36. To˙zsamo´ sci Maxwella. Wykorzystuj ac I zasad

Zadania z termodynamiki - kurs du˙zy (zestaw 7)

36. To˙zsamo´ sci Maxwella. Wykorzystuj ac I zasad

e termodynamiki:

dU = T dS − pdV

oraz definicje nast epuj

acych funkcji stanu:

(a) entalpii H = U + pV ,

(b) energii swobodnej F = U − T S, (c) entalpii swobodnej G = H − T S, udowodni´c to˙zsamo´sci Maxwella:

∂T

∂V

!

S

= − ∂p

∂S

!

V

,

∂T

∂p

!

S

= ∂V

∂S

!

p

,

∂S

∂V

!

T

= ∂p

∂T

!

V

,

∂S

∂p

!

T

= − ∂V

∂T

!

p

,

37. Korzystaj ac z relacji Maxwella pokaza´c, ˙ze

γ = c

/c

=

_∂p

∂V



S

_∂p

∂V



T

38. Gaz Van der Waalsa a parametry krytyczne. Punkt krytyczny substancji zdefiniowany jest warunkiem:

∂p

∂V

!

T

= 0 = ∂

p

∂V

!

T

w punkcie krytycznym.

Temu punktowi odpowiada ´sci´sle okre´slone ci´snienie, temperatura oraz g esto´s´c sub-

stancji: p

, T

i ρ

. Dla r´ownania Van der Waalsa



p + aρ

(1 − bρ) = RT, gdzie ρ = n V

wyrazi´c parametry krytyczne p

, T

i ρ

przez sta le a i b. Zapisa´c r´ownanie Van der Waalsa w zmiennych zredukowanych: π = p/p

, ω = ρ

/ρ i τ = T /T

. Wiedz ac,

˙ze dla azotu T

= 126 K oraz p

= 33.6 atm wyliczy´c warto´sci parametr´ow a i b dla azotu.

39. Proces Joule’a-Thomsona. Wykaza´c, ˙ze dla gazu rzeczywistego rozpr e˙zanie od

ci´snienia p

do p

w taki spos´ob, ˙ze entalpia H = const, mo˙ze powodowa´c och lodzenie gazu (metoda skraplania). Pokaza´c, ˙ze dla gazu doskona lego och lodzenie jest niemo˙zliwe.

Zadanie rozwi aza´c w nast

epuj

aczch krokach:

(a) Wyprowadzi´c podany na wyk ladzie wz´or na wsp´o lczynnik Joule’a-Thomsona ξ

:

ξ

≡ ∂T

∂p

!

H

= 1 C





T ∂V

∂T

!

p

− V





.

(b) Pokaza´c, ˙ze ξ

mo˙zna zapisa´c w innej r´ownowa˙znej postaci:

ξ

= − λ C

∂V

∂p

!

T

,

gdzie λ = T (∂p/∂T )

+ V (∂p/∂V )

. Z warunku stabilno´sci mechanicznej wynika, ˙ze pochodna (∂V /∂p)

jest zawsze ujemna, co prowadzi do wniosku,

˙ze znak λ pokrywa si e ze znakiem ξ

.

(c) Obliczy´c λ(V, T ) dla gazu doskona lego i gazu Van der Waalsa.

40. Krzywa inwersji. Znale´z´c r´ownanie oraz narysowa´c wykres krzywej inwersji w zjawisku Joule’a-Thomsona dla gazu van der Waalsa we wsp´o lrz ednych zredukowanych:

π = p/p

, τ = T /T

. Zaznaczy´c obszary ξ

> 0 i ξ

< 0 (wyt lumaczy´c wyb´or (!)). Wskaz´ owka: warunek λ(ω, τ ) = 0 zapisa´c w postaci λ(π, τ ) = 0; obszar λ > 0 z p laszczyzny τ -ω przenie´s´c na p laszczyuzn e π-ω, a nast

epnie τ -π.

41. Zak ladaj ac, ˙ze azot, wod´or i tlen spe lniaj

a r´ownanie Van der Waalsa poda´c w ja-

kich warunkach ci´snienia i temperatury gazy te mo˙zna ozi ebia´c w efekcie Joule’a-

Thomsona. Temperatury i ci´snienia krytyczne tych gaz´ow wynosz a odpowiednio:

126 K i 33.6 atm (azot), 33 K i 12.8 atm (wod´or) oraz 5.2 K i 2.25 atm (hel).

Rozwi azanie przedstawi´c sporz

adzaj

ac odpowiednie wykresy krzywych inwersji.

42. Naszkicowa´c na wykresie p − T krzyw a inwersji oraz linie sta lej entalpii dla gazu

Van der Waalsa. W oparciu o ten wykres wywnioskowa´c jaki warunek musi spe lnia´c

ci´snienie pocz atkowe gazu w do´swiadczeniu Joule’a-Thomsona aby osi

agn

a´c maksy-

malny spadek temperatury przy zadanym ci´snieniu ko´ ncowym oraz zadanej tempera-

turze pocz atkowej.