GAL (I INF)
Zadania domowe 3termin: 10.11.2009 Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow
1. Dla danego cia la K, niech k · kKn oraz k · kKm bed֒ a pewnymi normami odpowiednio w K֒ n i w Km. Wyka˙z, ˙ze funkcja
ψ(A) = sup
~ x6=~0
kA ∗ ~xkKm
k~xkKn
, A ∈ Km,n, definiuje norme w K֒ m,n.
2. Dana jest macierz
A =
0 1 2 3
−i 0 −1 −2
2i i 0 1
−3i −2i −i 0
∈ C4,4 gdzie i =√
−1. Wyznacz normy kAk1i kAk∞. Znajd´z wektory ~x, ~y ∈ C4,4takie, ˙ze k~xk1= k~yk∞= 1 oraz kA ∗ ~xk1= kAk1, kA ∗ ~yk∞= kAk∞.
3. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnej macierzy A mamy
kAk22= kAH∗ Ak2.
4. Niech p i q spe lniaja 1/p + 1/q = 1 (przy czym przyjmujemy, ˙ze 1/∞ = 0). Nier´owno´s´c H¨oldera֒ m´owi, ˙ze dla dowolnych wektor´ow ~u, ~v ∈ Cn mamy
|~uH∗ ~v| ≤ k~ukp· k~vkq.
Korzystajac z nier´owno´sci H¨֒ oldera wyka˙z, ˙ze dla dowolnych ~x ∈ Cn, ~y ∈ Cm k~y ∗ ~xHkp= k~ykp· k~xkq.
5. Oblicz norme p-t֒ a wektora-wiersza (funkcjona lu), czyli kˆa֒ Tkp dla ˆa ∈ Kn. 6. Niech
A = [A1| A2] lub A = [AT1 | AT2]T. Wyka˙z, ˙ze
kAikp≤ kAkp, i = 1, 2.
1
