GAL (I INF)
Zadania domowe 5termin: 8.12.2009
Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow
1. W przestrzeni liniowej X wielomian´ow rzeczywistych stopnia co najwyej n zdefiniowano podprze- strzenie
Y1 = { p ∈ X : p(0) = 0 = p(1) } Y2 = { p ∈ X : ∃a ∀x p(x) = a · x } Y3 = { p ∈ X : ∃a ∀x p(x) = a } . Wyka˙z, ˙ze
X = Y1⊕ Y2⊕ Y3.
Dla dowolnego wielomianu p ∈ X , znajd´z przedstawienie p w postaci odpowiedniej sumy trzech sk ladnik´ow.
2. Wyka˙z, ˙ze rzad macierzy nie zmieni si֒ e gdy:֒
(a) pomno˙zymy kolumne (wiersz) przez niezerowy skalar,֒
(b) dodamy do kolumny (wiersza) inna kolumn֒ e (wiersz) pomno˙zon֒ a (pomno˙zony) przez skalar.֒ 3. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych macierzy A, B ∈ Km,nmamy rz(A + B) ≤ rz(A) + rz(B).
4. Niech n ≥ 4 i niech wektory ~x, ~y ∈ Rn bed֒ a liniowo niezale˙zne. Znajd´z j֒ adro macierzy A =֒ [~x, ~x + ~y, ~x − ~y, ~y].
5. Znajd´z rzad, bazy j֒ adra i obrazu macierzy֒
1 −2 3 −5
−2 3 −4 6
3 −4 5 −7
−4 5 −6 8
.
1
