GAL (I INF) Zadania domowe 10
(nieobowiazkowe)֒
1. Niech a ∈ R oraz
A=
1 0 a 0
0 1 0 a
a 0 1 0
0 a 0 1
.
Zbadaj, dla jakich warto´sci a forma dwuliniowa ϕ : R4× R4→ R dana wzorem ϕ(~x, ~y) = ~xT∗ A ∗ ~y
jest iloczynem skalarnym w R4.
2. Forma dwuliniowa ϕ : R3× R3→ R ma w bazie [1, 0, 0]T, [1, 1, 0]T, [1, 1, 1]T macierz
2 1 1 1 2 1 1 1 2
.
Znajd´z macierz ϕ w bazie [1, 1, 1]T, [0, 1, 1]T, [0, 0, 1]T.
3. Wyka˙z, ˙ze je´sli A, B ∈ Cn,n sa macierzami hermitowskimi i dodatnio okre´slonymi to istnieje macierz֒ C∈ Cn,n taka, ˙ze B = CT ∗ A ∗ C.
4. Niech X = P|R9 bedzie przestrzeni֒ a Euklidesow֒ a z iloczynem skalarnym֒
(p, q) =
10
X
i=−10
p(i)q(i), p, q∈ X .
Niech dalej Y bedzie podprzestrzeni֒ a X sk ladaj֒ ac֒ a si֒ e z wielomian´֒ ow nieparzystych p, tzn. takich,
˙ze p(−t) = −p(t) ∀t ∈ R. Znajd´z rzut prostopad ly wielomianu p(t) = t8− t7+ 2t6+ 1 na podprzestrze´n Y.
5. Dla przestrzeni euklidesowej X = P|R4 z iloczynem skalarnym
(p, q) = p(−2)q(−2) + p(−1)q(−1) + p(1)q(1) + p(2)q(2)
znajd´z wsp´o lczynniki w bazie (1, t, t2, t3) rzutu prostopad lego wielomianu p(t) = 3 + t3− t na pod- przestrze´n
Y = {p ∈ X : (p, q) = 0 ∀q ∈ W}, gdzie W = {p ∈ X : p(0) = 0}.
6. Znajd´z baze ortonormaln֒ a (ze wzgl֒ edu na standardowy iloczyn skalarny) w podprzestrzeni֒ Y = {~x ∈ R4: 2x1− x2+ x3− 4x4= 0}.
7. Znajd´z baze ortonormaln֒ a przestrzeni R֒ 3z iloczynem skalarnym
(~x, ~y) = x1y1+ 2x1y2+ 2x2y1+ 7x2y2+ x2y3+ x3y2+ 10x3y3.
1
8. Dla dowolnego uk ladu wektor´ow Yk= [~y1, ~y2, . . . , ~yk] w przestrzeni Euklidesowej Rn zbi´or
hYki = h~y1, . . . , ~yki :=
k
X
j=1
~
yjτj: 0 ≤ τj ≤ 1, 1 ≤ j ≤ k
nazywamy r´ownoleg lo´scianemwymiaru k. Objeto´s´c khY֒ kik takiego r´ownoleg lo´scianu zdefiniowana jest indukcyjnie jako
(i) khY1ik = ky1k
(ii) khYkik = khYk−1ik ∗ k~yk− ~rkk, gdzie ~rk jest rzutem ortogonalnym ~yk na Yk−1 = span(~y1, . . . , ~yk−1).
Wyka˙z, ˙ze
khYkik = pdet ((Yk, Yk)), gdzie (Yk, Yk) jest macierza Grama uk ladu Y֒ k.
