Zadania z GALu do domu pisemnie (3) Wersja 7 listopad 2011 1) Niech V be

Zadania z GALu do domu pisemnie (3) Wersja 7 listopad 2011

1) Niech V be_,dzie przestrzenia_,wektorowa_,nad niesko´nczonym cia lem. Dane podprzestrze- nie liniowe V1, V2,. . . , Vn. Wykaza´c, ˙ze je´sli V = V1∪ V2∪ . . . ∪ Vn to V = Vi dla pewnego i.

2) Niech

W_kⁿ(p) = Qk−1

i=0(pⁿ− pⁱ) Qk−1

i=0(p^k− pⁱ).

Udowodni´c, ˙ze W_kⁿ(p) jest wielomianem zmiennej p, kt´orego wsp´o lczynnik a_iprzy pⁱmo˙zna obliczy´c za pomoca_, naste_,puja_,cego wzoru:

a_i = #{(λ₁, λ₂, . . . , λ_k) ∈ Z^k : 0 ≤ λ₁ ≤ λ₂ ≤ . . . ≤ λ_k ≤ n − k ,

k

X

j=1

λ_j = i }

(# oznacza liczebno´s´c zbioru). W szczeg´olno´sci wszystkie a_i sa_, liczbami ca lkowitymi nieujemnymi.

3) Niech

V1 = lin{(1, 0, 1, −1, 1), (0, −1, 1, 1, 1), (1, 1, −2, 1, 1)} ⊂ R⁵, V2 = lin{(−1, −1, 1, 1, 0), (−1, 0, 2, 1, 2), (−2, −1, 0, 1, −2)} ⊂ R⁵. Znale´z´c baze_, V₁∩ V₂.

4) Dany uk lad r´owna´n







3x₁+ x₂+ 3x₃ = 2 4x1+ 4x2+ 7x3 = t 5x₁+ sx₂+ 11x₃ = 0 2x1− 2x2− x3 = 3

W zale˙zno´sci od parametr´ow s i t okre´sli´c ile ten uk lad ma rozwia_,za´n.

5) Niech macierze A i B be_,da_, tego samego rozmiaru. Udowodni´c nier´owno´s´c rze_,d´ow rk(A + B) ≤ rk(A) + rk(B) .