MATEMATYKA
lista zadań nr 9
1. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach a)
Z Z Z
P
x dx dy dz
yz , P = [1, 2] × [1, e] × [1, e], b)
Z Z Z
P
(x + y + z) dxdydz, P = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4].
2. W podanej całce iterowanej zmienić kolejność całkowania (rozważyć wszystkie przypadki)
Z 1 0
"
Z 2−2x 0
"
Z 3−3x−32y 0
f (x, y, z) dz
#
dy
#
dx
3. Obliczyć całki potrójne danych funkcji po wskazanych obszarach
a) f (x, y, z) = ex+y+z Ω : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ x, b) f (x, y, z) = x2+ y2, Ω : x2 + y2 ¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x.
4. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po wskazanych obszarach a)
Z Z Z
Ω
(x2+ y2+ z2) dxdydz Ω : x2+ y2 ¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1,
b)
Z Z Z
Ω
xyz dxdydz Ω :
q
x2+ y2 ¬ z ¬q1 − x2− y2.
5. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć podane całki po wskazanych obszarach a)
Z Z Z
Ω
dxdydz
√x2+ y2+ z2, Ω : 4 ¬ x2+ y2+ z2 ¬ 9,
b)
Z Z Z
Ω
z2dxdydz, Ω : x2+ y2+ (z − 2)2 ¬ 4.
6. Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami
a) x2+ y2 = 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5, b) x = −1, x = 2, z = 4 − y2, z = 2 + y2. 7. Obliczyć masę obszaru Ω = { (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2+ z2 ¬ 9 } przy gęstości objętościowej
ω(x, y, z) = x2+ y2+ z2.
8. Wyznaczyć środek masy obszaru Ω = { (x, y, z) ∈ R3 : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x } przy gęstości objętościowej ω(x, y, z) = 1.
9. Obliczyć momenty bezwładności walca o promieniu R i wysokości H, przy gęstości objętościowej ω(x, y, z) = x.
10* Obliczyć natężęnie pola elektrycznego, jakie wytwarza jednorodnie naładowany stożek o pro- mieniu podstawy R, wysokości H i ładunku całkowitym Q, w swoim wierzchołku.
