GAL (I INF) Zadania domowe 4

GAL (I INF) Zadania domowe 4

w tym obowi azkowe: 4.6, 4.10, 4.14, 4.15, 4.17 _, termin sprawdzianu: 17.12.2010

4.1 Niech

~a 1 =



 0 1 1



 , ~a 2 =



 1 0 1



 , ~a 3 =



 1 1 0



 . (a) Wyka˙z, ˙ze wektory ~a 1 , ~a 2 , ~a 3 tworz a baz _, e C _, ³ .

(b) Znajd´ z wektory-wiersze ~b ₁ ^T ,~b ₂ ^T ,~b ₃ ^T ∈ (C ³ ) ^T takie, ˙ze funkcjona ly s ₁ , s ₂ , s ₃ ∈ (C ³ ) ^∗ dane wzorami s _i (~ x) = ~b _i ^T ∗~ x, i = 1, 2, 3, tworz a baz _, e przestrzeni (C _, ³ ) ^∗ sprz e˙zon _, a z baz _, a ~a _{, 1} , ~a ₂ , ~a ₃ . 4.2 Poka˙z, ˙ze dwa funkcjona ly s a liniowo niezale˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy maj _, a r´ _, o˙zne j adra. _, 4.3 Niech S = [s ₁ , s ₂ ] ^T , gdzie s ₁ , s ₂ : C ² → C s a funkcjona lami zadanymi wzorami _,

s 1 (z 1 , z 2 ) = z 1 + ı · z 2 , s 2 (z 1 , z 2 ) = z 1 − ı · z ₂ (ı = √

−1).

Wyka˙z, ˙ze S jest baz a w przestrzeni _,  C ² _|C  ∗

. Znajd´ z baz e sprz _, e˙zon _, a do S. _, 4.4 Dla X = P _|R ⁴ funkcjona l f ∈ X ^∗ zdefiniowany jest jako

f (p) = p ⁰ (0) + p ⁽³⁾ (1), p ∈ X .

Znajd´ z wsp´ o lczynniki a _k , k = 1, 2, 3, 4, funkcjona lu f w bazie sprz e˙zonej do bazy _, (1, 1 + t, 1 − t ² , t ³ ).

4.5 W przestrzeni P _|R ⁴ wielomian´ ow rzeczywistych stopnia co najwy˙zej 3 dana jest baza:

p 0 (t) = 1 + t, p 1 (t) = 1 − t, p 2 (t) = t ² (1 + t), p 3 (t) = t ² (1 − t).

Wyznacz baz e do niej sprz _, e˙zon _, a w (P _{, |R} ⁴ ) ^∗ .

4.6 Dla X = P _|R ³ , niech funkcjona l s ∈ X ^∗ b edzie zdefiniowany jako _, s(p) = p ⁰ (0) + p ⁰⁰ (1) dla p ∈ X .

Znajd´ z wsp´ o lczynniki a ₁ , a ₂ , a ₃ rozwini ecia funkcjona lu s w bazie funkcjona l´ _, ow (s ₁ , s ₂ , s ₃ ) przestrzeni X ^∗ zdefiniowanych jako

s ₁ (p) = p(−1), s ₂ (p) = p(0), s ₃ (p) = p(1), p ∈ X .

4.7 W przestrzeni liniowej X = P _|R ⁽³⁾ wielomian´ ow rzeczywistych stopnia co najwy˙zej 2 zdefi- niowano funkcjona ly ϕ 1 (p) = p(0), ϕ 2 (p) = p ⁰ (0), ϕ 3 (p) = p(1). Wyka˙z, ˙ze {ϕ j } ³ _j=1 jest baz a przestrzeni X _, ^∗ i znajd´ z w X baz e do niej sprz _, e˙zon _, a. _,

4.8 Niech P n b edzie przestrzeni _, a liniow _, a wielomian´ _, ow rzeczywistych stopnia co najwy˙zej n − 1.

Dla 1 ≤ j ≤ n, niech funkcjona ly ϕ _j ∈ P _n ^∗ ϕ j (p) =

Z t

t

p(s)ds, ∀p ∈ P _n ,

gdzie t 0 < t 1 < · · · < t n . Wyka˙z, ˙ze funkcjona ly (ϕ 1 , . . . , ϕ n ) tworz a baz _, e P _{, n} ^∗ (a) dla n = 2

(b) dla dowolnego n

1

4.9 (ci ag dalszy poprzedniego zadania) _,

(a) Wska˙z baz e w P _{, 2} sprz e˙zon _, a z baz _, a (ϕ _{, 1} , ϕ ₂ ).

(b) Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego n baza P n sprz e˙zona z (ϕ _, 1 , . . . , ϕ n ) sk lada si e wy l _, acznie z _, wielomian´ ow stopnia dok ladnie n − 1.

4.10 Niech X b edzie przestrzeni _, a liniow _, a wymiaru n. Niech wektory a _{, 1} , a ₂ , . . . , a _n ∈ X oraz funkcjona ly s 1 , s 2 , . . . , s n ∈ X ^∗ spe lniaj a warunek _,

s _i (a _j ) =

 1, i = j, 0, i 6= j.

Czy uk lad (a ₁ , . . . , a _n ) jest baz a przestrzeni X ? (Albo, r´ _, ownowa˙znie, czy (s ₁ , . . . , s _n ) jest baz a X _, ^∗ ?)

4.11 Znajd´ z w R ³ og´ olne rozwi azanie nast _, epuj _, acego uk ladu r´ _, owna´ n, w zale˙zno´ sci od warto´ sci parametru λ:







λx ₁ + x ₂ + x ₃ = 1 x 1 + λx 2 + x 3 = 1 x ₁ + x ₂ + λx ₃ = 1

4.12 Znajd´ z w R ³ og´ olne rozwi azanie nast _, epuj _, acego uk ladu r´ _, owna´ n, w zale˙zno´ sci od warto´ sci parametru γ:







(1 + γ)x ₁ + x ₂ + x ₃ = 1

x 1 + (1 + γ)x 2 + x 3 = γ x 1 + x 2 + (1 + γ)x 3 = γ ²

4.13 Czy rozwi azanie nieosobliwego uk ladu r´ _, owna´ n liniowych o wsp´ o lczynnikach wymiernych (zar´ owno macierzy jak i prawej strony) jest wektorem o wsp´ o lczynnikach wymiernych?

4.14 Stosuj ac metod _, e eliminacji Gaussa, znajd´ _, z w R ⁵ og´ olne rozwi azanie uk ladu r´ _, owna´ n linio- wych



 



 



x ₁ − 2x ₂ + 2x ₃ + x ₄ + 3x ₅ = 1 x ₁ − x ₂ + 4x ₃ + 2x ₄ + 2x ₅ = 2 3x 1 − 5x ₂ + 8x 3 + 5x 4 + 6x 5 = 5 4x ₁ − 8x ₂ + 8x ₃ + 5x ₄ + 10x ₅ = 5 Rozwi azanie przedstaw jako warstw _, e w R _, ⁵ .

4.15 Dany jest uk lad r´ owna´ n liniowych







2 x ₁ + 3 x ₂ + x ₃ + 2 x ₄ = 1 4 x 1 + 6 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 3 6 x ₁ + 9 x ₂ + 5 x ₃ + 2 x ₄ = 5

Stosuj ac algorytm eliminacji Gaussa znajd´ _, z og´ olne rozwi azanie tego uk ladu, a nast _, epnie _, znajd´ z rozk lad tr´ ojk atno-tr´ _, ojk atny P ∗ A ∗ Q _, ^T = ˆ L ∗ ˆ R macierzy A tego uk ladu.

4.16 Stosuj ac eliminacj _, e Gaussa znajd´ _, z czynniki P, Q, L, R rozk ladu tr´ ojk atno-tr´ _, ojk atnego _, P ∗ A ∗ Q ^T = L ∗ R

macierzy

A =













1 1 1 1 2 2 2 3 2 3 4 4 2 3 4 5 2 3 4 6













.

4.17 Stosuj ac algorytm eliminacji Gaussa z cz _, e´ _, sciowym wyborem elementu g l´ ownego (w kolum- nie) znajd´ z rozwi azanie og´ _, olne jednorodnego ukadu r´ owna´ n liniowych A ∗ ~ x = ~0, gdzie

A =

















1 0 −1 0 0 0

0 1 0 −1 0 0

−1 0 1 0 −1 0

0 −1 0 1 0 −1

0 0 −1 0 1 0

0 0 0 −1 0 1















 .

Wska˙z odpowiadaj acy temu algorytmowi rozk lad tr´ _, ojk atno-tr´ _, ojk atny P ∗ A ∗ Q _, ^T = L ∗ R.

4.18 Znajd´ z czynniki rozk ladu P ∗ A = L ∗ R macierzy

A =









1 1 1 1 1 1 1 1 2 3

−1 0 2 2 0 1 2 5 6 7







 .

Nast epnie znajd´ _, z rozwi azanie og´ _, olne uk ladu r´ owna´ n A~ x = ~ e ₄ .

4.19 Niech ~ x ^∗ b edzie dok ladnym rozwi _, azaniem nieosobliwego uk ladu r´ _, owna´ n liniowych A~ x = ~b z A ∈ R ^n,n i ~0 6= ~b ∈ R ⁿ . Wyka˙z, ˙ze dla dowolnego wektora ~ x ∈ R ⁿ prawdziwe jest oszacowanie

1 cond(A)

k~ x − ~ x ^∗ k

k~ x ^∗ k ≤ kA~ x − ~bk

k~bk ≤ cond(A) k~ x − ~ x ^∗ k k~ x ^∗ k ,

gdzie cond(A) = kAkkA ⁻¹ k i norma macierzowa jest indukowana przez norm e wektorow _, a. _,