7. Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa 7.1. Statystyka – rozwiązania
Ćwiczenia
1. a) −10+9+(−3)+7+7+3+(−9)+1+(−2)
9 = 3
9= 1
3 b) 5+9+0+7+5+5+3+1+1
9 = 36
9 = 4 2. Badaniem objęto: 8 + 12 + 3 + 2 = 25 osób.
Zakres 12–13 kg: 8
25 ∙ 100% = 32%
Zakres 14–15 kg: 12
25 ∙ 100% = 48%
Zakres 16–17 kg: 3
25 ∙ 100% = 12%
Zakres 18–20 kg: 2
25 ∙ 100% = 8%
3. a) Średnia liczba lokatorów przypadających na jedno mieszkanie:
24 3 72 24
5 7 4 2 3 3 2 8 1
4 + + + + = =
b) Średnia liczba lokatorów dla całego bloku jest równa 3. Jedna lub dwie osoby mieszkają w: 4+8=12 mieszkaniach.
4. a) Na niebieskim wykresie znajdujemy punkt położony najniżej. Odpowiada on dacie 16 marca. Minimalna temperatura dobowa była wówczas równa −4°C.
b) W tym dniu maksymalna temperatura dobowa była równa 22°C, a minimalna 0°C.
Różnica temperatur była równa 22°C − 0°C = 22°C.
c) Na niebieskim wykresie znajdujemy punkty, których drugie współrzędne są mniejsze od 0.
Są 2 takie punkty, odpowiadają 10 i 16 marca.
5. a) Znajdujemy punkt wykresu, którego druga współrzędna (oznaczająca przebytą drogę) jest równa 2, i odczytujemy jego pierwszą współrzędną: 3. Zatem po upływie 3 s droga była równa 2 m.
b) Obiekt pokonał drogę 3 m w czasie 6 s, zatem jego średnia prędkość podczas całego ruchu była równa
s m 6
3 = 0,5 s m.
c) Gdy rozpoczęła się czwarta sekunda ruchu, obiekt miał za sobą drogę 2 m, a gdy kończyła się szósta sekunda, droga przebyta przez ten obiekt była równa 3 m. Zatem w ciągu trzech ostatnich sekund ruchu obiekt przebył 3 – 2 = 1 (m).
d) Średnia prędkość w czasie pierwszych trzech sekund jest równa s m 3
2 , a w ciągu trzech
następnych sekund s m 3
1 , więc ta wypowiedź jest nieprawdziwa.
Zadania
1. Łączna liczba partii: 3+7+2+6=18
Średnia arytmetyczna liczby punktów: 6,5
18 117 18
10 6 8 2 5 7 2
3 + + + = =
Poprawna odpowiedź: C.
2. Średnia byłaby równa:
18 111 18
9 6 8 2 5 7 2
3 + + + =
, więc zmalałaby o
3 1 18
) 9 10 (
6 − =
. Poprawna odpowiedź: B.
3. Ponieważ 3
c b a+ +
= 8 oraz 2
e
d + = 13, więc a + b + c = 24 oraz d + e = 26. Zatem:
a + b + c + d + e = 24 + 26 = 50 oraz
5 50 5+ + = +
+b c d e
a = 10.
Pierwsze zdanie jest fałszywe, drugie zdanie jest prawdziwe.
Poprawna odpowiedź: FP.
4. Sprzedano 70 + 25 + 80 + 75 = 250 płyt, z czego 80
250 = 32% to płyty sprzedane przez zespół 100żek. Ponieważ 32% to mniej niż 1
3, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.
10% z 250 to 25 i tyle właśnie płyt sprzedał zespół Plus-minus. Druga wypowiedź jest zatem prawdziwa.
Zespół -betki sprzedał o 5 płyt więcej niż -er-kwadrat, a to stanowi 5
70∙ 100% = 71
7% płyt sprzedanych przez -er-kwadrat. Trzecie zdanie jest fałszywe.
Poprawna odpowiedź: FPF.
5. Na pracę „Kwiatek” głosowało 120 osób, czyli 100% – (29% + 17% + 24%) = 30%
wszystkich osób. Wynika stąd, że w losowaniu wzięło udział 30
120 ∙ 100 = 400 osób.
a) Na pracę „Sen” głosowało 29% z 400, czyli 0,29 ∙ 400 = 116 osób.
b) 24% – 17% = 7%, 7% z 400 = 0,07 ∙ 400 = 28
Na pracę „Motor” oddano o 28 więcej głosów niż na pracę „Liliput”.
c) 100 głosów to 400
100 ∙ 100% = 25% wszystkich głosów.
Mniej niż 100 głosów oddano na prace „Liliput” (17%) i „Motor” (24%).
6. (1,9 + 2,3 + 3,0 + 1,6 + 2,6 + 2,3 + 3,5 + 2,7 + 2,2 + 2,9) : 10 = 25 : 10 = 2,5 Jeden karp ważył średnio 2,5 kg.
7. a) Średnia liczba świec sprzedawanych miesięcznie:
12 11 132 12
19 13 10 10 6 4 12 16 15 12 7
8+ + + + + + + + + + + = =
b) Sprzedaż była niższa od średniej w miesiącach: I, II, VII, VIII, IX, X, czyli przez 6 miesięcy.
c) 19−4=15
d) Liczba świec sprzedanych w poszczególnych kwartałach:
I: 8+7+12=27 II: 15+16+12=43 III: 4+6+10 =20 IV: 10+13+19=42
Najwięcej świec sprzedano w drugim kwartale.
8. s – średnia arytmetyczna liczb w początkowym zestawie 10s – suma liczb w początkowym zestawie
Średnia arytmetyczna liczb w końcowym zestawie:
( )
10 1 1 10 10
10
10 + = +
+ =
s s s
9. a) Wykres przechodzi przez punkt o pierwszej współrzędnej 16:45 i drugiej
współrzędnej 20 – odległość pociągu od Ptaszkowa o godzinie 16:45 była równa 20 km.
b) Odległość między Ptaszkowem a Piórkowem jest równa 60 km. O godzinie 15:45 pociąg znajdował się w odległości 50 km od Ptaszkowa, co oznacza, że jego odległość od Piórkowa była równa 60 – 50 = 10 km.
c) Przebyta droga: 50 km, czas: 1 h, średnia prędkość: 50 km
h .
10. a) Szukamy punktu wykresu, który ma drugą współrzędną 3 – jest to punkt (2, 3).
Na przejechanie 3 m Wojtuś potrzebował 2 s.
b) Szukamy punktu wykresu, który ma pierwszą współrzędną 4 – jest to punkt (4, 6).
Przez 4 s jazdy Wojtuś pokonał drogę 6 m.
c) s m 6
9 = 1,5 s
m. Wojtuś jechał ze średnią prędkością 1,5 s m.
11. a) Wykres przechodzi przez punkt (750, 4), czyli roztwór po dolaniu 750 g wody miał stężenie 4%.
b) Szukamy punktu wykresu, który ma drugą współrzędną 2 – jest to punkt (2000, 2), czyli stężenie roztworu spadło do 2% po dolaniu 2000 g = 2 kg wody.
c) Szukamy punktu wykresu, który ma drugą współrzędną równą 0,5 ∙ 10 = 5 – jest to punkt (500, 5), czyli stężenie roztworu zmniejszyło się dwukrotnie po dolaniu 500 g wody.
12. a) W trzecim meczu liczba zdobytych bramek była równa 0, a liczba straconych bramek była równa 1. Mecz zakończył się wynikiem 0:1.
b) Szukamy meczów, w których liczba zdobytych bramek była większa niż liczba straconych bramek. Były to mecze o numerach: 1, 2, 7, 8 i 9. Drużyna wygrała 5 meczów.
c) Szukamy meczów, w których liczba zdobytych bramek była równa liczbie straconych bramek. Były to mecze o numerach: 5 i 6. Remisem zakończyły się 2 mecze.
d) Drużyna zdobyła 1+2+1+3+2+2+1=12 bramek, straciła 10
1 1 3 1 2 1
1+ + + + + + = bramek.
e) Szukamy meczów, w których liczba zdobytych bramek i liczba straconych bramek była w sumie nie mniejsza niż 3. Były to mecze o numerach: 2, 6 i 7. Co najmniej 3 bramki padły w trzech meczach.
Zadania egzaminacyjne Zadanie 1.
Na poziomie I znalazło się 4% uczniów, na poziomach I i II zakończyło quiz 16% uczniów, poziomy I, II i III osiągnęło 32% uczniów. Asia zakończyła więc quiz na poziomie IV.
Powyżej poziomu IV były jeszcze poziomy V i VI, na których znalazło się w sumie 40% uczestników quizu.
Poprawna odpowiedź: A.
Zadanie 2.
Liczba krzeseł wyprodukowanych w 2016 roku stanowiła 350
250∙ 100% = 140% liczby krzeseł z roku 2015.
Poprawna odpowiedź: NB.
Zadanie 3.
Poziome fragmenty wykresu odpowiadają oczekiwaniu Mateusza na autobus, nie zmienia się wtedy odległość od domu (400 m). Odczytujemy z wykresu, że odległość od domu zaczęła maleć, kiedy minęło 8 minut od wyjścia. Mateusz osiąga ponownie odległość 400 m i zatrzymuje się na przystanku po 19 minutach od pierwszego wyjścia z domu.
Poprawna odpowiedź: A.
Zadanie 4.
Poziome fragmenty wykresu odpowiadają oczekiwaniu Mateusza na autobus, nie zmienia się wtedy odległość od domu (400 m).
Z wykresu odczytujemy, że w czasie ostatnich uwzględnionych 4 minut (czyli 1
15 godziny) autobus przejechał 3,6 km.
Zatem z taką prędkością w ciągu godziny przejechałby 15 3,6 = 54 (km).
Poprawna odpowiedź: PP.
Zadanie 5.
O godzinie 13:00 harcerze znaleźli się w odległości 6 km od obozowiska, a o godzinie 14:00 – w odległości 2 km, więc w ciągu pierwszej godziny pokonali 6 – 2 = 4 (km).
Zdanie B jest fałszywe.
Poprawna odpowiedź: B.
Zadanie 6.
Co najmniej 3 celne rzuty (czyli 6, 5, 4 lub 3 celne rzuty) wykonało 1 + 8 + 4 + 7 = 20 chłopców.
Poprawna odpowiedź: C.
Zadanie 7.
1 celny rzut wykonał 1 uczestnik turnieju. 2 celne rzuty wykonało w sumie 6 uczestników.
3 celne rzuty – 11 uczestników. 4 celne rzuty – 13 uczestników. 5 celnych rzutów – 14 uczestników.
6 celnych rzutów – 1 chłopiec i 2 dziewcząt, czyli 3 uczestników.
Poprawna odpowiedź: FP.
Zadanie 8.
Suma lat Ani i Pawła jest równa 2 ∙ 12 = 24, a suma lat Ani, Pawła i Kasi jest równa 24 + 6 = 30.
Średnia arytmetyczna wieku Kasi, Ani i Pawła jest równa 10
30 =3 (lat).
Poprawna odpowiedź: C.
Zadanie 9.
Odczytujemy z wykresu, że dwie gałki lodów z wafelkiem mają masę 50 g, a jedna gałka z wafelkiem ma masę 30 g, więc masa jednej gałki to 50 g – 30 g = 20 g.
Poprawna odpowiedź: B.
Zadanie 10.
Przez pewien czas jego odległość od B malała, potem, gdy szedł po łuku okręgu – była stała, a następnie zwiększała się, bo piechur oddalał się od punktu B.
Poprawna odpowiedź: A.
Zadanie 11.
A. Błąd w sporządzeniu diagramu polega na tym, że kategoria „15 lat” powinna być reprezentowana przez słupek wyższy niż słupek dla kategorii „14 lat”.
B. Błąd w sporządzeniu diagramu polega na tym, że kategorię „10 lat” tworzyło 5 osób, co stanowiło
20
5 ∙ 100% = 25% wszystkich uczestników obozu.
C. Błąd w sporządzeniu diagramu polega np. na tym, że kategoria „16 lat” powinna być reprezentowana przez słupek dłuższy niż słupek dla kategorii „10 lat”.
D. 100% 25% 20
5 = , 100% 15% 20
3 = , 100% 20% 20
4 = , 100% 40% 20
8 = . Diagram został sporządzony poprawnie.
Poprawna odpowiedź: D.
Zadanie 12.
Odczytujemy z wykresu, że po pomalowaniu 30 m2 ściany w pojemniku zostało 8 l farby.
Poprawna odpowiedź: A.
Zadanie 13.
Na początku w pojemniku było 20 l farby, a po pomalowaniu 10 m2 zostało w nim 16 l, więc zużyto 20 – 16 = 4 l farby.
Poprawna odpowiedź: A.
Zadanie 14.
Suma trzech pierwszych liczb jest równa a + b + c = 3 4 = 12.
Suma dwóch następnych liczb jest równa d + e = 2 2 = 4.
Suma pięciu liczb jest równa a + b + c + d + e = 4 + 12 = 16.
Średnia pięciu liczb jest równa 𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒
5 = 16 ∶ 5 = 3,2.
Zadanie 15.
Liczba płatnych SMS-ów: 8 + 5 + 13 + 9 + 10 = 45 Koszt wysłania SMS-ów: 45 · 16 gr = 720 gr = 7,20 zł
