GAL (I INF) Zadania domowe 4
termin: 01.12.2009
Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow
1. Dla jakich warto´sci parametr´ow s, t ∈ R wektory [5, 7, s, 2]T, [1, 3, 2, 1]T, [2, 2, 4, t]T tworza uk lad֒ liniowo niezale˙zny w R4|R?
2. Niech pk∈ P|Rn bed֒ a dla 0 ≤ k ≤ n − 1 wielomianami stopnia dok ladnie k, tzn. deg p֒ k= k. Wyka˙z,
˙ze uk lad (p0, p1, . . . , pn−1) jest baza P֒ |Rn .
3. Niech A = (ai,j)ni,j=1= [~a1, ~a2, . . . , ~an] bedzie macierz֒ a kwadratow֒ a o wsp´o lczynnikach zespolonych.֒ Wyka˙z, ˙ze je´sli dla wszystkich j mamy |aj,j| > Pn
j6=i=1|ai,j| to wektory (~a1, . . . , ~an) tworza baz֒ e֒ Cn|C.
4. Podprzestrzenie Y, Z ⊆ R4okre´slone sa nast֒ epuj֒ aco:֒
Y = {~x ∈ R4: x1− 4x2+ 3x3+ 5x4= 0, x1− 5x2+ 5x3+ 8x4= 0 }, Z = span { [1, 2, 1, 8]T,[2, 1, 1, 1]T}.
Znajd´z uk lad r´owna´n okre´slajacy przestrze´֒ n Y + Z.
5. Dla ustalonych t1< t2<· · · < tn zdefiniujmy wielomiany li(t) =
n
Y
i6=j=1
t− tj
ti− tj, 1 ≤ i ≤ n.
Wyka˙z, ˙ze (l1, l2, . . . , ln) jest baza P֒ |Rn .
6. Niech Y i Z bed֒ a podprzestrzeniami pewnej przestrzeni X . Wyka˙z, ˙ze֒ Y ∪ Z := {x ∈ X : x ∈ Y lub x ∈ Z}
jest podprzestrzenia X wtedy i tylko wtedy gdy Y ⊆ Z lub Z ⊆ Y.֒
7. Niech Y bedzie podprzestrzeni֒ a przestrzeni P֒ |Rn wielomian´ow p (o wsp´o lczynnikach rzeczywistych) spe lniajacych p(0) = p(ı) = 0 (ı =֒ √
−1). Wska˙z baze Y, a nast֒ epnie uzupe lnij j֒ a do bazy P֒ |Rn . 8. Rozwa˙zmy nastepuj֒ ace podzbiory przestrzeni R֒ m,n:
X = n
A= (ai,j) :
n
X
j=1
ai,j= 0, 1 ≤ i ≤ mo
Y = n
B= (bi,j) :
m
X
i=1
bi,j= 0, 1 ≤ j ≤ no .
Wyka˙z, ˙ze X i Y sa podprzestrzeniami R֒ m,n. Wska˙z przyk lady baz. Czy Rm,n= X ⊕ Y ?
1
