03 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniwych

03 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniwych

16 listopada 2018

Będziemy oznaczać zbiór indeksów

[1, n] := {1, 2, . . . , n}, oraz gdy w domyśle mamy zbiór reszt przy dzieleniu przez n

Zn:= {1, 2, . . . , n}.

W tym drugim przypadku, możemy wykonywać działania we zbiorze Zn. Według zasad arytmetyki modularnej.

Dokładniej elementy Zⁿ tworzą grupę z działaniem dodawania modulo n.

Czyli dodawania analogicznego do dodawania na tarczy zegara, w którym utożsamiamy n oraz 0.

16 listopada 2018 2 / 35

MACIERZE

Definicja 1

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Zn× Zm−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m]. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈[1,n] j∈[1,m],

A − B = {ai j− bi j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 3 / 35

MACIERZE

Definicja 1

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Zn× Zm−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m]. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈[1,n] j∈[1,m],

A − B = {ai j− bi j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 3 / 35

MACIERZE

Definicja 1

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Zn× Zm−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m]. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈[1,n] j∈[1,m],

A − B = {ai j− bi j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 3 / 35

MACIERZE

Definicja 1

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Zn× Zm−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m]. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈[1,n] j∈[1,m],

A − B = {ai j− bi j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 3 / 35

MACIERZE

Definicja 1

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Zn× Zm−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m]. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈[1,n] j∈[1,m],

A − B = {ai j− bi j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 3 / 35

MACIERZE

Definicja 1

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Zn× Zm−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m]. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈[1,n] j∈[1,m],

A − B = {ai j− bi j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 3 / 35

MACIERZE

Definicja 1

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie A : Zn× Zm−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a_{i j}, a sama macierz A przez {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m]. Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest zbiorem liczbowym to macierz A nazywamy macierza liczbow_, a._, Niech macierze A, B bed_, a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m. Definiujemy_, A + B = {ai j+ bi j}i∈[1,n] j∈[1,m],

A − B = {ai j− bi j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 3 / 35

MACIERZE

Niech A = {a_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] bedzie macierz_, a liczbow_, a, a λ dowolnym skalarem._, Definiujemy λA = {λa_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,m].

Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierz_, a zerow_, a._, Dla danej macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m] symbol (−A) oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz {−a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 4 / 35

MACIERZE

Niech A = {a_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] bedzie macierz_, a liczbow_, a, a λ dowolnym skalarem._, Definiujemy λA = {λa_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,m].

Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierz_, a zerow_, a._, Dla danej macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m] symbol (−A) oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz {−a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 4 / 35

MACIERZE

Niech A = {a_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] bedzie macierz_, a liczbow_, a, a λ dowolnym skalarem._, Definiujemy λA = {λa_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,m].

Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierz_, a zerow_, a._, Dla danej macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m] symbol (−A) oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz {−a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 4 / 35

MACIERZE

Niech A = {a_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] bedzie macierz_, a liczbow_, a, a λ dowolnym skalarem._, Definiujemy λA = {λa_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,m].

Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierz_, a zerow_, a._, Dla danej macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m] symbol (−A) oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz {−a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m].

16 listopada 2018 4 / 35

MACIERZE

Definicja 2

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m]

B = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,k] iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,k] taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j =

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 3

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C, (A + B) · C = A · C + B · C.

16 listopada 2018 5 / 35

MACIERZE

Definicja 2

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m]

B = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,k] iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,k] taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j =

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 3

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C, (A + B) · C = A · C + B · C.

16 listopada 2018 5 / 35

MACIERZE

Definicja 2

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m]

B = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,k] iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,k] taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j =

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 3

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C, (A + B) · C = A · C + B · C.

16 listopada 2018 5 / 35

MACIERZE

Definicja 2

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m]

B = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,k] iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,k] taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j =

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 3

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C, (A + B) · C = A · C + B · C.

16 listopada 2018 5 / 35

MACIERZE

Definicja 2

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m]

B = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,k] iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,k] taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j =

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 3

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C, (A + B) · C = A · C + B · C.

16 listopada 2018 5 / 35

MACIERZE

Definicja 2

Dla danych macierzy A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,m]

B = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,k] iloczynem A · B nazywamy macierz C = {c_{i j}}i∈[1,n] j∈[1,k] taka, że_,

c_{i j}= a_{i 1}· b1 j+ a_{i 2}· b2 j+ a_{i 3}· b3 j+ · · · + a_{i m}· bm j =

m

P

l=1

a_{i l}· bl j.

Twierdzenie 3

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B, A · (B + C) = A · B + A · C, (A + B) · C = A · C + B · C.

16 listopada 2018 5 / 35

MACIERZE

Definicja 4

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m]nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,n] taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 5

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

16 listopada 2018 6 / 35

MACIERZE

Definicja 4

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m]nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,n] taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 5

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

16 listopada 2018 6 / 35

MACIERZE

Definicja 4

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m]nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,n] taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 5

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

16 listopada 2018 6 / 35

MACIERZE

Definicja 4

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m]nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,n] taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 5

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

16 listopada 2018 6 / 35

MACIERZE

Definicja 4

Macierza transponowan_, a danej macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m]nazywamy macierz A^T = {bi j}i∈[1,m] j∈[1,n] taka, że b_, i j= aj i.

Twierdzenie 5

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodza wzory_, (A + B)^T = A^T+ B^T,

(λA)^T = λA^T, (A · B)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A.

16 listopada 2018 6 / 35

MACIERZE

Definicja 6

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

16 listopada 2018 7 / 35

MACIERZE

Definicja 6

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

16 listopada 2018 7 / 35

MACIERZE

Definicja 6

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

16 listopada 2018 7 / 35

MACIERZE

Definicja 6

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

16 listopada 2018 7 / 35

MACIERZE

Definicja 6

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

16 listopada 2018 7 / 35

MACIERZE

Definicja 6

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

16 listopada 2018 7 / 35

MACIERZE

Definicja 6

Macierz kwadratowa A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy 1) symetryczna wtw, gdy A = A_, ^T,

2) diagonalna wtw, gdy a_, i j = 0 dla i 6= j,

3) skalarna wtw, gdy a_, i j= 0, ai i= aj j dla i 6= j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i a_{, i i}= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n}, 5) trójkatn_, a górn_, a ( doln_, a ) wtw, gdy a_{, i j}= 0 dla i > j

(a_{i j}= 0 dla i < j).

16 listopada 2018 7 / 35

PERMUTACJE

Definicja 7

Permutacją zbioru Zn nazywamy bijekcję f : Zn−→ Zn. Zbiór permutacji zbioru Zⁿ oznaczamy przez Sn.

Definicja 8

Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli_, (i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

Definicja 9

Przez κ(p) oznaczamy liczbe wszystkich inwersji w permutacji p._, Znakiem permutacji p nazywamy liczbe σ(p) = (−1)_, ^κ(p)

16 listopada 2018 8 / 35

PERMUTACJE

Definicja 7

Permutacją zbioru Zn nazywamy bijekcję f : Zn−→ Zn. Zbiór permutacji zbioru Zⁿ oznaczamy przez Sn.

Definicja 8

Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli_, (i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

Definicja 9

Przez κ(p) oznaczamy liczbe wszystkich inwersji w permutacji p._, Znakiem permutacji p nazywamy liczbe σ(p) = (−1)_, ^κ(p)

16 listopada 2018 8 / 35

PERMUTACJE

Definicja 7

Permutacją zbioru Zn nazywamy bijekcję f : Zn−→ Zn. Zbiór permutacji zbioru Zⁿ oznaczamy przez Sn.

Definicja 8

Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli_, (i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

Definicja 9

Przez κ(p) oznaczamy liczbe wszystkich inwersji w permutacji p._, Znakiem permutacji p nazywamy liczbe σ(p) = (−1)_, ^κ(p)

16 listopada 2018 8 / 35

PERMUTACJE

Definicja 7

Permutacją zbioru Zn nazywamy bijekcję f : Zn−→ Zn. Zbiór permutacji zbioru Zⁿ oznaczamy przez Sn.

Definicja 8

Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli_, (i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

Definicja 9

Przez κ(p) oznaczamy liczbe wszystkich inwersji w permutacji p._, Znakiem permutacji p nazywamy liczbe σ(p) = (−1)_, ^κ(p)

16 listopada 2018 8 / 35

PERMUTACJE

Definicja 10

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 11

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈[1,r] l∈[1,r].

Definicja 12

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

16 listopada 2018 9 / 35

PERMUTACJE

Definicja 10

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 11

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈[1,r] l∈[1,r].

Definicja 12

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

16 listopada 2018 9 / 35

PERMUTACJE

Definicja 10

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 11

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈[1,r] l∈[1,r].

Definicja 12

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

16 listopada 2018 9 / 35

PERMUTACJE

Definicja 10

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 11

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈[1,r] l∈[1,r].

Definicja 12

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

16 listopada 2018 9 / 35

PERMUTACJE

Definicja 10

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej

A = {ai j}i∈[1,n] j∈[1,n]stopnia n nazywamy liczbe_, P

p∈S_n

σ(p)a_{1 p(1)}· a_{2 p(2)}· · · a_{n p(n)}.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|.

Definicja 11

Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy postaci {a_ikjl}k∈[1,r] l∈[1,r].

Definicja 12

Jeżeli macierz A jest macierza kwadratow_, a stopnia n to M_, k l oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego wiersza i l-tej kolumny.

16 listopada 2018 9 / 35

WYZNACZNIKI

Twierdzenie 13

Dla macierzy A mamy |A| =

n

P

l=1

a_{j l}A_{j l}=

n

P

l=1

a_{l k}A_{l k}.

Gdzie A_{i j}= (−1)^i+j· M_{i j}

Twierdzenie 14

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A^T sa równe._,

Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przek_, atnej._,

Twierdzenie 15

Niech bed_, a dane macierze kwadratowe A = {a_, i j}_{i, j∈[1,n]}, B = {bi j}_{i j∈[1,n]}

wtedy det (A B) = det A · det B.

16 listopada 2018 10 / 35

WYZNACZNIKI

Twierdzenie 13

Dla macierzy A mamy |A| =

n

P

l=1

a_{j l}A_{j l}=

n

P

l=1

a_{l k}A_{l k}.

Gdzie A_{i j}= (−1)^i+j· M_{i j}

Twierdzenie 14

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A^T sa równe._,

Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przek_, atnej._,

Twierdzenie 15

Niech bed_, a dane macierze kwadratowe A = {a_, i j}_{i, j∈[1,n]}, B = {bi j}_{i j∈[1,n]}

wtedy det (A B) = det A · det B.

16 listopada 2018 10 / 35

WYZNACZNIKI

Twierdzenie 13

Dla macierzy A mamy |A| =

n

P

l=1

a_{j l}A_{j l}=

n

P

l=1

a_{l k}A_{l k}.

Gdzie A_{i j}= (−1)^i+j· M_{i j}

Twierdzenie 14

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A^T sa równe._,

Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przek_, atnej._,

Twierdzenie 15

Niech bed_, a dane macierze kwadratowe A = {a_, i j}_{i, j∈[1,n]}, B = {bi j}_{i j∈[1,n]}

wtedy det (A B) = det A · det B.

16 listopada 2018 10 / 35

WYZNACZNIKI

Twierdzenie 13

Dla macierzy A mamy |A| =

n

P

l=1

a_{j l}A_{j l}=

n

P

l=1

a_{l k}A_{l k}.

Gdzie A_{i j}= (−1)^i+j· M_{i j}

Twierdzenie 14

Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej A^T sa równe._,

Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na przek_, atnej._,

Twierdzenie 15

Niech bed_, a dane macierze kwadratowe A = {a_, i j}_{i, j∈[1,n]}, B = {bi j}_{i j∈[1,n]}

wtedy det (A B) = det A · det B.

16 listopada 2018 10 / 35

WYZNACZNIKI

Twierdzenie 16

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

16 listopada 2018 11 / 35

WYZNACZNIKI

Twierdzenie 16

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

16 listopada 2018 11 / 35

WYZNACZNIKI

Twierdzenie 16

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

16 listopada 2018 11 / 35

WYZNACZNIKI

Twierdzenie 16

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

16 listopada 2018 11 / 35

WYZNACZNIKI

Twierdzenie 16

Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to zmieni sie_, znak wyznacznika.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to wyznacznik_, jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczb_, e to wyznacznik_, pomnoży sie przez t_, e liczb_, e._,

Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny są takie same to wyznacznik jest równy zero.

Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniow_, a_, pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni sie._,

16 listopada 2018 11 / 35

WYZNACZNIKI

Definicja 17

Macierza odwrotn_, a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratow_, a_, A⁻¹ taka, że AA_, ⁻¹= A⁻¹A = I, gdzie I jest macierza jednostkow_, a._,

Twierdzenie 18

Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A 6= 0._,

Twierdzenie 19

Niech A bedzie macierz_, a kwadratow_, a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy istnieje_,

macierz odwrotna A⁻¹ oraz A⁻¹ = 1

|A|





A₁₁ . . . A_1n . . . . A_n1 . . . A_nn





T

.

16 listopada 2018 12 / 35

WYZNACZNIKI

Definicja 17

Macierza odwrotn_, a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratow_, a_, A⁻¹ taka, że AA_, ⁻¹= A⁻¹A = I, gdzie I jest macierza jednostkow_, a._,

Twierdzenie 18

Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A 6= 0._,

Twierdzenie 19

Niech A bedzie macierz_, a kwadratow_, a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy istnieje_,

macierz odwrotna A⁻¹ oraz A⁻¹ = 1

|A|





A₁₁ . . . A_1n . . . . A_n1 . . . A_nn





T

.

16 listopada 2018 12 / 35

WYZNACZNIKI

Definicja 17

Macierza odwrotn_, a do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz kwadratow_, a_, A⁻¹ taka, że AA_, ⁻¹= A⁻¹A = I, gdzie I jest macierza jednostkow_, a._,

Twierdzenie 18

Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A 6= 0._,

Twierdzenie 19

Niech A bedzie macierz_, a kwadratow_, a stopnia n i niech det A 6= 0 wtedy istnieje_, macierz odwrotna A⁻¹ oraz A⁻¹ = 1

|A|





A₁₁ . . . A_1n . . . . A_n1 . . . A_nn





T

.

16 listopada 2018 12 / 35

WYZNACZNIKI

Dowód: Niech C = {c_{i j}}i, j∈[1,n] bedzie iloczynem AA_, ⁻¹ wtedy

|A|ci j =

n

P

l=1

a_{i l}A_{j l}= δ_{i j}· |A|.

Definicja 20

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 21

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m] nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

16 listopada 2018 13 / 35

WYZNACZNIKI

Dowód: Niech C = {c_{i j}}i, j∈[1,n] bedzie iloczynem AA_, ⁻¹ wtedy

|A|ci j =

n

P

l=1

a_{i l}A_{j l}= δ_{i j}· |A|.

Definicja 20

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 21

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m] nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

16 listopada 2018 13 / 35

WYZNACZNIKI

Dowód: Niech C = {c_{i j}}i, j∈[1,n] bedzie iloczynem AA_, ⁻¹ wtedy

|A|ci j =

n

P

l=1

a_{i l}A_{j l}= δ_{i j}· |A|.

Definicja 20

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 21

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m] nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

16 listopada 2018 13 / 35

WYZNACZNIKI

Dowód: Niech C = {c_{i j}}i, j∈[1,n] bedzie iloczynem AA_, ⁻¹ wtedy

|A|ci j =

n

P

l=1

a_{i l}A_{j l}= δ_{i j}· |A|.

Definicja 20

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 21

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m] nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

16 listopada 2018 13 / 35

WYZNACZNIKI

Dowód: Niech C = {c_{i j}}i, j∈[1,n] bedzie iloczynem AA_, ⁻¹ wtedy

|A|ci j =

n

P

l=1

a_{i l}A_{j l}= δ_{i j}· |A|.

Definicja 20

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 21

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m] nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

16 listopada 2018 13 / 35

WYZNACZNIKI

Dowód: Niech C = {c_{i j}}i, j∈[1,n] bedzie iloczynem AA_, ⁻¹ wtedy

|A|ci j =

n

P

l=1

a_{i l}A_{j l}= δ_{i j}· |A|.

Definicja 20

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 21

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m] nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

16 listopada 2018 13 / 35

WYZNACZNIKI

Dowód: Niech C = {c_{i j}}i, j∈[1,n] bedzie iloczynem AA_, ⁻¹ wtedy

|A|ci j =

n

P

l=1

a_{i l}A_{j l}= δ_{i j}· |A|.

Definicja 20

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 21

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m] nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

16 listopada 2018 13 / 35

WYZNACZNIKI

Dowód: Niech C = {c_{i j}}i, j∈[1,n] bedzie iloczynem AA_, ⁻¹ wtedy

|A|ci j =

n

P

l=1

a_{i l}A_{j l}= δ_{i j}· |A|.

Definicja 20

Rzedem macierzy A = {a_{, i j}}i∈[1,n] j∈[1,m] nazywamy maksymalny stopień jej niezerowego minora.

Twierdzenie 21

Rzad macierzy A = {a_, i j}i∈[1,n] j∈[1,m] nie zmieni sie jeżeli_,

a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniow_, a pozostałych kolumn ( to samo_, dla wierszy ),

b) usuniemy kolumne złożon_, a z samych zer ( to samo dla wierszy ),_,

c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to samo dla_, wierszy ),

d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).

16 listopada 2018 13 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Definicja 22

Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )_,

(?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn = b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n = b₂ . . . . a_{m 1}x₁+ a_{m 2}x₂+ · · · + a_{m n}x_n = b_m nazywamy macierz

A = {a_{i j}}i∈[1,m] j∈[1,n],

a macierza uzupełnion_, a tego układu nazywamy macierz_,

(??)





a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ . . . . am1 am2 . . . amn bm



.

16 listopada 2018 14 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Definicja 22

Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )_,

(?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn = b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n = b₂ . . . . a_{m 1}x₁+ a_{m 2}x₂+ · · · + a_{m n}x_n = b_m nazywamy macierz

A = {a_{i j}}i∈[1,m] j∈[1,n],

a macierza uzupełnion_, a tego układu nazywamy macierz_,

(??)





a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ . . . . am1 am2 . . . amn bm



.

16 listopada 2018 14 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Definicja 22

Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )_,

(?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn = b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n = b₂ . . . . a_{m 1}x₁+ a_{m 2}x₂+ · · · + a_{m n}x_n = b_m nazywamy macierz

A = {a_{i j}}i∈[1,m] j∈[1,n],

a macierza uzupełnion_, a tego układu nazywamy macierz_,

(??)





a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ . . . . am1 am2 . . . amn bm



.

16 listopada 2018 14 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Definicja 22

Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )_,

(?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn = b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n = b₂ . . . . a_{m 1}x₁+ a_{m 2}x₂+ · · · + a_{m n}x_n = b_m nazywamy macierz

A = {a_{i j}}i∈[1,m] j∈[1,n],

a macierza uzupełnion_, a tego układu nazywamy macierz_,

(??)





a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ . . . . am1 am2 . . . amn bm



.

16 listopada 2018 14 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Definicja 23

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same zbory rozwiązań.

Twierdzenie 24

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

16 listopada 2018 15 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Definicja 23

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same zbory rozwiązań.

Twierdzenie 24

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

16 listopada 2018 15 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Definicja 23

Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same zbory rozwiązań.

Twierdzenie 24

Układ równań (?) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.

16 listopada 2018 15 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Twierdzenie 25

Niech dany bedzie układ równań liniowych_,

(? ? ?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn= b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n= b₂ . . . . a_{n 1}x₁+ a_{n 2}x₂+ · · · + a_{n n}x_n= b_n i niech rzad macierzy tego układu jest równy n._,

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami x_, j =^W_W^j, gdzie W = det{a}_{i j}, a

Wi= det





a11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1n

. . . a . . . an1 . . . a3 i−1 an a3 i+1 . . . ann





16 listopada 2018 16 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Twierdzenie 25

Niech dany bedzie układ równań liniowych_,

(? ? ?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn= b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n= b₂ . . . . a_{n 1}x₁+ a_{n 2}x₂+ · · · + a_{n n}x_n= b_n i niech rzad macierzy tego układu jest równy n._,

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami x_, j =^W_W^j, gdzie W = det{a}_{i j}, a

Wi= det





a11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1n

. . . a . . . an1 . . . a3 i−1 an a3 i+1 . . . ann





16 listopada 2018 16 / 35

UKŁADY RÓWNAŃ

Twierdzenie 25

Niech dany bedzie układ równań liniowych_,

(? ? ?)











a1 1x1+ a1 2x2+ · · · + a1 nxn= b1

a_{2 1}x₁+ a_{2 2}x₂+ · · · + a_{2 n}x_n= b₂ . . . . a_{n 1}x₁+ a_{n 2}x₂+ · · · + a_{n n}x_n= b_n i niech rzad macierzy tego układu jest równy n._,

Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami x_, j =^W_W^j, gdzie W = det{a}_{i j}, a

Wi= det





a11 . . . a1 i−1 b1 a1 i+1 . . . a1n

. . . a . . . an1 . . . a3 i−1 an a3 i+1 . . . ann





16 listopada 2018 16 / 35