Przedziaª losowy [θ, ¯θ] nazywamy przedziaªem ufno±ci

Estymacja przedziaªowa warto±ci oczekiwanej  teoria Niech X1, . . . , X_n b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu Pθ, θ ∈ Θ, oraz α ∈ (0, 1).

Denicja Estymatorem przedziaªowym parametru θ ∈ Θ na poziomie ufno±ci 1 − α nazywamy par¦ θ = θ(X1, . . . , X_n), ¯θ = ¯θ(X₁, . . . , X_n)

, gdzie θ, ¯θ : Xⁿ → R s¡ funkcjami mierzalnymi oraz

∀_θ∈Θ P (θ ∈ [θ, ¯θ]) ≥ 1 − α.

Przedziaª losowy [θ, ¯θ] nazywamy przedziaªem ufno±ci. Liczb¦ 1 − α nazywamy tak»e wspóª- czynnikiem ufno±ci.

1. Przedziaªy ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej a na poziomie ufno±ci 1 − α dla rozkªadu normalnego N(a, σ²) gdy:

(a) parametr σ² jest znany:

[a, ¯a] =



¯

x − Φ⁻¹ 1 − α

2

 σ

√n, ¯x + Φ⁻¹ 1 − α

2

 σ

√n

 , (b) parametr σ² jest nieznany:

[a, ¯a] =



¯

x − F_t⁻¹_n−1 1 − α

2

 s

√n, ¯x + F_t⁻¹_n−1 1 −α

2

 s

√n

 ,

Uwaga. Je»eli n > 30, to Φ ≈ Ftn i w powy»szym wzorze na przedziaª ufno±ci F_t⁻¹_n−1 1 − ^α₂

mo»na zast¡pi¢ przez Φ⁻¹ 1 −^α₂
.

2. Asymptotyczne przedziaªy ufno±ci dla warto±ci oczekiwanej a na poziomie ufno±ci 1 − α dla dowolnego rozkªadu o niezerowej wariancji:

[a, ¯a] =



¯

x − Φ⁻¹ 1 −α

2

 sˆ

√n, ¯x + Φ⁻¹ 1 −α

2

 sˆ

√n

 oraz

[a, ¯a] =



¯ x − Φ⁻¹

 1 −α

2

 s

√n, ¯x + Φ⁻¹

 1 −α

2

 s

√n

 .

Oznaczenia:

s = r

1 n−1

n

P

i=1

(xi− ¯x)², n ≥ 2,

ˆ s =

r

1 n

n

P

i=1

(x_i − ¯x)²,

Φ⁻¹ 1 −^α₂

jest kwantylem rozkªadu normalnego N(0, 1) rz¦du 1 − ^α₂, F_t⁻¹_n−1 1 −^α₂

jest kwantylem rozkªadu t-Studenta z n − 1 stopniami swobody rz¦du 1 − ^α₂.