1 WY ˙ZSZA SZKO LA EKOLOGII I ZARZA¸ DZANIA
ZADANIA ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ZPM I
CZE¸ ´S ˙C 1. PRZEDZIA LY UFNO´SCI.
1. Wytrzyma lo´s˙c pewnego materia lu budowlanego ma rozk lad normalny. W celu oszacowania nieznanej wytrzyma lo´sci tego materia lu dokonano pomiar´ow wytrzyma lo´sci pi¸eciu niezale˙znie wylosowanych sztuk tego materia lu. Wyniki pomiar´ow: 20.4, 19.6, 22.1, 20.8, 21.1. Na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.99, znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla ´sredniej wytrzyma lo´sci materia lu.
2. Dokonano n=100 pomiar´ow ci´snienia wody na ostatnim pi¸etrze w bloku i okaza lo si¸e, ˙ze x = 2.21, s2 = 4.41. Znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla ´sredniej warto´sci ci´snienia wody na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.99.
3. Dokonano 5 pomiar´ow g l¸eboko´sci dna morskiego. Wyniki pomiar´ow: 20.4, 19.6, 21.0, 21.2, 19.8.
Przyjmujemy, ˙ze b l¸ad pomiaru ma rozk lad normalny. Na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.9 znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla ´sredniej g l¸eboko´sci.
4. Znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla wariancji pomiaru pewnym przyrz¸adem je´sli otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki pomiar´ow: 9.01, 9.00, 9.02, 8.99, 8.98, 9.00, 9.00, 9.01, 8.99, 9.00. Poziom ufno´sci 1 − α = 0.9.
Zak ladamy, ˙ze wyniki pomiar´ow maj¸a rozk lad normalny.
5. W celu sprawdzenia dok ladno´sci pomiar´ow za pomoc¸a pewnego przyrz¸adu dokonano 50 pomiar´ow i otrzymano s2 = 0.00068. Zak ladaj¸ac, ˙ze b l¸edy pomiar´ow maj¸a rozk lad normalny o nieznanym σ, na poziomie ufno´sci 0.95 znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla odchylenia standardowego σ.
6. W celu zbadania trwa lo´sci pewnego narz¸edzia wylosowano z bie˙z¸acej produkcji 100 sztuk tych narz¸edzi. Otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki badania trwa lo´sci: trwa lo´sc 0 − 2 (godz.) : 10 narz¸edzi;
trwa lo´sc 2 − 4 : 20 narz¸edzi; trwa lo´sc 4 − 6 : 40 narz¸edzi; trwa lo´sc 6 − 8 : 20 narz¸edzi; trwa lo´sc 8 − 10 : 10 narz¸edzi. Przy wsp´o lczynniku ufno´sci 1 − α = 0.9 znale´zc przedzia l ufno´sci dla ´sredniej trwa lo´sci urz¸adzenia.
7. Wykonujemy pomiary grubo´sci p lytki metalowej. Jak du˙z¸a liczb¸e pomiar´ow trzeba przeprowadzi˙c, aby na poziomie ufno´sci 0.95 maksymalny b l¸ad oceny nie przekracza l 0.02mm, przy czym zak ladamy,
˙ze odchylenie standardowe b l¸ed´ow pomiar´ow σ = 0.1mm.
8. O´srodek badania opinii publicznej zapyta l 200 losowo wybranych os´ob czy kupuj¸a wyroby drobiarskie firmy ”LIS i KOSTKA”. 88 os´ob odpowiedzia lo twierdz¸aco. Niech p oznacza prawdopodobie´nstwo,
˙ze losowo wybrana osoba kupuje wyroby tej firmy. Na poziomie ufno´sci 1−α = 0.95 znale˙z˙c przedzia l ufno´sci dla nieznanego prawdopodobie´nstwa p.
9. Do kurnika wpada lis, wybiera losowo (przy pomocy maszyny losuj¸acej) 120 kur i dokonuje w´sr´od nich ”przegl¸adu przydatno´sci do spo˙zycia” (wadliwo´sci), w wyniku kt´orego 17 spo´sr´od wylosowanych kur okazuje si¸e by˙c nieprzydatnymi do spo˙zycia (wadliwymi). Na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.95 znale´z˙c przedzia l ufno´sci dla nieznanej ”wadliwo´sci” ca lej populacji kur w kurniku.
10. W ci¸agu 100 dni notowano liczb¸e awarii pewnej sieci wodoci¸agowej. Otrzymano nast¸epuj¸ace wyniki:
0 awarii - 15 dni, 1 awaria - 20 dni, 2 awarie - 30 dni, 3 awarie - 20 dni, 4 awarie - 15 dni, Znale´z˙c przedzia l ufno´sci na poziomie ufno´sci 1 − α = 0.95 dla nieznanej ´sredniej liczby awarii wyst¸epuj¸acych jednego dnia. Awarie wyst¸epuj¸a niezale˙znie od siebie.
11. ´Srednia frekwencja widz´ow w kinie na seansie filmowym w jednym z warszawskich kin ma rozk lad N(m, 40). Na podstawie obserwacji liczby widz´ow na 25 losowo wybranych seansach filmowych oszacowano przedzia l liczbowy (184; 216) dla nieznanej ´sredniej frekwencji na wszystkich seansach.
a) Jaki poziom wsp´o lczynnika ufno´sci przyj¸eto przy oszacowywaniu ? b) Ile wynosi la ´srednia liczba widz´ow w zbadanej pr´obie 25 seans´ow kinowych ?
ODPOWIEDZI:
1) m ∈ (18.91; 22.69), 2) m ∈ (1.67; 2.75), 3) m(∈ 19.73; 21.07)4) σ2 ∈ (10·0.0001216.919 ;10·0.000123.325 ), 5)σ ∈ 11) a) 1 − α = 0.9545, b) x = 200
(0.022; 0.033), 6) m ∈ (4.64; 5.36), 7) n ≥ 96, 8) p ∈ (0.37; 0.51), 9) n ≥ 9466, 10) m ∈ (1.724; 2.276),
Przykładowe rozwiązania zadań Zadanie 1.
Szacujemy teoretyczną średnią wytrzymałość materiału (dla całej populacji), czyli wartość oczekiwaną m rozkładu badanej cechy (wytrzymałości materiału).
Badana cecha ma rozkład normalny. Wariancja teroretyczna σ nie jest znana.
Zatem wybieramy Model 2.
Podstawiamy do następującego wzoru P (x − t(α, n − 1) s
√n − 1 < m < x + t(α, n − 1) s
√n − 1) = 1 − α
Zauważmy, że przedział jest zbudowany tak, że to samo co jest odejmowane od średniej, żeby otrzymać początek przedziału, to samo jest dodawane do średniej, żeby otrzymać koniec przedziału.
Zatem wystarczy obliczyć średnią x oraz wartość wyrażenia t(α, n − 1)√n−1s , które potem odejmujemy od średniej, żeby otrzymać poczatek przdziału i dodajemy do średniej, żeby otrzymać koniec tego przedziału.
Obliczamy :
1. średnią z próby: x = 1045 = 20.8.
2. odchylenie standardowe z próby: s = √
s2 = q3.385 = √
0.68 = 0.82 (wyniki zaokrąglamy do dwóch cyfr po przecinku)
3. Z tablic wartości krytycznych rozkładu t-Studenta (Tablice 2 - tablica 5) odczytujemy t(α, n − 1) = t(0.01, 4) = 4.60 (wartość na przecięciu wiersza oznaczone 4 i kolumny oznaczonej 0.01)
Podstawiamy obliczone wartości (uwzględniając, że liczność próby n = 5) do wzoru t(α, n − 1)√n−1s i otrzymujemy t(α, n − 1)√n−1s = 4.60√0.825−1 = 1.89
Odejmujemy i dodajemy otrzymaną wartość wyrażenia od średniej i otrzymujemy ostateczną odpowiedź P (20.8 − 1.89 < m < 20.8 + 1.89) = 0.99
i ostatecznie
P (18.91 < m < 22.69) = 0.99
Zatem uzyskaliśmy informację, że z prawdopodobieństwem 0.99 teoretyczna średnia wytrzymałość tego materiału należy do przedziału od 18.91 do 22.69 (można też powiedzieć, że wynosi 20.8+−1.89.
Zadanie 4
Szacujemy teoretyczną wariancję σ2 wyniku pomiaru.
Badana cecha ma rozkład normalny.
Licznośc próby n = 10 < 50.
Zatem wybieramy Model 4.
Podstawiamy do następującego wzoru
P nS2
χ2(α2, n − 1) < σ2 < nS2 χ2(1 −α2, n − 1)
!
= 1 − α Obliczamy:
1. Wariancję z próby:
w tym celu wpierw obliczamy średnią z próby, która wynosi x = 9
i otrzymujemy s2 = 0.001210 = 0.00012 (ns2 = 10 · 0.00012 = 0.0012)
2. Z tablic wartości krytycznych rozkładu chi kwadrat (tablica 4) odczytujemy
χ2(α2, n − 1) = χ2(0.05, 9) = 16.92 (wartość na przecięciu wiersza oznaczonego 9 i kolumny oznaczonej 0.05)
χ2(1 −α2, n − 1) = χ2(0.95, 9) = 3.32 (wartość na przecięciu wiersza oznaczonego 9 i kolumny oznaczonej 0.95)
Podstawiamy do wzoru na przedział ufności i mamy:
P (0.0012
16.92 < σ2 < 0.0012
3.32 ) = 0.9 i ostatecznie
P (0.00007 < σ2 < 0.00036) = 0.9
Zatem z prawdopodobienstwem 0.9 rzeczywista teoretyczna wartość wariancji wyniku pomiaru należy do przedziału od 0.00007 do 0.00036.
Zadanie 7
Badamy cechę mierzalną (grubość płytki - wyrażoną w mm)
Należy rozwiązać zagadnienie minimalnej liczności proby przy szacowaniu wartości oczekiwanej m wy- niku pomiaru, czyli rzeczywistej wielkości mierzonej.
Podstawiamy do wzoru
n
u1−α
2 · σ
∆
2
Z treści zadania σ = 0.1, ∆ = 0.02.
Z tablicy 3 odczytujemy potrzebny kwantyl rozkładu N (0, 1):
1 −α2 = 0.975 i u1−α
2 = u0.975 =?
Ponieważ nie ma kwantyla takiego rzędu w tablicy 3 to odczytujemy najbliższy znany kwantyl rzędu wyższego
u0.98= 2.05(wartośc na przecięciu wiersza 0.9 -pierwsza cyfra po przecinku rzędu - i kolumny oznaczonej 8 - druga cyfra po przecinku)
Podstawiamy do wzoru:
n
2.05 · 0.1 0.02
2
= (10.25)2 = 105.06
Zaokrąglamy otrzymany wynik do najmniejszej większej liczby całkowitej, czyli ”w górę” i otrzymujemy minimalną potrzebną liczność próby aby spełnione były warunki zadania równą 106.
Zadanie 9
Rozważania cecha jest zerojedynkowa (0=kura przydatna, 1 =kura nieprzydatna (wadliwa)) Zatem szacujemy wskaźnik struktury p równy odsetkowi kur wadliwych w całej populacji.
Podstawiamy do wzoru na przedział ufności dla wskaźnika struktury:
P
Zn
n − u1−α2
sZn
n (1 −Znn)
n < p < Zn
n + u1−α2
sZn
n (1 − Znn n
= 1 − α
Mamy licznośc próby n = 120, Zn = 17=liczba wadliwych w próbie, czyli Znn = 12017 = 0.14
Zauważmy, że to samo wyrażenie ktore jest odejmowane na początku od wskaźnika struktury w próbie
Zn
n , na końcu przedziału jest dodawane.
Zatem wystarczy policzyć wartość tego wyrażenia
u1−α
2
sZn
n (1 − Znn) n Mamy u1−α
2 = u0.975 = 2.05 (jak w poprzednim zadaniu) i otrzymujemy
u1−α
2
sZn
n (1 −Znn)
n = 2.05√
0.001 = 0.06 Zatem ostatecznie, podstawiająć do wzoru na przedział ufności dostajemy:
P (0.14 − 0.06 < p < 0.14 + 0.06) = 0.95
P (0.06 < p < 0.20) = 0.95
i odpowiedź można sformułować następująco:
odsetek kur wadliwych w całej populacji jest pomiędzy 0.08 a 0.20.
ALE ODPOWIEDŹ JEST INNA
Odpowiedź jest do tego zadania (poprzedniego) ale przeformułowanego: Pytamy jak liczna powinna być próba aby promień przedziału ufności ∆ był równy nie 0.06 a 0.01.
Bierzemy jako przypuszczalną wartośc wskaźnika struktury p0 = Znn = 12017 = 0.14
i podstawiając do wzoru a minimalną licznośc próby przy szacowaniu wskaźnika struktury p otrzymu- jemy :
n (u1−α
2)2· p0· (1 − p0)
∆2 = (2.05)2· 0.14 · 0.86
(0.01)2 = 5059.81 czyli minimalna liczność próby wynosi 5060.
