Algorytmy genetyczne
Algorytmy genetyczne Hipoteza cegiełek
k-ramienny bandyta
minimalny problem zwodniczy
Algorytmy genetyczne
Algorytmy genetyczne Hipoteza cegiełek k-ramienny bandyta
minimalny problem zwodniczy
Algorytmy genetyczne
Algorytmy genetyczne Hipoteza cegiełek k-ramienny bandyta
minimalny problem zwodniczy
Algorytmy genetyczne
Podstawowe definicje Niech :
Ciągi kodowe składają się z symboli alfabetu V=0,1 oraz niech wielkie litery oznaczają ciągi kodowe a ich elementy niech będą oznaczone przez małe litery z indeksami dolnymi określającymi pozycje w ciągu.
Np. A=0111000
symbolicznie: A=a1a2a3a4a5a6a7. lub A’= a3a6a4a1a2a5a7 .
A(t) oznacza populację złożoną z ciągów Aj, j=1,2,. . . ,n w chwili (pokoleniu) t.
H oznacza schemat złożony z symboli alfabetu V+={0,1,*}
Algorytmy genetyczne
Podstawowe definicje Niech :
Ciągi kodowe składają się z symboli alfabetu V=0,1 oraz niech wielkie litery oznaczają ciągi kodowe a ich elementy niech będą oznaczone przez małe litery z indeksami dolnymi określającymi pozycje w ciągu.
Np. A=0111000
symbolicznie: A=a1a2a3a4a5a6a7. lub A’= a3a6a4a1a2a5a7 .
A(t) oznacza populację złożoną z ciągów Aj, j=1,2,. . . ,n w chwili (pokoleniu) t.
H oznacza schemat złożony z symboli alfabetu V+={0,1,*}
Algorytmy genetyczne
Podstawowe definicje Niech :
Ciągi kodowe składają się z symboli alfabetu V=0,1 oraz niech wielkie litery oznaczają ciągi kodowe a ich elementy niech będą oznaczone przez małe litery z indeksami dolnymi określającymi pozycje w ciągu.
Np. A=0111000
symbolicznie: A=a1a2a3a4a5a6a7. lub A’= a3a6a4a1a2a5a7 .
A(t) oznacza populację złożoną z ciągów Aj, j=1,2,. . . ,n w chwili (pokoleniu) t.
H oznacza schemat złożony z symboli alfabetu V+={0,1,*}
Algorytmy genetyczne
Podstawowe definicje
Rzędem schematu H, oznaczonym przez o(H) nazywamy liczbę ustalonych pozycji we wzorcu.
Rozpiętością schematu H, oznaczoną przez δ(H) nazywamy odległość między dwoma skrajnymi pozycjami ustalonymi.
Algorytmy genetyczne
Podstawowe definicje
Rzędem schematu H, oznaczonym przez o(H) nazywamy liczbę ustalonych pozycji we wzorcu.
Rozpiętością schematu H, oznaczoną przez δ(H) nazywamy odległość między dwoma skrajnymi pozycjami ustalonymi.
Algorytmy genetyczne
Przykład H=011*1**
o(H)=4, δ(H)=5-1=4
H=0******
o(H)=1, δ(H)=1-1=0
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że w chwili t w populacji textbfA(t) znajduje się m=m(H,t) reprezentantów danego schematu H.
Podczas reprodukcji ciągi podlegają replikacji z prawdopodobieństwem
pi=Pfif
W chwili t+1 można oczekiwać obecności m(H,t+1) reprezentantów schematu H.
Zachodzi wzór:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)*n*f(H)/Σfi
f(H) to średnie przystosowanie ciągów będących reprezentantami schematu H w chwili t.
Jeśli przyjmiemy, że średnie przystosowanie całej populacji to f =
Pfi
n
to powyższy związek można zapisać jako: E[m(H,t+1)]=(H,t)f (H)
f
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że w chwili t w populacji textbfA(t) znajduje się m=m(H,t) reprezentantów danego schematu H.
Podczas reprodukcji ciągi podlegają replikacji z prawdopodobieństwem
pi=Pfif
W chwili t+1 można oczekiwać obecności m(H,t+1) reprezentantów schematu H.
Zachodzi wzór:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)*n*f(H)/Σfi
f(H) to średnie przystosowanie ciągów będących reprezentantami schematu H w chwili t.
Jeśli przyjmiemy, że średnie przystosowanie całej populacji to f =
Pfi
n
to powyższy związek można zapisać jako: E[m(H,t+1)]=(H,t)f (H)
f
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że w chwili t w populacji textbfA(t) znajduje się m=m(H,t) reprezentantów danego schematu H.
Podczas reprodukcji ciągi podlegają replikacji z prawdopodobieństwem
pi=Pfif
W chwili t+1 można oczekiwać obecności m(H,t+1) reprezentantów schematu H.
Zachodzi wzór:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)*n*f(H)/Σfi
f(H) to średnie przystosowanie ciągów będących reprezentantami schematu H w chwili t.
Jeśli przyjmiemy, że średnie przystosowanie całej populacji to f =
Pfi
n
to powyższy związek można zapisać jako: E[m(H,t+1)]=(H,t)f (H)
f
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że w chwili t w populacji textbfA(t) znajduje się m=m(H,t) reprezentantów danego schematu H.
Podczas reprodukcji ciągi podlegają replikacji z prawdopodobieństwem
pi=Pfif
W chwili t+1 można oczekiwać obecności m(H,t+1) reprezentantów schematu H.
Zachodzi wzór:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)*n*f(H)/Σfi
f(H) to średnie przystosowanie ciągów będących reprezentantami schematu H w chwili t.
Jeśli przyjmiemy, że średnie przystosowanie całej populacji to f =
Pfi
n
to powyższy związek można zapisać jako: E[m(H,t+1)]=(H,t)f (H)
f
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że w chwili t w populacji textbfA(t) znajduje się m=m(H,t) reprezentantów danego schematu H.
Podczas reprodukcji ciągi podlegają replikacji z prawdopodobieństwem
pi=Pfif
W chwili t+1 można oczekiwać obecności m(H,t+1) reprezentantów schematu H.
Zachodzi wzór:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)*n*f(H)/Σfi
f(H) to średnie przystosowanie ciągów będących reprezentantami schematu H w chwili t.
Jeśli przyjmiemy, że średnie przystosowanie całej populacji to f =
Pfi
n
to powyższy związek można zapisać jako: E[m(H,t+1)]=(H,t)f (H)
f
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że w chwili t w populacji textbfA(t) znajduje się m=m(H,t) reprezentantów danego schematu H.
Podczas reprodukcji ciągi podlegają replikacji z prawdopodobieństwem
pi=Pfif
W chwili t+1 można oczekiwać obecności m(H,t+1) reprezentantów schematu H.
Zachodzi wzór:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)*n*f(H)/Σfi
f(H) to średnie przystosowanie ciągów będących reprezentantami schematu H w chwili t.
Jeśli przyjmiemy, że średnie przystosowanie całej populacji to f =
Pfi
n
to powyższy związek można zapisać jako: E[m(H,t+1)]=(H,t)f (H)
f
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że w chwili t w populacji textbfA(t) znajduje się m=m(H,t) reprezentantów danego schematu H.
Podczas reprodukcji ciągi podlegają replikacji z prawdopodobieństwem
pi=Pfif
W chwili t+1 można oczekiwać obecności m(H,t+1) reprezentantów schematu H.
Zachodzi wzór:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)*n*f(H)/Σfi
f(H) to średnie przystosowanie ciągów będących reprezentantami schematu H w chwili t.
Jeśli przyjmiemy, że średnie przystosowanie całej populacji to f =
Pfi
n
to powyższy związek można zapisać jako:
E[m(H,t+1)]=(H,t)f (H)
f
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że pewien schemat H przewyższa średnią o wielkość c , gdzie c jest stałą. Wówczas równanie schematów wygląda następująco:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)(f +cf )
f =(1+c)•m(H,t)
Zaczynając od t=0 i zakładając, że c nie zmienia się w czasie otrzymujemy zależność:
E[m(H,t)]=m(H,0)•(1+c)t
Dolne oszacowanie prawdopodobieństwa przeżycia schematu podczas krzyżowania wynosi:
ps=1−δ(H)(l −1) gdzie l-1 to liczba możliwych położeń.
Jeżeli pc to prawdopodobieństwo krzyżowania to wówczas prawdopodobieństwa przeżycia schematu H spełnia równość: ps 1 − pc• δ(H)l −1
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że pewien schemat H przewyższa średnią o wielkość c , gdzie c jest stałą. Wówczas równanie schematów wygląda następująco:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)(f +cf )
f =(1+c)•m(H,t)
Zaczynając od t=0 i zakładając, że c nie zmienia się w czasie otrzymujemy zależność:
E[m(H,t)]=m(H,0)•(1+c)t
Dolne oszacowanie prawdopodobieństwa przeżycia schematu podczas krzyżowania wynosi:
ps=1−δ(H)(l −1) gdzie l-1 to liczba możliwych położeń.
Jeżeli pc to prawdopodobieństwo krzyżowania to wówczas prawdopodobieństwa przeżycia schematu H spełnia równość: ps 1 − pc• δ(H)l −1
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że pewien schemat H przewyższa średnią o wielkość c , gdzie c jest stałą. Wówczas równanie schematów wygląda następująco:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)(f +cf )
f =(1+c)•m(H,t)
Zaczynając od t=0 i zakładając, że c nie zmienia się w czasie otrzymujemy zależność:
E[m(H,t)]=m(H,0)•(1+c)t
Dolne oszacowanie prawdopodobieństwa przeżycia schematu podczas krzyżowania wynosi:
ps=1−δ(H)(l −1) gdzie l-1 to liczba możliwych położeń.
Jeżeli pc to prawdopodobieństwo krzyżowania to wówczas prawdopodobieństwa przeżycia schematu H spełnia równość: ps 1 − pc• δ(H)l −1
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Załóżmy, że pewien schemat H przewyższa średnią o wielkość c , gdzie c jest stałą. Wówczas równanie schematów wygląda następująco:
E[m(H,t+1)]=m(H,t)(f +cf )
f =(1+c)•m(H,t)
Zaczynając od t=0 i zakładając, że c nie zmienia się w czasie otrzymujemy zależność:
E[m(H,t)]=m(H,0)•(1+c)t
Dolne oszacowanie prawdopodobieństwa przeżycia schematu podczas krzyżowania wynosi:
ps=1−δ(H)(l −1) gdzie l-1 to liczba możliwych położeń.
Jeżeli pc to prawdopodobieństwo krzyżowania to wówczas prawdopodobieństwa przeżycia schematu H spełnia równość:
ps 1 − pc• δ(H)l −1
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Zakładając niezależność operacji reprodukcji i krzyżowania otrzymujemy oszacowanie:
E[m(H,t+1)] m(H, t)f (H)
f
h
1 − pc•δ(H)l −1i
Dany schemat przeżyje mutację z prawdopodobieństwem (1-pm)o(H). Dla małych wartości prawdopodobieństwo można aproksymować za pomocą wyrażenia:
1-o(H)*pm
Zatem oczekiwana liczba reprezentantów schematu H w następnym pokoleniu otrzymany w wyniku operacji reprodukcji, krzyżowania i mutacji, spełnia następującą nierówność:
E[m(H,t+1)] m(H, t)f (H)
f
h
1 − pc•δ(H)l −1 − o(H)pm
i
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Zakładając niezależność operacji reprodukcji i krzyżowania otrzymujemy oszacowanie:
E[m(H,t+1)] m(H, t)f (H)
f
h
1 − pc•δ(H)l −1i
Dany schemat przeżyje mutację z prawdopodobieństwem (1-pm)o(H).
Dla małych wartości prawdopodobieństwo można aproksymować za pomocą wyrażenia:
1-o(H)*pm
Zatem oczekiwana liczba reprezentantów schematu H w następnym pokoleniu otrzymany w wyniku operacji reprodukcji, krzyżowania i mutacji, spełnia następującą nierówność:
E[m(H,t+1)] m(H, t)f (H)
f
h
1 − pc•δ(H)l −1 − o(H)pm
i
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Zakładając niezależność operacji reprodukcji i krzyżowania otrzymujemy oszacowanie:
E[m(H,t+1)] m(H, t)f (H)
f
h
1 − pc•δ(H)l −1i
Dany schemat przeżyje mutację z prawdopodobieństwem (1-pm)o(H). Dla małych wartości prawdopodobieństwo można aproksymować za pomocą wyrażenia:
1-o(H)*pm
Zatem oczekiwana liczba reprezentantów schematu H w następnym pokoleniu otrzymany w wyniku operacji reprodukcji, krzyżowania i mutacji, spełnia następującą nierówność:
E[m(H,t+1)] m(H, t)f (H)
f
h
1 − pc•δ(H)l −1 − o(H)pm
i
Algorytmy genetyczne
Oczekiwana liczba reprezentantów schematu
Zakładając niezależność operacji reprodukcji i krzyżowania otrzymujemy oszacowanie:
E[m(H,t+1)] m(H, t)f (H)
f
h
1 − pc•δ(H)l −1i
Dany schemat przeżyje mutację z prawdopodobieństwem (1-pm)o(H). Dla małych wartości prawdopodobieństwo można aproksymować za pomocą wyrażenia:
1-o(H)*pm
Zatem oczekiwana liczba reprezentantów schematu H w następnym pokoleniu otrzymany w wyniku operacji reprodukcji, krzyżowania i mutacji, spełnia następującą nierówność:
E[m(H,t+1)] m(H, t)f (H)
f
h
1 − pc•δ(H)l −1 − o(H)pm
i
Algorytmy genetyczne
Twierdzenie o schematach
Podstawowe twierdzenie algorytmów genetycznych
Wąskie, niskiego rzędu i dobrze przystosowane schematy rozprzestrzeniają się w kolejnych pokoleniach zgodnie z wykładniczym prawem wzrostu.
Algorytmy genetyczne
Twierdzenie o schematach
Podstawowe twierdzenie algorytmów genetycznych
Wąskie, niskiego rzędu i dobrze przystosowane schematy rozprzestrzeniają się w kolejnych pokoleniach zgodnie z wykładniczym prawem wzrostu.
Algorytmy genetyczne
Przykład[1]
Algorytmy genetyczne
Dwu-ramienny bandyta
Załóżmy, że istnieje
dwuramienny automat do gry, którego ramiona są oznaczone jako Lewe i Prawe oraz wiadomo, iż jedno z ramion zapewnia średnią wygraną µ1przy wariancji σ12, a drugie średnią wygraną µ2 przy wariancji σ22, przy czym µ1 µ2.
Algorytmy genetyczne
Dwu-ramienny bandyta Strategia wygranej
Przypuśćmy, że mamy do wykonania łącznie N prób, które należy podzielić między oba ramiona. Na początek wykonujemy po n prób (2n<N) z każdym z ramion. Po zakończeniu eksperymentu
pozostałe N-2n prób wykonujemy z ramieniem o najwyższej zrealizowanej (średniej) wypłacie.
Zakładając, że znamy N, µ1, µ2, σ1, σ2, oczekiwana strata będzie dana wzorem:
L(N,n)=|µ1-µ2|*[(N-n)q(n)+n(1-q(n))]
Gdzie q(n) oznacza prawdopodobieństwo, że po wykonaniu n prób z każdym z urządzeń gorsze ramię dało empirycznie lepszy wynik.
Algorytmy genetyczne
Dwu-ramienny bandyta Strategia wygranej
Przypuśćmy, że mamy do wykonania łącznie N prób, które należy podzielić między oba ramiona. Na początek wykonujemy po n prób (2n<N) z każdym z ramion. Po zakończeniu eksperymentu
pozostałe N-2n prób wykonujemy z ramieniem o najwyższej zrealizowanej (średniej) wypłacie.
Zakładając, że znamy N, µ1, µ2, σ1, σ2, oczekiwana strata będzie dana wzorem:
L(N,n)=|µ1-µ2|*[(N-n)q(n)+n(1-q(n))]
Gdzie q(n) oznacza prawdopodobieństwo, że po wykonaniu n prób z każdym z urządzeń gorsze ramię dało empirycznie lepszy wynik.
Algorytmy genetyczne
Dwu-ramienny bandyta Strategia wygranej
Prawdopodobieństwo q(n) można oszacować za pomocą rozkładu normalnego:
q(n)' √1
2π•e
−x2 2
x , gdzie x = √µ1−µ2
σ21+σ22 •√ n
Straty jakie można ponieść to:
Wykonanie n prób ze złym ramieniem w fazie eksperymentalnej oraz wybór ramienia dającego niższą średnią wygraną po zakończeniu eksperymentu
Algorytmy genetyczne
Dwu-ramienny bandyta Strategia wygranej
Prawdopodobieństwo q(n) można oszacować za pomocą rozkładu normalnego:
q(n)' √1
2π•e
−x2 2
x , gdzie x = √µ1−µ2
σ21+σ22 •√ n Straty jakie można ponieść to:
Wykonanie n prób ze złym ramieniem w fazie eksperymentalnej oraz wybór ramienia dającego niższą średnią wygraną po zakończeniu eksperymentu
Algorytmy genetyczne
Dwu-ramienny bandyta Strategia wygranej
Prawdopodobieństwo q(n) można oszacować za pomocą rozkładu normalnego:
q(n)' √1
2π•e
−x2 2
x , gdzie x = √µ1−µ2
σ21+σ22 •√ n Straty jakie można ponieść to:
Wykonanie n prób ze złym ramieniem w fazie eksperymentalnej oraz wybór ramienia dającego niższą średnią wygraną po zakończeniu eksperymentu
Algorytmy genetyczne
Optymalna wielkość eksperymentu n*
Holland podaje oszacowanie:
n*' b2lnh
N2 8πb4lnN2
i
, gdzie b=σ1/(µ1− µ2)
Algorytmy genetyczne
Optymalna wielkość eksperymentu n*
Holland podaje oszacowanie:
n*' b2lnh
N2 8πb4lnN2
i
, gdzie b=σ1/(µ1− µ2)
Algorytmy genetyczne
k-ramienny bandyta
Zasady wygranej podobne jak w 2-raminnym bandycie z tą różnicą, że teraz mamy k ramion.
k-ramienny bandyta to zbiór konkurujących schematów Definicja:
Dwa schematy A i B o elementach odpowiedni ai i bi konkurują, jeżeli dla każdej pozycji i=1,2,. . . ,l albo ai=bi=*, albo ai 6=*, bi 6=*, ai 6=bi – przy czym ostatni przypadek zachodzi przynajmniej dla jednego i.
Algorytmy genetyczne
k-ramienny bandyta
Zasady wygranej podobne jak w 2-raminnym bandycie z tą różnicą, że teraz mamy k ramion.
k-ramienny bandyta to zbiór konkurujących schematów
Definicja:
Dwa schematy A i B o elementach odpowiedni ai i bi konkurują, jeżeli dla każdej pozycji i=1,2,. . . ,l albo ai=bi=*, albo ai 6=*, bi 6=*, ai 6=bi – przy czym ostatni przypadek zachodzi przynajmniej dla jednego i.
Algorytmy genetyczne
k-ramienny bandyta
Zasady wygranej podobne jak w 2-raminnym bandycie z tą różnicą, że teraz mamy k ramion.
k-ramienny bandyta to zbiór konkurujących schematów Definicja:
Dwa schematy A i B o elementach odpowiedni ai i bi konkurują, jeżeli dla każdej pozycji i=1,2,. . . ,l albo ai=bi=*, albo ai 6=*, bi 6=*, ai 6=bi – przy czym ostatni przypadek zachodzi przynajmniej dla jednego i.
Algorytmy genetyczne
Przykład
Dany jest zbiór schematów o długości 7, konkurujących na pozycjach 2, 3 i 5
*00*0**
*00*1**
*01*0**
*01*1**
*10*0**
*10*1**
*11*0**
*11*1**
Algorytmy genetyczne
Przykład
Dany jest zbiór schematów o długości 7, konkurujących na pozycjach 2, 3 i 5
*00*0**
*00*1**
*01*0**
*01*1**
*10*0**
*10*1**
*11*0**
*11*1**
Algorytmy genetyczne
Przykład
Dla trzech ustalonych pozycji w ciągu długości 7 mamy 73 = 35 zagadnień ośmioramiennych (23=8) bandytów.
Ogólnie dla schematów rzędu j i długości l istnieje l
j
różnych zagadnień kj- ramiennych, gdzie kj = 2j bandytów
Jednak nie wszystkie zP
l j
= 2l zagadnień są rozwiązywane z jednakową sprawnością.
Algorytmy genetyczne
Przykład
Dla trzech ustalonych pozycji w ciągu długości 7 mamy 73 = 35 zagadnień ośmioramiennych (23=8) bandytów.
Ogólnie dla schematów rzędu j i długości l istnieje l
j
różnych zagadnień kj- ramiennych, gdzie kj = 2j bandytów
Jednak nie wszystkie zP
l j
= 2l zagadnień są rozwiązywane z jednakową sprawnością.
Algorytmy genetyczne
Przykład
Dla trzech ustalonych pozycji w ciągu długości 7 mamy 73 = 35 zagadnień ośmioramiennych (23=8) bandytów.
Ogólnie dla schematów rzędu j i długości l istnieje l
j
różnych zagadnień kj- ramiennych, gdzie kj = 2j bandytów
Jednak nie wszystkie zP
l j
= 2l zagadnień są rozwiązywane z jednakową sprawnością.
Algorytmy genetyczne
Hipoteza cegiełek (bloków budujących)
Algorytm genetyczny poszukuje rozwiązań optymalnych przez zestawianie schematów o małej rozpiętości i niskiego rzędu a o dużej wydajności działania, zwanych cegiełkami (blokami budującymi) [1],[2].
Algorytmy genetyczne
Hipoteza cegiełek (bloków budujących) – Przykład [1]
Algorytmy genetyczne
Hipoteza cegiełek (bloków budujących) – Przykład [1]
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Problem zwodniczy- przypadek kiedy algorytm genetyczny szuka optimum w innym miejscu dając fałszywe wyniki (dążąc do punktów suboptymalnych).
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Niech będą dane 4 schematy rzędu 2, ze współczynnikami przystosowania:
***0*****0* f00
***0*****1* f01
***1*****0* f10
***1*****1* f11
Współczynniki przystosowania odpowiadają średnim dla schematów względem populacji. Załóżmy, że są one stałe, zerowej wariancji oraz, że f11 jest globalnym optimum:
f11>f00, f11>f01, f11>f10.
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Niech będą dane 4 schematy rzędu 2, ze współczynnikami przystosowania:
***0*****0* f00
***0*****1* f01
***1*****0* f10
***1*****1* f11
Współczynniki przystosowania odpowiadają średnim dla schematów względem populacji. Załóżmy, że są one stałe, zerowej wariancji oraz, że f11 jest globalnym optimum:
f11>f00, f11>f01, f11>f10.
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Niech dany będzie element zwodniczości, f(0*)>f(1*);
f(*0)>f(*1)
Zatem powinny zachodzić równości:
f (00)+f (01)
2 >f (10)+f (11) 2
f (00)+f (10)
2 >f (01)+f (11) 2
Nie mogą one być jednak jednocześnie spełnione (bo punkt 11 nie byłbym globalnym optimum)
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Niech dany będzie element zwodniczości, f(0*)>f(1*);
f(*0)>f(*1)
Zatem powinny zachodzić równości:
f (00)+f (01)
2 >f (10)+f (11) 2
f (00)+f (10)
2 >f (01)+f (11) 2
Nie mogą one być jednak jednocześnie spełnione (bo punkt 11 nie byłbym globalnym optimum)
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Niech dany będzie element zwodniczości, f(0*)>f(1*);
f(*0)>f(*1)
Zatem powinny zachodzić równości:
f (00)+f (01)
2 >f (10)+f (11) 2
f (00)+f (10)
2 >f (01)+f (11) 2
Nie mogą one być jednak jednocześnie spełnione (bo punkt 11 nie byłbym globalnym optimum)
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Załóżmy, że prawdziwa jest pierwsza nierówność. Wówczas problem zwodniczy rzędu 2 jest wyznaczony przez warunek globalności (maksimum równe f11) oraz jeden warunek zwodniczości (wybraliśmy tu przypadek f(0*)>f(1*) ).
Wszystkie współczynniki przystosowania względem f00
(współczynnik przystosowania „dopełnienia” globalnego optimum) można znormalizować:
r = ff11
00; c = ff11
00; c0 =ff10
00
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Załóżmy, że prawdziwa jest pierwsza nierówność. Wówczas problem zwodniczy rzędu 2 jest wyznaczony przez warunek globalności (maksimum równe f11) oraz jeden warunek zwodniczości (wybraliśmy tu przypadek f(0*)>f(1*) ).
Wszystkie współczynniki przystosowania względem f00
(współczynnik przystosowania „dopełnienia” globalnego optimum) można znormalizować:
r = ff11
00; c = ff11
00; c0 =ff10
00
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Warunek globalności w znormalizowanej postaci to:
r > c; r > 1; r > c0
Warunek zwodniczości r < 1 + c − c0 Stąd wynika c0 < 1; c0 < c
Można wyróżnić dwa typy problemów zwodniczych rzędu 2. Typ I: f01>f00 (c>1).
Typ II: f00f01 (c¬1).
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Warunek globalności w znormalizowanej postaci to:
r > c; r > 1; r > c0 Warunek zwodniczości r < 1 + c − c0
Stąd wynika c0 < 1; c0 < c
Można wyróżnić dwa typy problemów zwodniczych rzędu 2. Typ I: f01>f00 (c>1).
Typ II: f00f01 (c¬1).
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Warunek globalności w znormalizowanej postaci to:
r > c; r > 1; r > c0 Warunek zwodniczości r < 1 + c − c0 Stąd wynika c0 < 1; c0 < c
Można wyróżnić dwa typy problemów zwodniczych rzędu 2. Typ I: f01>f00 (c>1).
Typ II: f00f01 (c¬1).
Algorytmy genetyczne
Minimalny problem zwodniczy
Warunek globalności w znormalizowanej postaci to:
r > c; r > 1; r > c0 Warunek zwodniczości r < 1 + c − c0 Stąd wynika c0 < 1; c0 < c
Można wyróżnić dwa typy problemów zwodniczych rzędu 2.
Typ I: f01>f00 (c>1).
Typ II: f00f01 (c¬1).
Algorytmy genetyczne
Epistaza
Pojęcie zwodniczości połączone jest z epistazą. Można dowieść, że żaden problem rzędu 1 nie może być zwodniczy, więc problem zwodniczy rzędu 2 jest najmniejszym możliwym, czyli minimalnym problemem zwodniczym (MPD).
Algorytmy genetyczne
Wzorce podobieństwa - hiperpłaszczyzny
Niech będą dane ciągi i schematy o długości l=3.
Można je przedstawić w przestrzeni, gdzie punktami będą ciągi kodowe lub schematy rzedu 3, linie proste to będą schematy rzędu 2, płaszczyzny – schematami rzędu 1, natomiast całej przestrzeni odpowiada schemat rzędu 0, czyli ***.
Algorytmy genetyczne
Bibliografia
1 D. Goldberg, Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, WNT, Warszawa 1998
2 Z. Michalewicz, Algorytmy genetyczne+struktury danych = programy ewolucyjne WNT, Warszawa 1999
