GAL (I INF)
Zadania domowe 1termin: 20.10.2009
Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow
1. Wyka˙z, ˙ze w dowolnym ciele K prawdziwe sa stwierdzenia:֒ (a) ∀a ∈ K a ∗ 0 = 0 = 0 ∗ a,
(b) ∀a ∈ K (−1) ∗ a = −a,
(c) Je´sli a 6= 0 6= b to element a ∗ b jest odwracalny i (a ∗ b)−1= b−1∗ a−1
2. Wyka˙z, ˙ze w dziedzinie zespolonej pierwiastki z jedynki stopnia n tworza grup֒ e ze wzgl֒ edu na֒ dzia lanie mno˙zenia.
3. Wyka˙z, ˙ze dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 mamy
|z1+ z2| ≤ |z1| + |z2| oraz ||z1| − |z2|| ≤ |z1− z2|.
4. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone ı+√
3 ı+ 1
!55
oraz (√
3 + 3ı)40 (√
3 + ı)20 (ı =√
−1).
5. Rozwia˙z w dziedzinie zespolonej r´֒ ownania:
(a) z3= 5 + 5ı
(b) z4+ (1 − ı)z2− ı = 0
6. Rozwia˙z w dziedzinie zespolonej r´֒ ownanie
p(z) = z4+ 3z2− 4 = 0,
a nastepnie dokonaj faktoryzacji wielomianu p w dziedzinach zespolonej oraz rzeczywistej.֒ 7. Znajd´z wszystkie liczby zespolone z spe lniajace r´֒ ownanie
z3+ |z|2+ z = 0.
1
