Lista nr 9 z Robotyki 1

(1)

Lista nr 9 z Robotyki 1

Przypomnienie:

• Nawias Liego p´ol wektorowych f i g z wektorem konfiguracji q

[f, g] = ∂g

∂q · f − ∂f

∂q · g

• Dystrybucja D 0 = span C

^∞

{g 1 (q), g 2 (q), . . . , g m (q)} rozpi eta przez pola wektorowe pochodz _, ace z _, uk ladu bezdryfowego ˙ q = P m

i=1 g i (q)u i .

• Ma la flaga – ci ag dystrybucji D _, i+1 = D i + [D 0 , D i ], i = 0, . . ..

• Stopie´n nieholonomiczno´sci dystrybucji D 0 w punkcie q – minimalna warto´ s´ c indeksu p, dla kt´ orej r _p (q) = n, gdzie n to wymiar przestrzeni konfiguracyjnej, za´ s r _i (q) to wymiar dystrybucji D _i w konfiguracji q.

Dla bezdryfowych uk lad´ ow sterowania (a)-(f) podanych poni˙zej nale˙zy:

1. poda´ c, ile wynosz a: n – wymiar przestrzeni konfiguracyjnej, l – liczba ogranicze´ _, n nieholonomicz- nych, m – liczba generator´ ow uk ladu bezdryfowego.

2. policzy´ c D 0 (q), D 1 (q), D 2 (q), . . ..

3. policzy´ c r 0 (q), r 1 (q), r 2 (q), . . ..

4. okre´ sli´ c wektor wzrostu oraz stopie´ n nieholonomiczno´ sci w konfiguracji q.

5. sprawdzi´ c, czy ograniczenia Pfaffa A(q) ˙ q = 0, z kt´ orych wygenerowano bezdryfowy uk lad sterowa- nia, s a w pe lni nieholonomiczne. _,

Uk lady, kt´ ore nale˙zy zbada´ c:

(a) monocykl bez po´ slizgu poprzecznego i wzd lu˙znego, q = (x, y, θ, φ 1 , φ 2 ) ^T g 1 = (cos θ, sin θ, _L ¹ , ² _r , 0) ^T , g 2 = (cos θ, sin θ, − _L ¹ , 0, ² _r ) ^T

(b) ko lo bez po´ slizgu poprzecznego i wzd lu˙znego, q = (x, y, θ, φ) ^T g ₁ = (cos θ, sin θ, 0, 1) ^T , g ₂ = (0, 0, 1, 0) ^T

(c) samoch´ od kinematyczny, q = (x, y, θ, φ) ^T

g ₁ = (L cos θ cos φ, L sin θ cos φ, sin φ, 0) ^T , g ₂ = (0, 0, 0, 1) ^T (d) uk lad nilpotentny, q = (q ₁ , q ₂ , q ₃ ) ^T

g 1 = (1, 0, q 2 ) ^T , g 2 = (0, 1, 0) ^T (e) uk lad liniowy, q = (q 1 , q 2 , q 3 ) ^T g 1 = (1, 0, −1) ^T , g 2 = (0, 1, 0) ^T (f) integrator Brocketta, q = (q 1 , q 2 , q 3 ) ^T

g 1 = (1, 0, −q 2 ) ^T , g 2 = (0, 1, q 1 ) ^T

Lista nr 9 z Robotyki 1

Lista nr 9 z Robotyki 1

Przypomnienie:

• Nawias Liego p´ol wektorowych f i g z wektorem konfiguracji q

[f, g] = ∂g

∂q · f − ∂f

∂q · g

• Dystrybucja D 0 = span C

{g 1 (q), g 2 (q), . . . , g m (q)} rozpi eta przez pola wektorowe pochodz , ace z , uk ladu bezdryfowego ˙ q = P m

i=1 g i (q)u i .

• Ma la flaga – ci ag dystrybucji D , i+1 = D i + [D 0 , D i ], i = 0, . . ..

• Stopie´n nieholonomiczno´sci dystrybucji D 0 w punkcie q – minimalna warto´ s´ c indeksu p, dla kt´ orej r p (q) = n, gdzie n to wymiar przestrzeni konfiguracyjnej, za´ s r i (q) to wymiar dystrybucji D i w konfiguracji q.

Dla bezdryfowych uk lad´ ow sterowania (a)-(f) podanych poni˙zej nale˙zy:

1. poda´ c, ile wynosz a: n – wymiar przestrzeni konfiguracyjnej, l – liczba ogranicze´ , n nieholonomicz- nych, m – liczba generator´ ow uk ladu bezdryfowego.

2. policzy´ c D 0 (q), D 1 (q), D 2 (q), . . ..

3. policzy´ c r 0 (q), r 1 (q), r 2 (q), . . ..

4. okre´ sli´ c wektor wzrostu oraz stopie´ n nieholonomiczno´ sci w konfiguracji q.

5. sprawdzi´ c, czy ograniczenia Pfaffa A(q) ˙ q = 0, z kt´ orych wygenerowano bezdryfowy uk lad sterowa- nia, s a w pe lni nieholonomiczne. ,

Uk lady, kt´ ore nale˙zy zbada´ c:

(a) monocykl bez po´ slizgu poprzecznego i wzd lu˙znego, q = (x, y, θ, φ 1 , φ 2 ) T g 1 = (cos θ, sin θ, L 1 , 2 r , 0) T , g 2 = (cos θ, sin θ, − L 1 , 0, 2 r ) T

(b) ko lo bez po´ slizgu poprzecznego i wzd lu˙znego, q = (x, y, θ, φ) T g 1 = (cos θ, sin θ, 0, 1) T , g 2 = (0, 0, 1, 0) T

(c) samoch´ od kinematyczny, q = (x, y, θ, φ) T

g 1 = (L cos θ cos φ, L sin θ cos φ, sin φ, 0) T , g 2 = (0, 0, 0, 1) T (d) uk lad nilpotentny, q = (q 1 , q 2 , q 3 ) T

g 1 = (1, 0, q 2 ) T , g 2 = (0, 1, 0) T (e) uk lad liniowy, q = (q 1 , q 2 , q 3 ) T g 1 = (1, 0, −1) T , g 2 = (0, 1, 0) T (f) integrator Brocketta, q = (q 1 , q 2 , q 3 ) T

g 1 = (1, 0, −q 2 ) T , g 2 = (0, 1, q 1 ) T

{g 1 (q), g 2 (q), . . . , g m (q)} rozpi eta przez pola wektorowe pochodz _, ace z _, uk ladu bezdryfowego ˙ q = P m

• Ma la flaga – ci ag dystrybucji D _, i+1 = D i + [D 0 , D i ], i = 0, . . ..

• Stopie´n nieholonomiczno´sci dystrybucji D 0 w punkcie q – minimalna warto´ s´ c indeksu p, dla kt´ orej r _p (q) = n, gdzie n to wymiar przestrzeni konfiguracyjnej, za´ s r _i (q) to wymiar dystrybucji D _i w konfiguracji q.

1. poda´ c, ile wynosz a: n – wymiar przestrzeni konfiguracyjnej, l – liczba ogranicze´ _, n nieholonomicz- nych, m – liczba generator´ ow uk ladu bezdryfowego.

5. sprawdzi´ c, czy ograniczenia Pfaffa A(q) ˙ q = 0, z kt´ orych wygenerowano bezdryfowy uk lad sterowa- nia, s a w pe lni nieholonomiczne. _,

(a) monocykl bez po´ slizgu poprzecznego i wzd lu˙znego, q = (x, y, θ, φ 1 , φ 2 ) ^T g 1 = (cos θ, sin θ, _L ¹ , ² _r , 0) ^T , g 2 = (cos θ, sin θ, − _L ¹ , 0, ² _r ) ^T

(b) ko lo bez po´ slizgu poprzecznego i wzd lu˙znego, q = (x, y, θ, φ) ^T g ₁ = (cos θ, sin θ, 0, 1) ^T , g ₂ = (0, 0, 1, 0) ^T

(c) samoch´ od kinematyczny, q = (x, y, θ, φ) ^T

g ₁ = (L cos θ cos φ, L sin θ cos φ, sin φ, 0) ^T , g ₂ = (0, 0, 0, 1) ^T (d) uk lad nilpotentny, q = (q ₁ , q ₂ , q ₃ ) ^T

g 1 = (1, 0, q 2 ) ^T , g 2 = (0, 1, 0) ^T (e) uk lad liniowy, q = (q 1 , q 2 , q 3 ) ^T g 1 = (1, 0, −1) ^T , g 2 = (0, 1, 0) ^T (f) integrator Brocketta, q = (q 1 , q 2 , q 3 ) ^T

g 1 = (1, 0, −q 2 ) ^T , g 2 = (0, 1, q 1 ) ^T