Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej
Seria 7. – na wtorek 29.04.2014
Niech Z będzie właściwym i domkniętym podzbiorem wypukłym płaszczyzny afinicznej.
Jego wnętrze będziemy oznaczać IntZ, a brzeg ∂Z. Będziemy badać geometrię Hilberta na tym obszarze – zdefiniujemy ją poprzez wprowadzenie metryki ρZ.
Zadanie 1. Udowodnić, że określona na IntZ funkcja ρZ(AB) := | log(P, Q; A, B)|, gdzie P i Q to punkty przecięcia prostej AB z ∂Z (przyjęto pochodzący od Hilberta pomysł nazywania ich końcami AB) jest metryką.
Zadanie 2. Wykazać, że gdy ∂Z nie zawiera dwóch niewspółliniowych odcinków, ρZ jest metryką rzutową, co oznacza, że dla dowolnych trzech współliniowych punktów A, B, C zachodzi
ρZ(AB)+ρZ(BC) = ρZ(AC)∨ρZ(BC)+ρZ(CA) = ρZ(BA)∨ρZ(CA)+ρZ(AB) = ρZ(CB) oraz dla niewspółlinowych punktów zachodzi
ρZ(AB)+ρZ(BC) 6= ρZ(AC)∧ρZ(BC)+ρZ(CA) 6= ρZ(BA)∧ρZ(CA)+ρZ(AB) 6= ρZ(CB).
Dalej będziemy używać jeszcze kilku terminów:
— W przypadku, gdy Z ma w każdym punkcie ∂Z dokładnie jedną podpierającą, punkt P przecięcia podpierających w końcach prostej k nazywamy jej biegunem, a k nazywamy jego biegunową.
— Rzutem prostokątnym punktu P na prostą k nazywamy taki jej punkt Q, że dla każdego punktu X ∈ k zachodzi ρZ(P Q) ¬ ρZ(P X). Prostą łączącą P Q nazywamy wtedy prostopadłą do k.
— Proste mające wspólny koniec nazywa się w geometrii Hilberta równoległymi lub asymp- totycznymi. Proste w Z rozłączne nazywa się nadrównoległymi.
Zadanie 3. Niech Z będzie kołem. Punkty X i Y leżą na prostej m przechodzącej przez biegun P prostej k. Punkt M jest punktem przecięcia k i m. Wykazać, że jeśli (P, M ; X, Y ) = −1, to M jest środkiem XY w sensie metryki ρZ.
Czy to stwierdzenie jest prawdziwe dla innych kształtów zbioru Z?
Zadanie 4. Wykaż, że w geometrii Hilberta koła są wypukłe.
Zadanie 5. Wykaż, że w geometrii Hilberta prosta k jest prostopadła do prostej m wtedy i tylko wtedy, gdy podpierające w jej końcach przecinają się w punkcie prostej k.
Zadanie 6. Sprawdź, że gdy ∂Z jest elipsą, relacja prostopadłości jest symetryczna i każda z pary prostych prostopadłych przechodzi przez biegun drugiej.
Zadanie 7. Podaj przykład Z, w którym wystawianie i opuszczanie prostopadłych nie jest jednoznaczne, a prostopadłość nie jest symetryczna.
Zadanie 8. W geometrii Hilberta rozpatrujemy odcinek I między punktem punktem P prostej k i jej końcem Q. Wykaż, że proste k i m są asymptotyczne wtedy i tylko, gdy odległości punktów odcinka I od ich rzutów prostokątnych na m są ograniczone.
Zadanie 9. Przyjmijmy oznaczenia z zadania 8 i załóżmy dodatkowo, że proste k i m są asymptotyczne. Wykaż, że odległości, o których tam jest mowa dążą do zera wtedy i tylko wtedy, gdy w Q jest tylko jedna podpierająca.
1
Zadanie 10. Wykaż, że w geometrii Hilberta dwie nadrównoległe mają wspólną prostopa- dłą. Rozważ, czy wspólną prostopadłą dla pewnego Z mogą mieć też inne pary prostych.
Zadanie 11. Wskaż w geometrii Hilberta trójkąt, którego wysokości nie przecinają się.
Zadanie 12. W geometrii euklidesowej rzutem prostokątnym prostej na prostą może być być punkt lub cała prosta. Jakimi figurami mogą być rzuty prostokątne prostej na prostą w geometrii Hilberta?
Zadanie 13. Wskaż w geometrii Hilberta taki kąt ostry i punkt wewnątrz niego, by nie można było przez ten punkt poprowadzić prostej przecinającej oba ramiona tego kąta.
Rozważ, czy możliwy jest taki zbiór Z, że w nim pewne kąty będą miały tę własność, a inne nie.
2
