Kolej w tunelu we wnętrzu Ziemi

napisał Michał Wierzbicki

Kolej w tunelu we wnętrzu Ziemi

Krzywą wzdłuż której czas ruchu jest ekstremalny nazywamy brachistochroną.

Z

dt =

Z ds

v = extr (1)

Spróbujmy zastanowić się jak wygląda brachistochrona we wnętrzu Ziemi. Moż- na ją zrealizować przekopując odpowiedni tunel między dwoma punktami na po- wierzchni Ziemi.

Rozważmy, jaka siła działa na punkt we wnętrzu Ziemi, w odległości r od jej środka. Zakładając, że materia wewnątrz Ziemi jest rozłożona równomiernie¹, gęstość masy Ziemi wynosi:

ρ = M

4

3πR³ (2)

gdzie R = 6500 km jest promieniem Ziemi. Masa zawarta we wnętrzu kuli o promieniu r wynosi

M (r) = ρ·4

3πr³ = M r³

R³ (3)

Siła grawitacyjna działająca na punkt o masie m w odległości r od środka Ziemi pochodzi tylko od masy zgromadzonej we wnętrzu tej kuli²

F (r) =−GM (r)m

r² =−GM mr

R³ (4)

Potencjał tej siły musi spełniać równanie F (r) =−dV

dr (5)

stąd

V (r) = GM mr²

2R³ = kr²

2 (6)

Na punkt materialny o masie m we wnętrzu Ziemi działa siła taka, jaka pochodzi- łaby od oscylatora harmonicznego o współczynniku sprężystości k = GM m/R³.

1Co nie jest zgodne z rzeczywistością, ale ułatwia rachunki.

2Siła grawitacyjna wewnątrz powłoki sferycznej jest zero, a kula przyciąga jak masa punktowa zgromadzona w jej środku.

Załóżmy, że w chwili początkowej punkt materialny spoczywa na powierzchni Ziemi. Jego energia wynosi

E = V (R) = GM m

2R (7)

Jeśli pod wpływem siły ciążenia punkt materialny zacznie poruszać się w tunelu wykopanym we wnętrzu Ziemi to

E = mv²

2 + V (r) (8)

Jego prędkość jako funkcja odległości r od środka Ziemi wynosi więc v² = GM

R 1− r² R²

!

(9) Dalej niech R = 1, to znaczy że promień Ziemi jest jednostką długości. Wielkość GM/R² równa jest przyspieszeniu grawitacyjnemu g = 9,81 m/s² na powierzchni Ziemi. Jeśli za jednostkę czasu weźmiemy wielkość T =

q

R/g = 13,6 minuty, to jednostką prędkości będzie wówczas √

gR = 133 m/s. Przy takich założeniach możemy przyjąć że GM/R = gR = 1. Wyrażenie bezwymiarowe na prędkość punktu materialnego wynosi więc:

v =√

1− r² (10)

Do znalezienia ekstremum całki (1) zastosujmy układ współrzędnych biegunowych, przy czym załóżmy, że r jest zmienną niezależną. Wówczas ϕ = ϕ(r) będzie szuka- nym równaniem krzywej (brachistochrony) we współrzędnych biegunowych. Ele- ment długości ds całkowanej krzywej można zapisać jako

(ds)² = (dx)²+ (dy)² = (dr)²+ r²(dϕ)² = (dr)²· [1 + r²ϕ⁰(r)²] (11) Zagadnienie wariacyjne na ekstremum całki (1) przyjmuje postać

Z s1 + r²ϕ^{0 2}

1− r² dr = extr (12)

gdzie jądrem funkcjonału jest

F (ϕ⁰, ϕ, r) =

s

1 + r²ϕ^{0 2}

1− r² (13)

W celu napisania równania Eulera-Lagrange’a obliczamy pochodną jądra funkcjo- nału po ϕ⁰

Rysunek 1: Zależność ϕ(r).

∂F

∂ϕ⁰ = r²ϕ⁰

q

(1− r²)· (1 + r²ϕ^{0 2})

(14) Ponieważ jądro funkcjonału nie zależy od ϕ to jego pochodna po ϕ jest równa zeru.

∂F

∂ϕ = 0 (15)

Z równania Eulera-Lagrange’a d dr

∂F

∂ϕ⁰

!

= ∂F

∂ϕ = 0 (16)

wynika, że pochodna (14) jest stała.

∂F

∂ϕ⁰ = c = const (17)

Wyrażając ϕ⁰ przez r dostajemy następujące równanie różniczkowe ϕ^{0 2} = c²(1− r²)

r²[(1 + c²)r²− c²] (18) Można zauważyć, że dla r = 1 mamy ϕ⁰ = 0, natomiast dla r = c/√

1 + c² po- chodna ϕ⁰ jest nieskończenie duża. Odległość r punktu materialnego od środka Ziemi musi więc zmieniać się periodycznie w granicach od a = c/√

1 + c² do 1 i z powrotem, jak przedstawiono na rysunku 1.

Ta zmienność r sugeruje następujące podstawienie r² = 1− sin²ψ

1 + c² (19)

gdzie ψ będzie nową zmienną niezależną. Dla wartości ψ = 0 mamy r = 1 (na powierzchni Ziemi), a dla wartości ψ = π/2 mamy r = c/√

1 + c² (w najgłębszym punkcie tunelu). Po podstawieniu (19) do równania (18) otrzymujemy

ϕ^{0 2} = 2c²tg²ψ

1 + 2c²+ cos 2ψ (20)

W powyższej pochodnej możemy zmienić zmienną niezależną ϕ⁰ = dϕ

dr = dϕ dψ

dψ

dr (21)

gdzie różniczkując wzór (19) mamy dr

dψ

!₂

= 1

(1 + c²) · 2 sin²ψ cos²ψ

1 + c²+ cos 2ψ (22)

Stąd pochodna kąta biegunowego ϕ po nowej zmiennej niezależnej ψ wynosi:

dϕ

dψ = ϕ⁰ dr

dψ = 2c

√1 + c² · sin²ψ

1 + 2c²+ cos 2ψ (23)

Otrzymaliśmy więc wyrażenie na ϕ w postaci elementarnej całki:

ϕ = 2c

√1 + c²

Z sin²ψ

1 + 2c²+ cos 2ψdψ (24)

która wynosi

ϕ = √−cψ

1 + c² + arctg c tg ψ

√1 + c²

!

(25) Równania (19) i (25) zawierają w sobie szukane rozwiązanie — równanie brachi- stochrony w układzie biegunowym, w postaci zależnej od parametru ψ. Równania te nieco się upraszczają, jeśli wprowadzić nową stałą a na miejsce c:

a = c

√1 + c² < 1 (26)

Wówczas

r² = 1− (1 − a²) sin²ψ (27) oraz

ϕ =−aψ + arctg (a tg ψ) (28)

Równanie parametryczne brachistochrony we współrzędnych kartezjańskich daje się wówczas zapisać jako

Rysunek 2: Hipocykloida dla okręgu o promieniu r = 1/5. β = 4α

x = r cos ϕ = 1 + a

2 cos(ψ− aψ) +1− a

2 cos(ψ + aψ) (29)

y = r sin ϕ = 1 + a

2 sin(ψ− aψ) +1− a

2 sin(ψ + aψ) (30)

Jeśli na miejsce stałej a i parametru ψ wprowadzimy stałą r i parametr α:

a = 1− 2r , α = 2rψ (31)

to równanie parametryczne brachistochrony przyjmie następującą formę

x = (1− r) cos α + r cos β (32) y = (1− r) sin α + r sin β (33) gdzie

rβ = (1− r)α (34)

Co ciekawe jest to równanie hipocykloidy, czyli krzywej jaką zatacza ustalony punkt na okręgu o promieniu r toczącym się bez poślizgu wewnątrz okręgu o promieniu 1. Kąt α jest kątem o jaki obrócił się środek okręgu, kąt β jest kątem obrotu samego okręgu wokół jego środka. Równanie (34) jest warunkiem toczenia się bez poślizgu.

Końcowy punkt brachistochrony znajdzie się także na powierzchni Ziemi dla wartości parametru ψ = π, dla którego r = 1. Całkowity czas przelotu w tunelu o kształcie brachistochrony łączącym dwa punkty na powierzchni Ziemi jest równy wartości ekstremalnej całki (12). Podstawiając do niej wyrażenie (18) na ϕ^{0 2} i całkując w przedziale od r = a = c/√

1 + c² (najgłębsze położenie tunelu) do r = 1 (punkt na powierzchni Ziemi) otrzymujemy

t = 2

Z1

a

s

1 + r²ϕ^{0 2} 1− r² dr =

Z1

a

2r dr

√1− r²·^q(1 + c²)r²− c² = π

√1 + c² (35)

Całkowita długość tunelu wynosi natomiast

s = 2

Z1

a

q

1 + r²ϕ^{0 2}dr =

Z1

a

2r dr

q

(1 + c²)r²− c² = 2

1 + c² (36) Na podstawie wzorów (10) i (19) możemy napisać także wyrażenie na prędkość punktu materialnego w czasie jego ruchu w tunelu o kształcie brachistochrony:

v = sin ψ

√1 + c² (37)

Jak widać największa prędkość równa 1/√

1 + c² jest osiągana w najgłębszym miejscu tunelu dla ψ = π/2. Aby powyższe wyniki móc zinterpretować fizycznie przypominamy sobie, że stosujemy jednostkę długości równą promieniowi Ziemi R = 6500 km, jednostkę czasu równą

q

R/g = 13,6 minut oraz jednostkę prędko- ści równą √

gR = 133 m/s.

Tunel Gdańsk – Kraków

Według „Gazety Rządowej” przekopanie tunelu z Gdańska do Krakowa jest prio- rytetową inwestycją planowaną przez Polskie Koleje Państwowe w najbliższych latach. Współrzędne geograficzne obu miast są następujące:

Gdańsk: szerokość geograficzna: φ = 54^◦22⁰N, długość geograficzna: λ = 18^◦38⁰E Kraków: szerokość geograficzna: φ = 50^◦03⁰N, długość geograficzna: λ = 19^◦57⁰E

Jeśli przyjmiemy, że oś obrotu Ziemi jest osią z sferycznego układu współrzęd- nych, wówczas kąt sferyczny θ jest równy π/2− φ, a kąt sferyczny ϕ jest równy długości geograficznej λ. Współrzędne kartezjańskie punktu na powierzchni Ziemi o współrzędnych geograficznych (φ, λ) wynoszą więc

x = R cos λ cos φ , y = R sin λ cos φ , z = R sin φ (38) Separację kątową α dwóch punktów ~r₁ i ~r₂ na powierzchni Ziemi możemy obliczyć ze wzoru

~r₁· ~r2 = R²[cos(λ₂ − λ1) cos φ₁cos φ₂ + sin φ₁sin φ₂] = R²cos α (39) Separacja kątowa Gdańska i Krakowa wynosi α = 0,0766411 = 4^◦24,5⁰. Najkrótsza odległość z Gdańska do Krakowa wynosi Rα = 498 km. Średnica okręgu hipocy- kloidy łączącej Gdańsk i Kraków wynosi 2r = α/π = 0,0243956, co odpowiada głębokości tunelu równej 158,5 km. Parametr a = 1− 2r = 0,975604. Parametr c = a/√

1− a² = 4,44394. Czas przejazdu pociągu Pendolino tunelem z Gdańska do Krakowa zgodnie ze wzorem (35) wyniesie t = 0,689693 czyli 9 minut 21 se- kund³. Całkowita długość torów w tunelu zgodnie ze wzorem (36) będzie równa s = 0,0963922 = 626,5 km. Zgodnie ze wzorem (37) największą prędkość równą v = 0,219536 = 1753 m/s = 6311 km/h pociąg Pendolino osiągnie na głębokości 158,5 kilometrów pod powierzchnią Ziemi. Jeśli uda się otrzymać dofinansowanie z Unii Europejskiej, to w tym miejscu zbudowana zostanie stacja przesiadkowa, do której z powierzchni Ziemi prowadzić będzie winda szybkobieżna. Obliczenie czasu spadku swobodnego windy, na którą działa siła dana wzorem (4), autor pozostawia Czytelnikowi. Czytelnik może także wyznaczyć współrzędne geograficzne punktu przesiadkowego oraz obliczyć ile czasu zajmie dojazd samochodem z Warszawy do tego punktu.

3Opóźnienie pociągu może ulec zmianie.