Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 10.

(1)

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 10.

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobie ´nstwa

(2)

Podstawy kombinatoryki: permutacje, wariacje, kombinacje

Co to jest ci ˛ag? -przypomnienie.

Niech X b ˛edzie zbiorem sko ´nczonym. Ci ˛agiem elementów ze zbioru X nazywamy funkcj ˛e okre´slon ˛a na dowolnym podzbiorze L zbioru liczb naturalnycho warto´sciach w X czyli ka˙zdej liczbie ze zbioru L przyporz ˛adkowany jest dokładnie jeden element zbioru X .

Dla podkre´slenia tego, ˙ze elementy ci ˛agu s ˛a uporz ˛adkowane ( bo s ˛a ponumerowane) nazywa si ˛e je wyrazami.

Je´sli funkcja okre´slaj ˛aca ci ˛ag jest ró˙znowarto´sciowa to wtedy wyrazy ci ˛agu s ˛a ró˙zne (nie powtarzaj ˛a si ˛e).

(3)

Rozró˙znienie -ci ˛ agi a podzbiory

Rozpatrzmy zbiór liter X = {a,b,c}. Oto wszystkie podzbiory dwuelementowe tego zbioru (pary nieuporz ˛adkowane)

{a,b} , {a,c} {b,c} a wszystkie ci ˛agi dwuwyrazowe elementów ze zbioru X (pary uporz ˛adkowane) to

(a,a) , (a,b) , (a,c) , (b,b) , (b,a) , (b,c) , (c,a) , (c,b) , (c,c) .

(4)

Wsród pyta ń, które mo˙zna zadać odno´snie ci ˛agów sko ńczonych wybierzmy dwa;

1. Ile jest wszystkich ci ˛agów p-wyrazowych o wyrazach ze zbioru m-elementowego? Czyli przyjmuj ˛ac oznaczenie, ˙ze znaczek]L oznacza liczebno´s´c zbioru L mamy

]L =p, ]X =m. (Uwaga:wyrazy ci ˛agu mog ˛a si ˛e powtarza´c)

Odpowied´z. Jest ich tyle ile jest wszystkich funkcji okre´slonych na zbiorze p-elementowym o warto´sciach w zbiorze m elementowym czyli

m^p =

p

z }| {

m·m· · . . .m gdy˙z pierwszy wyraz ci ˛agu mo˙zna wybra´c na m sposobów, drugi równie˙z na m sposobów i tak dalej na ka˙zdym spo´sród p

(5)

Wariacja bez powtórze ´n

2. Ile jest wszystkich ci ˛agów p wyrazowych ze zbioru m-elementowego gdy m p i takich, ˙ze wyrazy w ci ˛agu nie powtarzaj ˛a si ˛e?

Innymi słowy, ile jest funkcji ró˙znowarto´sciowych o dziedzinie

p-elementowej o warto´sciach ze zbioru m-elementowego. Ka˙zdy taki ci ˛ag nazywa si ˛e w kombinatoryce wariacj ˛a bez powtórze ´n.

Odpowied´z. Zbiór wszystkich ci ˛agów p wyrazowych i ró˙znowarto´sciowych ze zbioru m-elementowego (czyli wariacji bez powtórze ´n) ma

m· (m−1) · (m−2) · (m−3) · . . . (m− (p−1))ôzn.= V_m^p elementów, gdy˙z pierwszy wyraz ci ˛agu mo˙zna wybrać na m sposobów, ale drugi, skoro nie mog ˛a si ˛e powtarzać, ju˙z tylko na m−1 sposobów. Kolejny na m−2 sposobów i tak dalej p-ty wyraz mo˙ze być wybrany na m− (p−1)

(6)

Permutacje

W przypadku szczególnym gdy m=p, wariacj ˛e bez powtórze ´n nazywamy permutacj ˛ai wtedy

V_m^m =1·2· . . . (m−1)m^ozn.= m!

(7)

Przykłady

Ile jest wszystkich mo˙zliwych ci ˛agów zasad azotowych w 10 elementowym fragmencie ła ´ncucha RNA?

Odpowied´z. Zbiór zasad azotowych UACG jest czteroelementowy. Na ka˙zdym miejscu ła ´ncucha RNA mo˙ze by´c dowolna spo´sród czterech zasad, a wi ˛ec wszystkich mo˙zliwych jest tyle ile ci ˛agów 10-wyrazowych o warto´sciach ze zbioru czteroelementowego czyli 4¹⁰=1048576.

(8)

Ograniczmy si ˛e teraz do czteroelementowych fragmentów ła ´ncucha i zapytajmy ile jest 4-elementowych ła ´ncuchów, w których ˙zadne dwie zasady si ˛e nie powtarzaj ˛a. Jest ich oczywi´scie 1·2·3·4=4! =24.

(9)

Kombinacje

Kombinacja

k -elementow ˛a kombinacj ˛a ze zbioru n-elementowego nazywamy ka˙zdy k elementowy podzbiór tego zbioru. Liczb ˛e kombinacji k -elementowych ze zbioru n-elementowego , oznaczamy przez C_n^k.

Udowodnimy, ˙ze

C_n^k = (ⁿ_k)^ozn.= ⁿ! (n−k)!k!.

Symbol(ⁿ_k)to tzw. symbol Newtona, który czytamy ”n po k ”.

(10)

Dowód:

Spróbujmy najpierw znale´zć liczb ˛e wszystkich ci ˛agów k -wyrazowych o elementach ze zbioru n elementowego, nk , czyli liczb ˛e wszystkich wariacji k -wyrazowych ze zbioru n-elementowego. Pierwszy wyraz ci ˛agu mo˙zemy wybrać na n sposobów drugi ju˙z tylko na n−1 sposobów i tak k -ty wyraz na n− (k −1)sposobów. Teraz pozostaje uwzgl ˛ednić, ˙ze rozró˙zniali´smy ci ˛agi w których wyst ˛epuj ˛a te same elementy w ró˙znej kolejno´sci. Liczb ˛e wszystkich wariacji bez powtórze ń musimy zmniejszyć tyle razy ile jest permutacji k-wyrazowych. Wszystkich kombinacji jest zatem

n(n−1) · . . . (n− (k−1))

k! = ⁿ!

(n−k)!k!.

(11)

Słowem nazywa´c b ˛edziemy dowolny ci ˛ag liter (znaków) jakiego´s alfabetu.

Oto kilka pyta ´n, które mo˙zna postawi´c odno´snie liczby słów maj ˛acych okre´slone własno´sci.

1 Ile ró˙znych słów dziesi ˛ecioliterowych mo˙zna utworzy´c z dziesi ˛eciu ró˙znych liter tak aby litery nie powtarzały si ˛e w słowie?

2 Na ile sposobów mo˙zna wybra´c trójki (nie uporz ˛adkowane) niepowtarzaj ˛acych si ˛e liter spo´sród 10 znaków alfabetu?

3 Na ile sposobów mo˙zna wybra´c słowa trzyliterowe o

niepowtarzaj ˛acych si ˛e literach spo´sród 10 znaków alfabetu?

4 Ile słów trzyliterowych mo˙zna utworzy´c z 10 liter alfabetu?

(12)

W pierwszej chwili mo˙ze si ˛e wydawa´c, ˙ze trzy ostatnie pytania dotycz ˛a tego samego zagadnienia. Tak jednak nie jest. Spróbujmy wyrazi´c te pytania w j ˛ezyku matematyki. Pierwsze pytanie dotyczy w istocie liczby wszystkich ci ˛agów 10-wyrazowych i ró˙znowarto´sciowych lub u˙zywaj ˛ac specyficznej terminologii kombinatorycznej liczby wszystkich permutacji 10 wyrazowych. Jest ich

V₁₀¹⁰=1·2·3· . . .7·8·9· ·10=10! =3 628800.

(13)

W drugim pytaniu chodzi o liczb ˛e wszystkich podzbiorów 3-elementowych zbioru 10-elementowego bez ustalenia jakiegokolwiek porz ˛adku ich wyst ˛epowania.

W naszym przypadku C₁₀³ :=¹⁰₃ = ¹⁰!

7!3! = ¹·2·3· . . .7·8·9· ·10

(1·2·3· . . .7) ·2·3 = ⁸·9·10

6 =4·3·10=120. Powy˙zsze rozumowanie zawiera odpowied´z na pytanie trzecie. Słów

trzyliterowych o niepowtarzaj ˛acych si ˛e literach jest tyle ile jest wariacji trzywyrazowych bez powtórze ´n czyli V₃¹⁰=10·9·8=720.

W pytaniu czwartym chodzi za´s o liczb ˛e wszystkich ci ˛agów

trzywyrazowych o wyrazach ze zbioru 10-elementowego (litery mog ˛a si ˛e powtarza´c) czyli liczb ˛e wszystkich funkcji okre´slonych na zbiorze

trzyelementowym w zbiór 10-elementowy. Jest ich tyle ile jest wszystkich

(14)

Pary alleli na chromosomach

Przyjmijmy, ˙ze w pewnej populacji organizmów diploidalnych wyst ˛epuje n odmian danego genu czyli alleli. Najcz ˛e´sciej w szkolnych zadaniach spotykamy si ˛e z przypadkiem dwóch alleli. W ogólno´sci alleli mo˙ze by´c wi ˛ecej, jest tak na przykład u grzybów podstawczaków w genach odpowiedzialnych za rozmna˙zanie. Pojawia si ˛e pytanie

Ile jest par alleli jednego genu ulokowanych w odpowiadaj ˛acych sobie miejscach na chromosomach homologicznych, je ´sli wszystkich alleli danego genu jest n?

(15)

Odpowied´z. Zwróćmy uwag ˛e, ˙ze z punktu widzenia klasycznych praw genetyki kolejno´sć wyst ˛epowania alleli w parze nie ma znaczenia (podobnie do liczby oczek na ko´sciach domina). Wszystkich ci ˛agów dwuwyrazowych (par) o wyrazach ze zbioru n elementowego jest n². I taka byłaby odpowied´z je´sli rozró˙znialiby´smy pary typu (A,a) i (a,A). By wyeliminować te przypadki odejmiemy najpierw od n²liczb ˛e wszystkich par maj ˛acych te same alle na obu miejscach np. (A,A). Jest ich oczywi´scie n. Poniewa˙z ka˙zde dwie pary ró˙zni ˛ace si ˛e tylko kolejno´sci ˛a traktujemy jako jedn ˛a to jest ichⁿ²₂⁻ⁿ. Do tej liczby trzeba tylko dodać pary maj ˛ace te same alle na obu miejscach. Ostateczn ˛a odpowiedzi ˛a jest zatem

n²−n

2 +n= ⁿ(n+1)

2 =ⁿ⁺¹₂ .

W znanym przypadku dwóch alleli mamy trzy ”genotypy”: AA, Aa, aa. Dla

(16)

Przewidywalne/nieprzewidywalne

Co to jest rachunek prawdopodobie ´nstwa?

Rachunek prawdopodobie ´nstwa to dziedzina matematyki zajmuj ˛aca si ˛e badaniem modeli zjawisk i procesów o przebiegu nie daj ˛acym si ˛e

przewidzie´c z całkowit ˛a pewno´sci ˛a. Takie zjawiska nazywamy zjawiskami losowymi. Nieprzewidywalny jest wynik rzutu monet ˛a lub ko´sci ˛a, wynik meczu piłkarskiego, znalezienie wadliwej ˙zarówki w´sród nowo

wyprodukowanych, wynik pomiaru wysoko´sci przypadkowo wybranego studenta a tak˙ze wyst ˛apienie mutacji genetycznej.

Rzut monet ˛a symetryczn ˛a

W pustym pokoju podrzucamy w gór ˛e symetryczn ˛a monet ˛e. Zanim moneta upadnie wyra˙zamy dwie opinie;

1) moneta spadnie na podłog ˛e

(17)

Chc ˛ac mimo wszystko znale´z´c jak ˛a´s reguł ˛e opisuj ˛ac ˛a wyniki rzutu monet ˛a i chc ˛ac uwolni´c si ˛e od konsekwencji oddziaływania wielkiej liczby

czynników wpływaj ˛acych na przebieg ka˙zdego rzutu z osobna nale˙zy wykonać wielk ˛a liczb ˛e powtórze ń i przeformułować s ˛ad 1), który teraz brzmiałby nast ˛epuj ˛aco

1’) W trakcie 1000 rzutów t ˛a sam ˛a monet ˛a w tych samych warunkach liczba reszek które wypadn ˛a mie´sci si ˛e w przedziale [490,510].

Rachunek prawdopodobie ´nstwa umo˙zliwia okre ´slenie stopnia pewno ´sci z jakim mo˙zna uzna ´c, ˙ze s ˛ad 1’) przewiduje rezultat konkretnej serii rzutów.

(18)

Odpowiednikiem wyrzucenia reszki b ˛ad´z orła mo˙ze być wyst ˛apienie b ˛ad´z niewyst ˛apienie w ci ˛agu tysi ˛aca pokole ń, mutacji genetycznej w ustalonej cz ˛e´sci ła ńcucha DNA, w komórce generatywnej jakiego´s organizmu.

Wyst ˛apienie mutacji w ci ˛agu kolejnego miliona lat to jakby kolejny rzut monet ˛a itd.

Ró˙znica pomi ˛edzy tym przykładem i seri ˛a rzutów monet ˛a polega na tym,

˙ze w odró˙znieniu od tego ostatniego nie mo˙zemy powtarzać wielokrotnie przebiegów ewolucji aby oszacować prawdopodobie ństwo pojawienia si ˛e mutacji.

(19)

Trzy powody dla których biolog winien zna ´c podstawy rachunku prawdopodobie ´nstwa:

1 Podstawowym ´zródłem przypadkowej zmienno´sci w populacjach

organizmów dwupłciowych s ˛a dwa procesy towarzysz ˛ace mejozie, w trakcie pierwszego z nich nast ˛epuje wymiana cz ˛e´sci chromatyd chromosomów homologicznych pochodz ˛acych od obojga rodziców (crossing-over), w drugim dochodzi do losowego rozchodzenie si ˛e chromatyd do biegunów komórki. Oba procesy s ˛a od siebie niezale˙zne a ich rezultat nie jest przewidywalny o czym przekona´c mo˙ze si ˛e ka˙zdy kto ma rodze ´nstwo pochodz ˛ace od tej samej pary rodzicielskiej.

2 Drugim czynnikiem powoduj ˛acym przypadkow ˛a zmienno´s´c (a tak˙ze specjacj ˛e) jest wyst ˛epowanie mutacji genetycznych. Zarówno miejsce w genomie jaki moment w którym wyst ˛api, s ˛a zjawiskami losowymi.

3 Powy˙zsze czynniki losowe wydaj ˛a si ˛e by´c immanentn ˛a cech ˛a procesów naturalnych. Innej natury czynnikiem losowym, nieprzewidywalnym, jest

(20)

Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych

W ka˙zdym z przytoczonych wy˙zej przykładów zjawisk losowych potrafimy sporz ˛adzić list ˛e wszystkich mo˙zliwych sytuacji, które mog ˛a si ˛e pojawić w taki sposób by ka˙zda z nich wykluczała pozostałe. Ka˙zda taka sytuacja nazywa si ˛e zdarzeniem elementarnym. Jest to poj ˛ecie pierwotne rachunku prawdopodobie ństwa tzn. nie definiuje si ˛e go w j ˛ezyku teorii, której dotyczy.

Wszystkie zdarzenia elementarne dotycz ˛ace wyników danego

do´swiadczenia losowego tworz ˛a zbiór zdarze ń elementarnych.Je´sli zbiór zdarze ń elementarnych jest zbiorem sko ńczonym to zdarzeniem mo˙ze być dowolny podzbiór zbioru zdarze ń elementarnych, a w przypadku gdy zbiór zdarze ń elementarnych jest zbiorem niesko ńczonym, trzeba wprowadzić dodatkowe warunki ograniczaj ˛ace, które musi spełniać podzbiór b ˛ed ˛acy

(21)

Przykłady przestrzeni zdarze ´n

dla do´swiadczenia polegaj ˛acego na jednokrotnym rzucie monet ˛a zbiór zdarze ´n elementarnych jest dwuelementowy

Ω₁ = {0,R} gdzie 0 reprezentuje wyrzucenie orła a R reszki.

dla do´swiadczenia polegaj ˛acego na dwukrotnym rzucie monet ˛a zbiór zdarze ´n elementarnych jest czteroelementowy i składa si ˛e z

wszystkich mo˙zliwych serii wyników

Ω₂ = {(0,R) , (0,0) , (R,R) , (R,0)} ,

w przypadku pojedy ´nczego rzutu ko´sci ˛a zbiór zdarze ´n elementarnych

(22)

Wszystkie operacje, które znamy z rachunku zbiorów maj ˛a swoje odpowiedniki w rachunku zdarze ´n.

Dla przykładu je´sliΩjest zbiorem zdarze ´n elementarnych i A ⊂ Ωto zbiór A¯ = Ω \A nazywamy zdarzeniem przeciwnym. Je´sli zachodzi zarówno zdarzenie A jaki zdarzenie B to takie zdarzenie nazywa si ˛e, podobnie jak w rachunku zbiorów, iloczynem (cz ˛e´sci ˛a wspóln ˛a) zdarze ´n A∩B i.t.d. W przypadku dwukrotnego rzutu monet ˛a je´sli przez A oznaczymy zdarzenie polegaj ˛ace na wyrzuceniu orła w pierwszym rzucie a przez B zdarzenie polegaj ˛ace na wyrzuceniu orła w drugim rzucie to zdarzenie polegaj ˛ace na wyrzuceniu orła w obu rzutach to

A ∩B = {(0,R) , (0,0)} ∩ {(0,0) , (R,0)} = {(0,0)} .

(23)

Prawdopodobie ´nstwo a cz ˛esto´s´c

Poj ˛ecie prawdopodobie ństwa jest uogólnieniem poj ˛ecia cz ˛esto´sci. Je´sli przy n-krotnym powtórzeniu danego do´swiadczenia zdarzenie A zachodzi n_A razy to liczb ˛e c_A =n_A/n nazywamy cz ˛esto ´sci ˛a wyst ˛epowania zdarzenia A . Rozwa˙zmy dla przykładu sekwencj ˛e zasad nukleinowych w ła ńcuchu DNA. Przypomnijmy, ˙ze ze wzgl ˛edu na podobie ństwo budowy cz ˛asteczek wyró˙znia si ˛e puryny: adenin ˛e ozn. A i guanin ˛e ozn. G oraz pyrymidyny cytozyn ˛e ozn. C i tymin ˛e ozn. T. Zasady A i T oraz G i C tworz ˛a pary komplementarne. W 12-wyrazowej sekwencji zasad

AGCTGGCGACTA

cz ˛esto´sć wyst ˛epowania adeniny A wynosi ¹₄ , cz ˛esto´sć wyst ˛epowania guaniny G wynosi ¹, a cz ˛esto´sć wyst ˛epowania puryn wynosi ¹ +¹ = ⁷ .

(24)

Aksjomaty rachunku prawdopodobie ´nstwa

Przyjmuj ˛ac aksjomaty sformułowane przez Andrieja Kołmogorowa (1896-1945) mo˙zna uwolni´c si ˛e od ´zródłowego poj ˛ecia cz ˛esto´sci.

NiechΩb ˛edzie przestrzeni ˛a zdarze ´n elementarnych.

Prawdopodobie ´nstwo zdarzenia A oznaczamy przez P(A).

1 Dla dowolnego zdarzenia A ⊂ Ω , 0¬P(A) ¬1.

2 P(Ω) =1

3 Dla ka˙zdej pary rozł ˛acznych zdarze ´n A i B P(A∪B) =P(A) +P(B) .

Drugi aksjomat mówi, ˙ze zaj´scie którego´s ze zdarze ´n spo´sród wszystkich mo˙zliwych jest pewne tzn. ˙ze zbiórΩuwzgl ˛ednia wszystkie mo˙zliwe

(25)

W przypadku rzutu monet ˛a spadaj ˛ac ˛a na płask ˛a poziom ˛a powierzchni ˛e s ˛a tylko dwie mo˙zliwo´sci i po wykonaniu rzutu na pewno która´s z nich si ˛e zrealizuje czyli prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze wypadnie orzeł lub reszka równe jest 1. Z aksjomatów 2 i 3 wynika, ˙ze dla dowolnego zdarzenia A ⊂ Ω

P(A) +P(Ω \A) =1. (1)

A wi ˛ec jest pewne, ˙ze zdarzy si ˛e A lub zdarzy si ˛e zdarzenie przeciwne Ω \A.

W pełnej matematycznej teorii prawdopodobie ństwa uwzgl ˛edniaj ˛acej przypadek gdy zbiór Ω jest zbiorem niesko ńczonym np. zbiorem liczb rzeczywistych, ostatni aksjomat jest niewystarczaj ˛acy i rozszerza si ˛e go tak˙ze na niesko ńczone (przeliczalne) sumy zdarze ń parami rozł ˛acznych. Konsekwencji tego nie b ˛edziemy dalej rozwa˙zać ograniczaj ˛ac si ˛e na razie do przypadku

prawdopodobie ´nstwa dyskretnego tzn. sytuacji gdy zbiór Ω ma sko ´nczenie

(26)

Trzeba podkre´slić, ˙ze prawdopodobie ństwo jest funkcj ˛a okre´slon ˛a na zbiorze zdarze ń, czyli podzbiorów zbioruΩi z tego powodu, bez

wcze´sniejszego ustalenia konwencji notacyjnej, zapis P(ω)dla okre´slenia prawdopodobie ´nstwa zdarzenia elementarnegoω ∈ Ωjest niepoprawny.

Powinno zapisa´c si ˛e P({ω})

(27)

W danym zbiorze zdarze ń elementarnych prawdopodobie ństwo mo˙zna wprowadzić na wiele ró˙znych sposobów byle spełnione były aksjomaty.

Najprostsza sytuacja jest wtedy, gdy zdarzenia elementarne s ˛a jednakowo prawdopodobne. Rozpatrzmy n-elementow ˛a przestrze ´n zdarze ´n

elementarnych

Ω = {ω₁, ω₂, . . . , ω_n} Wtedy dla ka˙zdego i ∈ {1, . . .n}mamy

P({ω_i}) = ¹ n.

Konsekwentnie je´sli jakie´s zdarzenie A ⊂ Ωma m elementów to P(A) = ^m

n .

W dwuelementowym zbiorze zdarze ń elementarnychΩ_0Rôzn.= {0,R} mo˙zemy zadać prawdopodobie ństwo P₁przyjmuj ˛ac, ˙ze zdarzenia elementarne s ˛a jednakowo prawdopodobne

(28)

lub przyj ˛a´c, ˙ze

P₂({0}) =0.499, P₂({R}) =0.501.

Przestrze ´n probabilistyczna(Ω_0R,P₁)jest modelem probabilistycznym dla do´swiadczenia losowego polegaj ˛acego na jednokrotnym rzucie monet ˛a idealnie symetryczn ˛a.

Czy to jest dobry model przekona´c mo˙zna si ˛e tylko wykonuj ˛ac do´swiadczenia w postaci długiej serii powtórze ´n rzutu monet ˛a w tych samych warunkach.

Matematyczna teoria prawdopodobie ´nstwa nie zajmuje si ˛e w zasadzie tym czy dany model probabilistyczny dobrze opisuje przebieg konkretnego

do´swiadczenia. Dostarcza jedynie ogólnej teorii daj ˛acej podstawy do prowadzenia takich bada ´n i daje tak˙ze podstawy do bada ´n statystycznych.

Jednym z celów statystki jest oszacowanie na podstawie danych empirycznych prawdopodobie ´nstw ró˙znych zjawisk. Tak otrzymane prawdopodobie ´nstwa konkretyzuj ˛a model probabilistyczny. Po przeprowadzeniu dostatecznie wielu

(29)

1. Zadanie do zrobienia na zaj ˛eciach

1 Rozwa˙zmy zbiór zdarze ń elementarnychΩmaj ˛acy n elementów. Ile jest zatem wszystkich mo˙zliwych zdarze ń. Uzasadnić, ˙ze jest ich tyle ile jest wszystkich funkcji ze zbioru n-elementowego w zbiór

dwuelementowy czyli ?

2 Korzystaj ˛ac z powy˙zszego uzasadni´c, ˙ze

2ⁿ =

n

X

k =0

(ⁿ_k) .

(30)

2. Zadanie do zrobienia na zaj ˛eciach

Cztery mał˙ze ństwa chcemy usadzić na o´smiu krzesłach stoj ˛acych w szeregu. Na ile sposobów mo˙zna to zrobić,

1 nie bacz ˛ac kto koło kogo siedzi,

2 tak aby mał˙zonkowie siedzieli obok siebie,

3 tak aby m ˛e˙zowie siedzieli razem w jednej grupie obok siebie, a ˙zony w drugiej,

4 tak aby ˙zona siedziała obok swojego m ˛e˙za i jakiej´s innej ˙zony.