09 Macierze, Wyznaczniki i Układy równań liniwych

28 lutego 2017

Definicja 265

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Z_n× Z_m−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m},

A − B = {ai j− bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Definicja 265

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Z_n× Z_m−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m},

A − B = {ai j− bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Definicja 265

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Z_n× Z_m−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m},

A − B = {ai j− bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Definicja 265

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Z_n× Z_m−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m},

A − B = {ai j− bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Definicja 265

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Z_n× Z_m−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m},

A − B = {ai j− bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Definicja 265

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Z_n× Z_m−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m},

A − B = {ai j− bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Definicja 265

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Z_n× Z_m−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m},

A − B = {ai j− bi j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Niech A = {a_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} bedzie macierz_, a liczbow_, a, a λ dowolnym_, skalarem. Definiujemy λA = {λa_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierz_, a zerow_, a._, Dla danej macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} symbol (−A) oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz {−a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Niech A = {a_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} bedzie macierz_, a liczbow_, a, a λ dowolnym_, skalarem. Definiujemy λA = {λa_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierz_, a zerow_, a._, Dla danej macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} symbol (−A) oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz {−a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Niech A = {a_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} bedzie macierz_, a liczbow_, a, a λ dowolnym_, skalarem. Definiujemy λA = {λa_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierz_, a zerow_, a._, Dla danej macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} symbol (−A) oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz {−a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Niech A = {a_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} bedzie macierz_, a liczbow_, a, a λ dowolnym_, skalarem. Definiujemy λA = {λa_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierz_, a zerow_, a._, Dla danej macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} symbol (−A) oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz {−a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}.

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k} taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j = ¬ 33

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 267

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C,

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k} taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j = ¬ 33

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 267

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C,

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k} taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j = ¬ 33

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 267

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C,

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k} taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j = ¬ 33

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 267

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C,

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k} taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j = ¬ 33

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 267

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C,

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k} taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j = ¬ 33

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 267

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C,

Definicja 268

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n} taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 269

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

Definicja 268

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n} taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 269

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

Definicja 268

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n} taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 269

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

Definicja 268

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n} taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 269

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

Definicja 268

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n} taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 269

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

Definicja 270

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

Definicja 270

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

Definicja 270

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

Definicja 270

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

Definicja 270

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

Definicja 270

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

Definicja 270

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

Definicja 271

Permutacją zbioru Z_n nazywamy bijekcję f : Z_n −→ Z_n. Zbiór permutacji zbioru Zn oznaczamy przez Sn.

Definicja 272

Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli_, (i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

Definicja 273

Przez κ(p) oznaczamy liczbe wszystkich inwersji w permutacji p._, Znakiem permutacji p nazywamy liczbe σ(p) = (−1)_, ^κ(p)

Definicja 271

Permutacją zbioru Z_n nazywamy bijekcję f : Z_n −→ Z_n. Zbiór permutacji zbioru Zn oznaczamy przez Sn.

Definicja 272

Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli_, (i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

Definicja 273

Przez κ(p) oznaczamy liczbe wszystkich inwersji w permutacji p._, Znakiem permutacji p nazywamy liczbe σ(p) = (−1)_, ^κ(p)

Definicja 271

Permutacją zbioru Z_n nazywamy bijekcję f : Z_n −→ Z_n. Zbiór permutacji zbioru Zn oznaczamy przez Sn.

Definicja 272

Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli_, (i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

Definicja 273

Przez κ(p) oznaczamy liczbe wszystkich inwersji w permutacji p._, Znakiem permutacji p nazywamy liczbe σ(p) = (−1)_, ^κ(p)

Definicja 271

Permutacją zbioru Z_n nazywamy bijekcję f : Z_n −→ Z_n. Zbiór permutacji zbioru Zn oznaczamy przez Sn.

Definicja 272

Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli_, (i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

Definicja 273

Przez κ(p) oznaczamy liczbe wszystkich inwersji w permutacji p._, Znakiem permutacji p nazywamy liczbe σ(p) = (−1)_, ^κ(p)

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 275

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}.

Definicja 276

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 275

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}.

Definicja 276

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 275

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}.

Definicja 276

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 275

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}.

Definicja 276

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 275

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈{1,2...,r} l∈{1,2...,r}.

Definicja 276

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

Twierdzenie 277

Dla macierzy A mamy |A| =

n

P

l=1

aj lAj l=

n

P

l=1

al kAl k.

Gdzie Ai j= (−1)^i+j· Mi j

Twierdzenie 278

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A^T sa równe._,

Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przek_, atnej._,

Twierdzenie 279

Niech bed_, a dane macierze kwadratowe A = {a_, i j}i, j∈{1,2...,n}, B = {bi j}i j∈{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A · det B.

Twierdzenie 277

Dla macierzy A mamy |A| =

n

P

l=1

aj lAj l=

n

P

l=1

al kAl k.

Gdzie Ai j= (−1)^i+j· Mi j

Twierdzenie 278

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A^T sa równe._,

Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przek_, atnej._,

Twierdzenie 279

Niech bed_, a dane macierze kwadratowe A = {a_, i j}i, j∈{1,2...,n}, B = {bi j}i j∈{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A · det B.

Twierdzenie 277

Dla macierzy A mamy |A| =

n

P

l=1

aj lAj l=

n

P

l=1

al kAl k.

Gdzie Ai j= (−1)^i+j· Mi j

Twierdzenie 278

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A^T sa równe._,

Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przek_, atnej._,

Twierdzenie 279

Niech bed_, a dane macierze kwadratowe A = {a_, i j}i, j∈{1,2...,n}, B = {bi j}i j∈{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A · det B.

Twierdzenie 277

Dla macierzy A mamy |A| =

n

P

l=1

aj lAj l=

n

P

l=1

al kAl k.

Gdzie Ai j= (−1)^i+j· Mi j

Twierdzenie 278

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A^T sa równe._,

Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przek_, atnej._,

Twierdzenie 279

Niech bed_, a dane macierze kwadratowe A = {a_, i j}i, j∈{1,2...,n}, B = {bi j}i j∈{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A · det B.

Twierdzenie 280

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

Twierdzenie 280

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

Twierdzenie 280

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

Twierdzenie 280

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

Twierdzenie 280

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

Definicja 281

Macierza odwrotn_, a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratow_, a_, A⁻¹ taka, że AA_, ⁻¹= A⁻¹A = I, gdzie I jest macierza jednostkow_, a._,

Twierdzenie 282

Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A 6= 0._,

Twierdzenie 283

Niech A bedzie macierz_, a kwadratow_, a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy istnieje_,

macierz odwrotna A⁻¹ oraz A⁻¹ = 1

|A|





A₁₁ . . . A_1n . . . . A_n1 . . . A_nn





T

.

Definicja 281

Macierza odwrotn_, a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratow_, a_, A⁻¹ taka, że AA_, ⁻¹= A⁻¹A = I, gdzie I jest macierza jednostkow_, a._,

Twierdzenie 282

Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A 6= 0._,

Twierdzenie 283

Niech A bedzie macierz_, a kwadratow_, a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy istnieje_,

macierz odwrotna A⁻¹ oraz A⁻¹ = 1

|A|





A₁₁ . . . A_1n . . . . A_n1 . . . A_nn





T

.

Definicja 281

Macierza odwrotn_, a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratow_, a_, A⁻¹ taka, że AA_, ⁻¹= A⁻¹A = I, gdzie I jest macierza jednostkow_, a._,

Twierdzenie 282

Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A 6= 0._,

Twierdzenie 283

Niech A bedzie macierz_, a kwadratow_, a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy istnieje_, macierz odwrotna A⁻¹ oraz A⁻¹ = 1

|A|





A₁₁ . . . A_1n . . . . A_n1 . . . A_nn





T

.

|A|ci j l=1

i l j l i j· |A|.

Definicja 284

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 285

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

|A|ci j l=1

i l j l i j· |A|.

Definicja 284

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 285

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

|A|ci j l=1

i l j l i j· |A|.

Definicja 284

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 285

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

|A|ci j l=1

i l j l i j· |A|.

Definicja 284

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 285

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

|A|ci j l=1

i l j l i j· |A|.

Definicja 284

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 285

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

|A|ci j l=1

i l j l i j· |A|.

Definicja 284

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 285

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

|A|ci j l=1

i l j l i j· |A|.

Definicja 284

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 285

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

|A|ci j l=1

i l j l i j· |A|.

Definicja 284

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 285

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )_,

(?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn = b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n = b₂ . . . . a_{m 1}x₁+ a_{m 2}x₂+ · · · + a_{m n}x_n = b_m nazywamy macierz

A = {a_{i j}}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n},

a macierza uzupełnion_, a tego układu nazywamy macierz_,

(??)





a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ . . . .



.

Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )_,

(?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn = b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n = b₂ . . . . a_{m 1}x₁+ a_{m 2}x₂+ · · · + a_{m n}x_n = b_m nazywamy macierz

A = {a_{i j}}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n},

a macierza uzupełnion_, a tego układu nazywamy macierz_,

(??)





a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ . . . .



.

Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )_,

(?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn = b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n = b₂ . . . . a_{m 1}x₁+ a_{m 2}x₂+ · · · + a_{m n}x_n = b_m nazywamy macierz

A = {a_{i j}}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n},

a macierza uzupełnion_, a tego układu nazywamy macierz_,

(??)





a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ . . . .



.

Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )_,

(?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn = b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n = b₂ . . . . a_{m 1}x₁+ a_{m 2}x₂+ · · · + a_{m n}x_n = b_m nazywamy macierz

A = {a_{i j}}i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n},

a macierza uzupełnion_, a tego układu nazywamy macierz_,

(??)





a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ . . . .



.

Definicja 287

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same zbory rozwiązań.

Twierdzenie 288

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

Definicja 287

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same zbory rozwiązań.

Twierdzenie 288

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

Definicja 287

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same zbory rozwiązań.

Twierdzenie 288

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

Niech dany bedzie układ równań liniowych_,

(? ? ?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn= b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n= b₂ . . . . a_{n 1}x₁+ a_{n 2}x₂+ · · · + a_{n n}x_n= b_n i niech rzad macierzy tego układu jest równy n._,

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami x_, j =^W_W^j, gdzie W = det{a}_{i j}, a

Wi= det





a11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1n

. . . a . . .





Niech dany bedzie układ równań liniowych_,

(? ? ?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn= b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n= b₂ . . . . a_{n 1}x₁+ a_{n 2}x₂+ · · · + a_{n n}x_n= b_n i niech rzad macierzy tego układu jest równy n._,

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami x_, j =^W_W^j, gdzie W = det{a}_{i j}, a

Wi= det





a11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1n

. . . a . . .





Niech dany bedzie układ równań liniowych_,

(? ? ?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn= b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n= b₂ . . . . a_{n 1}x₁+ a_{n 2}x₂+ · · · + a_{n n}x_n= b_n i niech rzad macierzy tego układu jest równy n._,

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami x_, j =^W_W^j, gdzie W = det{a}_{i j}, a

Wi= det





a11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1n

. . . a . . .





Niech dany bedzie układ równań liniowych_,

(? ? ?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn= b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n= b₂ . . . . a_{n 1}x₁+ a_{n 2}x₂+ · · · + a_{n n}x_n= b_n i niech rzad macierzy tego układu jest równy n._,

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami x_, j =^W_W^j, gdzie W = det{a}_{i j}, a

Wi= det





a11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1n

. . . a . . .





Niech dany bedzie układ równań liniowych_,

(? ? ?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn= b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n= b₂ . . . . a_{n 1}x₁+ a_{n 2}x₂+ · · · + a_{n n}x_n= b_n i niech rzad macierzy tego układu jest równy n._,

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami x_, j =^W_W^j, gdzie W = det{a}_{i j}, a

Wi= det





a11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1n

. . . a . . .





(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







 x1

x2

. . . x_m







 , B =







 b1

b2

. . . b_m









Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz odwrotną A⁻¹.

Mamy zatem

A⁻¹







 b₁ b₂ . . . b_m









=







 x₁ x₂ . . . x_m









. Czyli x_j= 1 detA

n

P

l=1

b_l· Al j =W_j W .

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







 x1

x2

. . . x_m







 , B =







 b1

b2

. . . b_m









Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz odwrotną A⁻¹.

Mamy zatem

A⁻¹







 b₁ b₂ . . . b_m









=







 x₁ x₂ . . . x_m









. Czyli x_j= 1 detA

n

P

l=1

b_l· Al j =W_j W .

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







 x1

x2

. . . x_m







 , B =







 b1

b2

. . . b_m









Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz odwrotną A⁻¹.

Mamy zatem

A⁻¹







 b₁ b₂ . . . b_m









=







 x₁ x₂ . . . x_m









. Czyli x_j= 1 detA

n

P

l=1

b_l· Al j =W_j W .

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







 x1

x2

. . . x_m







 , B =







 b1

b2

. . . b_m









Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz odwrotną A⁻¹.

Mamy zatem

A⁻¹







 b₁ b₂ . . . b_m









=







 x₁ x₂ . . . x_m









. Czyli x_j= 1 detA

n

P

l=1

b_l· Al j =W_j W .

(? ? ?) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą

układu,X =







 x1

x2

. . . x_m







 , B =







 b1

b2

. . . b_m









Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz odwrotną A⁻¹.

Mamy zatem

A⁻¹







 b₁ b₂ . . . b_m









=







 x₁ x₂ . . . x_m









. Czyli x_j= 1 detA

n

P

l=1

b_l· Al j =W_j W .

Twierdzenie 290

Niech dany bedzie układ równań liniowych_,

(∗)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn = b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n = b₂ . . . . am 1x1+ am 2x2+ · · · + am nxn = bm

i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rz_, edowi macierzy uzupełnionej_, tego układu.