Przedziaª losowy [θ, ¯θ] nazywamy przedziaªem ufno±ci

Estymacja przedziaªowa warto±ci oczekiwanej  teoria Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu Pθ, θ ∈ Θ, oraz α ∈ (0, 1).

Denicja Estymatorem przedziaªowym parametru θ ∈ Θ na poziomie ufno±ci 1 − α nazywamy par¦ θ = θ(X1, . . . , X_n), ¯θ = ¯θ(X₁, . . . , X_n)

, gdzie θ, ¯θ : Xⁿ → R s¡ funkcjami mierzalnymi oraz

∀_θ∈Θ P (θ ∈ [θ, ¯θ]) ≥ 1 − α.

Przedziaª losowy [θ, ¯θ] nazywamy przedziaªem ufno±ci. Liczb¦ 1 − α nazywamy tak»e wspóª- czynnikiem ufno±ci.

1. Przedziaªy ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej a na poziomie ufno±ci 1 − α dla rozkªadu normalnego N(a, σ²) gdy:

(a) parametr σ² jest znany:

[a, ¯a] =



¯

x − z_1−α/2 σ

√n, ¯x + z_1−α/2 σ

√n

 , (b) parametr σ² jest nieznany:

[a, ¯a] =



¯

x − t_1−α/2 s

√n, ¯x + t_1−α/2 s

√n

 ,

Uwaga. Je»eli n > 30, to Φ ≈ Ftn i w powy»szym wzorze na przedziaª ufno±ci t_1−α/2 mo»na zast¡pi¢ przez z1−α/2.

2. Asymptotyczne przedziaªy ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej a na poziomie ufno±ci 1 − α dla dowolnego rozkªadu o niezerowej wariancji:

[a, ¯a] =



¯

x − z_1−α/2 sˆ

√n, ¯x + z_1−α/2 sˆ

√n

 oraz

[a, ¯a] =



¯

x − z_1−α/2 s

√n, ¯x + z_1−α/2 s

√n

 .

Oznaczenia:

s = r

1 n−1

n

P

i=1

(x_i− ¯x)², n ≥ 2,

ˆ s =

r

1 n

n

P

i=1

(x_i− ¯x)²,

z1−α/2 = Φ⁻¹ 1 − ^α₂

, gdzie Φ jest dystrybuant¡ rozkªadu normalnego N(0, 1), t_1−α/2 = F_t⁻¹_n−1 1 − ^α₂

, gdzie Ftn−1 jest dystrybuant¡ rozkªadu t-Studenta z n − 1 stopniami swobody (ozn. t(n − 1)).

Twierdzenie 1. Niech X1, . . . , X_n ^iid∼ N (µ, σ²). Wówczas

X¯_n = 1 n

n

X

i=1

X_i,

S² = 1 n − 1

n

X

i=1

(X_i− ¯X_n)² s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi oraz

√n

X¯n− µ

σ ∼ N (0, 1),

√n

X¯n− µ

S ∼ t(n − 1).