1). Mamy φ(v ) = (3, 3) = 3v , zatem v jest wektorem własnym dla warto´sci własnej 3. Jak jednak wykrywa´c warto´sci i wektory własne?

Definicja

Niech A ∈ Mn×n(R). Wielomian w(λ) = det(A − λI) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.

Przykład

A =

 1 2 3 4



,w (λ) = det

 1 − λ 2 3 4 − λ



= (1 − λ)(4 − λ) − 6 =

λ²− 5λ − 2

Uwaga:

Je´sli macierz kwadratowa jest n × n to jej wielomian charakterystyczny jest stopnia n. Macierze podobne maj ˛a ten sam wielomian

charakterystyczny (wniosek z twierdzenia Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu macierzy).

Definicja

Niech ϕ : V → V . Wielomianem charakterystycznym endomorfizmuϕ nazywamy wielomian charakterystyczny macierzy M(ϕ)A, gdzie A jest baz ˛a V (wielomian ten nie zale˙zy od A!) i oznaczamy go w_ϕ.

Przykład

Niech ϕ : R²→ R², zadane przez ϕ((x₁,x₂)) = (x₁+2x₂,3x₁+4x₂), niech A = st, wtedy

M(ϕ)A=

 1 2 3 4



zatem wϕ= (1 − λ)(4 − λ) − 6 = λ²− 5λ − 2

Twierdzenie

Niech ϕ b ˛edzie endomorfizmem przestrzeni liniowej. Wówczas:

(i)Liczba α ∈ R jest warto´sci ˛a własn ˛a endomorfizmu ϕ ⇔ α jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego w_ϕ

(ii) Niech A = (v₁, . . . ,v_n)b ˛edzie baz ˛a V i niech A = M(ϕ)_A. Wektor v = x₁v₁+ · · · +xnvnjest wektorem własnym z warto´sci ˛a własn ˛a α ⇔

(A − αI)





 x₁

... xn





=





 0

... 0







Dowód: Niech v = x₁v₁+ · · · +x_nv_n. Wtedy ϕ(v ) = αv ⇔

A





 x₁

... xn





= α





 x₁

... xn





⇔ (*) (A − αI)





 x₁

... xn





=





 0

... 0





,

cd. dowodu

zatem istnieje niezerowy wektor v = x₁v₁+ . . .xnvnspełniaj ˛acy (*)⇔

istniej ˛a takie liczby x₁, . . . ,x_nnie wszystkie = 0, ˙ze

(A − αI)





 x₁

... xn





=





 0

... 0





, ale to jak wiemy oznacza, ˙ze det(A − αI) = 0.

Przykład

Niech ϕ : R³→ R³, b ˛edzie zadane wzorem

ϕ((x₁,x₂,x₃)) = (x₁+2x₂, −x₁+4x₂,3x₁− 5x₂+3x₃).Mamy

A = M(ϕ)_st =





1 2 0

−1 4 0

3 −5 3



, czyli A−λI =





1 − λ 2 0

−1 4 − λ 0

3 −5 3 − λ



,

sk ˛ad w_ϕ =det(A − λI) = ((1 − λ)(4 − λ) + 2)(3 − λ) =

(λ²− 5λ + 6)(3 − λ) = (λ − 2)(λ − 3)(3 − λ) = −(λ − 2)(λ − 3)².

Przykład

cd. Zatem s ˛a dwie warto´sci własne:λ₁=2, λ₂=3. Znajdujemy podprzestrzenie własne rozwi ˛azuj ˛ac układy równa ´n:

V₍₂₎:





−1 2 0

−1 2 0

3 −5 1







 x₁ x₂ x₃



=



 0 0 0









−1 2 0

−1 2 0

3 −5 1



→





1 −2 0

0 0 0

0 1 1



→





1 0 2 0 1 1 0 0 0



 czyli x₁= −2x₃, x₂= −x₃, zatem

V₍₂₎= {(−2x₃, −x₃,x₃)|x₃∈ R} = lin((−2, −1, 1)).

Przykład cd.

V₍₃₎:





−2 2 0

−1 1 0

3 −5 0







 x₁ x₂ x₃



=



 0 0 0









−2 2 0

−1 1 0

3 −5 0



→





1 −1 0

0 0 0

0 −2 0



→





1 0 0 0 1 0 0 0 0



 zatem x₁=0, x₂=0, czyli V₍₃₎= {(0, 0, x₃)|x₃∈ R} = lin((0, 0, 1)).

Uwaga:

je´sli dim V = n i ϕ : V → V to stopie ´n wielomianu w_ϕ wynosi n.

Zatem, kiedy n jest nieparzyste, w_ϕma pierwiastek, czyli ϕ ma pewn ˛a warto´s´c własn ˛a i wektory własne.Ponadto ( dla dowolnego n )

dimV_(α)≤ krotno´s´c α jako pierwiastka w_ϕ.