1 Ciągłość, różniczkowalność funkcji wielu zmiennych.
1. Zbadać ciagłość funkcji f : R2 →R określonej f(x) =
1, x1 ix2− ujemne, 0, x1 ix2− niewymierne,
−1, w pozostałych przypadkach.
2. Zbadać, czy przestrzenie R i R\ Q sa homeomorficzne. 3. Czy istnieje funkcja f :R2 →R taka, że
(i)f nie jest ciagła w punkcie x 0, (ii) ∂f∂x i ∂f∂y istnieja w tym punkcie?
4. Czy istnieje funkcja f :R2 →R taka, że (i)f jest ciagła w punkcie x 0,
(ii) ∂f∂x i ∂f∂y istnieja w tym punkcie, (iii) Df nie istnieje w tym punkcie?
5. Czy istnieje funkcja f :R2 →R taka, że (i)f jest ciagła w punkcie x 0,
(ii) pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie x0 istnieje we wszystkich kierunkach, (iii) Df nie istnieje?
6. Funkcja f : U ⊂ R2 → R spełnia warunek Lipschitza w punkcie (x0, y0) ∈ U, jeśli istnieje takie otoczenie punktu (x0, y0) W ⊂ U oraz stała L, że:
|f(x, y) − f(x0, y0)| L(x, y) − (x0, y0).
Mówimy, wówczas, że warunek Lipschitza jest spełniony w punkcie W ze stała L.
(i) Korzystajac z twierdzenia o wartości średniej wykazać, że warunek Lipschitza jest spełniony dla funkcji f(x, y) = sin(x4+y2) w punkcie (0, 0), w dowolnej kuli B((0, 0), r).
(ii) Uogólnić powyższe stwierdzenie na przypadek dowolnej f : R2 → R różniczkowalnej z ciagłymi pochodnymi cz astkowymi.
(iii) Podać przykład funkcji spełniajacej warunek Lipschitza w punkcie (x 0, y0) ale nie różnicz- kowalnej w tym punkcie.
(iv) Pokazać, że warunek Lipschitza w punkcie implikuje ciagłość funkcji w tym punkcie. (v) Podać przykład funkcji nie spełniajacej warunku Lipschitza w pewnym zbiorze ograniczo- nym, ale ciagłej.
7. Zbadać, czy limn→∞fn(x, y) = (limn→∞fn(x, y)), gdzie (i)fn(x, y) = xyn, (x, y ∈)R2,
(ii) fn(x, y) =
2xyn2 sinx+y1 , (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)} , 0, (x, y) = (0, 0),
(iii) fn(x, y) =
n2(xxy2+y2), (x, y) ∈R2\ {(0, 0)} , 0, (x, y) = (0, 0),
8. Zbadać, czy (∞n=1fn(x, y)) =∞n=1fn(x, y), gdzie (i)fn(x, y) = (xy)n+1n+1 dla (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1),
(ii) fn(x, y) = n2+(xy)1 2 dla (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1).
Arkusz 1
