12.5.2020, kl 2b Nieskończenie małe

(1)

Zadanie 1. Każdą z liczb a, b zmieniono o nie więcej niż 0.01. O ile mogła zmienić się (a) ich suma; (b) ich iloczyn?

Zadanie 2. Liczbę x zmieniono o 0.01. Czy wartość (a) sin x; (b) tg x;

item sin(x²) może zmienić się o więcej niż 1?

Zadanie 3. Boki kwadratu zmierzono z błędem nie większym niż 1 cm. Czy wobec tego, znamy pole tego kwadratu z błędem nie większym niż 1 km²? Zadanie 4. Udowodnij, że dla |x| < 0.001 mamy (1 + x)³≈ 1 + 3x z błędem

nie większym niż 1% z |x|. Podobnie, dla |x| < 0.001 mamy (a) _1+x¹ ≈ 1 − x, z błędem nie większym niż 1% z |x|;

(b) _1+x¹ ≈ 1 − x + x², z błędem nie większym niż 1% z x²; (c) √

1 + x ≈ 1 + x/2, z błędem nie większym niż 1% z |x|;

(d) √

1 + x ≈ 1 +¹₂x −¹₈x², z błędem nie większym niż 1% z x²; (e) cos x ≈ 1−x²/2 z błędem nie większym niż 1% z x², przy |x| < 0.001.

Definicja. Niech f, g będą funkcjami. Powiemy, żef jest nieskończenie mała względem g przy x → a, jeśli dla dowolnego > 0 nierówność |f (x)| ¬ |g(x)|

zachodzi we wszystkich punktach dostatecznie bliskich a. Dokładniej, istnieje δ > 0 (δ może zależeć od ), że |f (x)| ¬ |g(x)| dla wszystkich x ze zbioru (a − δ, a) ∪ (a, a + δ). (Proszę zwrócić uwagę, że funkcje f, g nie muszą być określone w punkcie a.) Piszemy wówczas:f (x) = o(g(x)) przy x → a(„f jest małe w stosunku do g przy x dążącym do a.”)

Zadanie 5. Rozważmy funkcje: 1+x², x², sin x, x,p|x|, x sin(1/x), sin(1/x).

Wskaż te pary funkcji f, g dla których f (x) = o(g(x)) przy x → 0.

Zadanie 6. Udowodnij, że_1−x¹ = 1 + x + o(x) oraz _1−x¹ = 1 + x + x²+ o(x²).

Zadanie 7. Znajdź podobne wzory z błędem o(x²) dla (a) _2−x¹ ; (b) _1+x¹2. Zadanie 8. Znajdź a, b, c ∈ R takie, że

1 − x

1 + x = a + bx + cx²+ o(x²).

Zadanie 9. Udowodnij, że (a) sin x = x+o(x) przy x → 0; (b) tg x = x+o(x) przy x → 0; (c) cos x = 1 −¹₂x²+ o(x²) przy x → 0.

Zadanie 10. Wiadomo, że jest a takie, że tg x = x + ax³+ o(x³). Znajdź je.

Wskazówka: tg(2x) = _1−tg^{2 tg x}2x.

Zadanie 11. Znajdź a, b, że (a) sin(^π₃+ x) = a + bx + o(x); (b) tg(π3 + x) = a + bx + o(x); (c) arctg(1 + x) = a + bx + o(x) (arctg to funkcja odwrotna do funkcji tg);

Zadanie 12. Udowodnij, że funkcja f jest ciągła w punkcie a, jeśli f (x) = f (a) + o(1) przy x → a.

Zadanie 13. Udowodnij, że:

(a) Jeśli f (x) = o(1) i g(x) = o(1) przy x → a, to f (x) + g(x) = o(1) przy x → a.

(b) Jeśli f (x) = o(1) przy x → a, a g jest ograniczona w pewnym oto- czeniu punktu a (tj. istnieje > 0 i M takie, że |f (x)| < C dla x ∈ (a − , a + )), to f (x)g(x) = o(1) przy x → a.

(c) Jeśli f jest ciągła w punkcie a, to jest ograniczona w pewnym oto- czeniu punktu a.

(d) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi w punkcie a, to f + g, f · g są ciągłe w a.

Zadanie 14. Udowodnij, że jeśli f jest ciągła w punkcie a, a funkcja g jest ciągła w punkcie f (a), to g(f (x)) jest ciągła w punkcie a.

Zadanie 15. Niech f (x) = x+0.001 bxc. Udowodnij, że dla każdego > 0.001 i x ∈ R można znaleźć δ = δ(, x) > 0 takie, że |f (x⁰) − f (x)| < , jeśli tylko x⁰ ∈ (x − δ, x + δ), ale dla 0 < ¬ 0.001 nie dla każdego x ∈ R takie δ da się znaleźć.

Zadanie 16. Wyznacz wszystkie punkty nieciągłości funkcji (a) √ x − b√

xc, (b) bxc sin(πx), (c) (−1)b^x²c.

Powodzenia !