• Nie Znaleziono Wyników

Przedziaª losowy [θ, ¯θ] nazywamy przedziaªem ufno±ci

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Przedziaª losowy [θ, ¯θ] nazywamy przedziaªem ufno±ci"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Estymacja przedziaªowa warto±ci oczekiwanej  teoria Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu Pθ, θ ∈ Θ, oraz α ∈ (0, 1).

Denicja Estymatorem przedziaªowym parametru θ ∈ Θ na poziomie ufno±ci 1 − α nazywamy par¦ θ = θ(X1, . . . , Xn), ¯θ = ¯θ(X1, . . . , Xn)

, gdzie θ, ¯θ : Xn → R s¡ funkcjami mierzalnymi oraz

θ∈Θ P (θ ∈ [θ, ¯θ]) ≥ 1 − α.

Przedziaª losowy [θ, ¯θ] nazywamy przedziaªem ufno±ci. Liczb¦ 1 − α nazywamy tak»e wspóª- czynnikiem ufno±ci.

1. Przedziaªy ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej a na poziomie ufno±ci 1 − α dla rozkªadu normalnego N(a, σ2) gdy:

(a) parametr σ2 jest znany:

[a, ¯a] =



¯

x − z1−α/2 σ

√n, ¯x + z1−α/2 σ

√n

 , (b) parametr σ2 jest nieznany:

[a, ¯a] =



¯

x − t1−α/2 s

√n, ¯x + t1−α/2 s

√n

 ,

Uwaga. Je»eli n > 30, to Φ ≈ Ftn i w powy»szym wzorze na przedziaª ufno±ci t1−α/2 mo»na zast¡pi¢ przez z1−α/2.

2. Asymptotyczne przedziaªy ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej a na poziomie ufno±ci 1 − α dla dowolnego rozkªadu o niezerowej wariancji:

[a, ¯a] =



¯

x − z1−α/2

√n, ¯x + z1−α/2

√n

 oraz

[a, ¯a] =



¯

x − z1−α/2 s

√n, ¯x + z1−α/2 s

√n

 .

Oznaczenia:

s = r

1 n−1

n

P

i=1

(xi− ¯x)2, n ≥ 2,

ˆ s =

r

1 n

n

P

i=1

(xi− ¯x)2,

z1−α/2 = Φ−1 1 − α2

, gdzie Φ jest dystrybuant¡ rozkªadu normalnego N(0, 1), t1−α/2 = Ft−1n−1 1 − α2

, gdzie Ftn−1 jest dystrybuant¡ rozkªadu t-Studenta z n − 1 stopniami swobody (ozn. t(n − 1)).

(2)

Twierdzenie 1. Niech X1, . . . , Xn iid∼ N (µ, σ2). Wówczas

n = 1 n

n

X

i=1

Xi,

S2 = 1 n − 1

n

X

i=1

(Xi− ¯Xn)2 s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi oraz

√n

n− µ

σ ∼ N (0, 1),

√n

n− µ

S ∼ t(n − 1).

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

[r]

[r]

9.6 Skonstruowa¢ asymptotyczny przedziaª ufno±ci dla prawdopodobie«stwa suk- cesu θ w schemacie Bernoullego metod¡ stabilizacji

będzie ciągiem pa- rami niezależnych zmiennych losowych o

Zakªadaj¡c, »e dla danych w zadaniach 9-11 z listy 2 speªnione s¡ zaªo»enia modelu liniowego Gaussa-Markowa, oblicz nieobci¡»ony estymator wariancji skªadnika losowego

(2 pkt.) Zmierzono czas reakcji na sygnał wzrokowy u siedmiu kierowców przed oraz 15 minut po wypiciu stu gram wódki.. Zakładamy, że różnica w czasie reakcji ma rozkład normalny

W specjalnym studio mierzono czas reakcji na bodziec wzrokowy u n kierowców TIRów na chwilę przed oraz 15 minut po wypiciu 100 g wódki.. Na poziomie istotności α przetestuj