Zadania do wyk ladu ,,Wnioskowanie statystyczne”
dla IV roku matematyki, zastosowania rach, prob i stat. r.a. 2010/2011 Lista nr 5
1. W urnie znajduje sie‘10 kul, w tym θ kul jest niebieskich, a pozosta le sa‘bia le i czerwone. Testujemy hipoteze
‘H : θ = 3 przy alternatywie K : θ = 4 na podstawie koloru trzech wylosowanych kul i odrzucamy H, gdy wszystkie 3 wylosowane kule sa
‘niebieskie. Obliczy´c prawdopodobie´nstwa b le
‘d´ow pierwszego i drugiego rodzaju zak ladaja‘c, ˙ze a) losowanie odby lo sie‘bez zwracania, b) losowanie by lo ze zwracaniem.
2. Na podstawie pr´oby X = (X1, X2, . . . , X25)0 z rozk ladu normalnego N (m, 4) testujemy hipoteze H : m ≤ 10 przy alternatywie K : m > 10. Niech α = 0.025 be ‘
‘dzie ustalonym poziomem istotno´sci, a test φ(X) = 1, gdy X > c i φ(X) = 0 w przeciwnym wypadku. a) Wyznaczy´c sta la‘c. b) Znale´z´c moc testu φ dla alternatyw: m = 10, 10.5, 11, 11.5, 12, 12.5, 13, . . . i naszkicowa´c wykres funkcji mocy.
3. a) Rozpatrzmy problem testowania hipotezy H : m = m0 przy alternatywie K : m = m1, gdzie m jest ´srednia‘rozk ladu normalnego ze znana‘wariancja‘σ2, na podstawie pr´oby X = (X1, X2, . . . , Xn)0. Dla rozwia
‘zania tego problemu u˙zywamy testu φ, okre´slonego w zadaniu 2. Jak du˙ze powinno by´c n, aby test mia l rozmiar r´owny zadanemu poziomowi istotno´sci α i moc r´owna
‘β.
b) Przyjmuja
‘c m0 = 5 i m1 = 8 znale´z´c warto´sci c i n takie, aby α = 0.05 i β = 0.95.
4. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli przestrze´n pr´ob jest zbiorem euklidesowym, a rozk lady P0 i P1 maja
‘ge
‘sto´sci wzgle
‘dem miary Lebesgue’a, to przy ka˙zdym poziomie istotno´sci α ∈ (0, 1) dla testowania hipotezy H : P0 wobec K : P1 istnieje najmocniejszy test niezrandomizowany.
(Wskaz´owka: skorzysta´c z naste
‘puja
‘cego lematu Halmosa: niech f ≥ 0,RAf (x)dx = a; wtedy dla ka˙zdego b ∈ [0, a] istnieje zbi´or B ⊂ A taki, ˙zeRBf (x)dx = b.)
5. Niech rozk lad zmiennej losowej X nale˙zy do rodziny rozk lad´ow {b(10, 1/2), π(1)}. Pos luguja
‘c sie tablicami rozk lad´ow dwumianowego i Poissona, na podstawie jednej obserwacji X wyznaczy´c test najmoc-‘ niejszy na poziomie istotno´sci α = 0.1 dla testowania hipotezy H : b(10, 1/2) przy alternatywie K : π(1).
Obliczy´c moc tego testu.
6. Niech rozk lad zmiennej losowej X nale˙zy do rodziny P = {U (0, 1)} ∪ {Ex(λ), λ > 0}. Na podstawie jednej obserwacji zmiennej X skonstruowa´c test JNM na poziomie istotno´sci α dla testowania hipotezy H : U (0, 1) przy hipotezie alternatywnej K : Ex(λ), λ > 0. Wyznaczy´c funkcje
‘mocy tego testu.
7. Niech rodzina
‘rozk lad´ow zmiennej losowej X be
‘dzie zbi´or P = {U (−1, 1)} ∪ {N (0, σ2), σ > 0}. Na podstawie jednej obserwacji zmiennej X skonstruowa´c test JNM na poziomie istotno´sci α dla testowania hipotezy H : U (0, 1) przy hipotezie alternatywnej K : N (0, σ2), σ > 0. Wyznaczy´c funkcje
‘mocy tego testu.
8. Niech X1, X2, . . . , Xn be
‘dzie cia
‘giem niezale˙znych zmiennych losowych o rozk ladach N (mi, 1), mi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n. Testujemy hipoteze
‘ H, ˙ze wszystkie mi = 0 przy hipotezie alternatywnej, ˙ze dla pewnego r ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi: mi = 1/2, i = 1, 2, . . . , r, oraz mi = −1/2, i = r + 1, r + 2, . . . , n.
Udowodni´c, ˙ze najmocniejszy test na poziomie istotno´sci α = 0.05 ma obszar krytyczny {(x1, x2, . . . , xn) :
Xr i=1
xi− Xn i=r+1
xi> 1.645√ n}.
Jak du˙ze musi by´c n, ˙zeby moc tego testu by la r´owna co najmniej 0.9?
9. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)0 be
‘dzie pr´oba
‘z rozk ladu jednostajnego U (0, θ), θ > 0.
a) Wyznaczy´c JNM test na poziomie istotno´sci α dla testowania hipotezy H : θ ≤ θ0 przy alternatywie K : θ > θ0.
b) Udowodni´c, ˙ze dla testowania hipotezy H1 : θ = θ0 przy hipotezie K : θ 6= θ0 test postaci
φ(x) =
( 1, gdy xn:n> θ0 lub xn:n< θ0√n α, 0 poza tym,
jest testem JNM na poziomie istotno´sci α.
10. Niech X be
‘dzie zmienna
‘losowa
‘o rozk ladzie dwumianowym b(n, p), p ∈ [0, 1].
a) Wyznaczy´c JNM testy dla testowania hipotezy H : p ≤ p0 przy hipotezie alternatywnej K : p > p0 na poziomie istotno´sci α, przyjmuja
‘c n = 6, p0= 0.25, α = 0.05 oraz n = 6, p0= 0.25, α = 0.1. Obliczy´c w obu przypadkach moc testu dla p1= 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7.
b) Przy p0 = 0.2 i α = 0.05 wyznaczamy test o mocy β ≥ 0.9 przy alternatywie p1 = 0.4. Znale´z´c potrzebny w tym celu rozmiar pr´oby n, korzystaja
‘c: (i) z tablic rozk ladu dwumianowego, (ii) z przybli˙zenia normalnego.
11. Udowodni´c, ˙ze rodzina rozk lad´ow prawdopodobie´nstwa na prostej R o ge
‘sto´sciach wzgle
‘dem miary Lebesgue’a
f (x; θ) = C(θ)h(x)1(−∞,∞)(x), x ∈ R, θ ∈ R, ma monotoniczny iloraz wiarogodno´sci.
12. Udowodni´c, ˙ze rodzina rozk lad´ow Cauchy’ego {C(0, θ), θ > 0} nie ma monotonicznego ilorazu wiarogodno´sci wzgle
‘dem X, podczas gdy rodzina rozk lad´ow statystyki dostatecznej |X| ma monotoniczny iloraz wiarogodno´sci.
13. W procesie Poissona liczba X zaobserwowanych w przedziale czasu d lugo´sci t0 zdarze´n ma rozk lad Poissona π(λt0). Mo˙zliwy jest r´ownie˙z inny spos´ob obserwacji procesu: do chwili Tr zaj´scia r kolejnych zdarze´n.
a) Udowodni´c, ˙ze zmienna losowa 2λTr ma rozk lad chi-kwadrat χ2(2r).
b) Wyznaczy´c dla obu do´swiadcze´n testy JNM dla testowania hipotezy H : λ ≤ λ0 przy hipotezie alternaty- wnej K : λ > λ0 na poziomie istotno´sci α.
14. Niech X = (X1, X2, . . . , Xn)0 be‘dzie pr´oba‘z rozk ladu wyk ladniczego z ge‘sto´scia‘postaci fθ(x) = (2θ)−1e−x/2θ1(0,∞)(x), θ > 0. Przypu´s´cmy, ˙ze w wyniku obserwacji otrzymujemy najpierw warto´s´c pier- wszej statystyki pozycyjnej X1:n, naste
‘pnie drugiej X2:n itd. i ˙ze obserwacje prowadzimy do momentu zaobserwowania Xr:n, gdzie rleqn jest ustalona‘liczba‘. Na podstawie obserwacji r pierwszych statystyk pozycyjnych testujemy hipoteze
‘H : θ ≥ θ0 przy hipotezie alternatywnej K : θ < θ0, na poziomie istotno´sci α ∈ (0, 1).
Niech θ0= 1000 oraz α = 0.05.
a) Wyznaczy´c obszar krytyczny testu przy r = 4 i znale˙z´c moc tego testu przy alternatywie θ1= 500.
b) Znale´z´c warto´s´c r potrzebna
‘do uzyskania mocy ≥ 0.95 przy tej alternatywie.
15. (a) Udowodni´c, ˙ze je˙zeli istnieje pochodna ∂2logf (x; θ)/∂θ∂x, to rodzina ge‘sto´sci {f (x; θ), θ ∈ R}
ma monotoniczny iloraz wiarogodno´sci wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna ta jest nieujemna dla ka˙zdego θ i ka˙zdego x.
(b) Warunkiem r´ownowa˙znym (a) jest naste
‘puja
‘ca nier´owno´s´c:
f (x : θ)∂2f (x; θ)
∂θ∂x ≥ ∂f (x; θ)
∂θ
∂f (x; θ)
∂x dla ka˙zdego θ i ka˙zdego x.
16. Udowodni´c, ˙ze rodzina niecentralnych rozk lad´ow Studenta z n stopniami swobody {t(n, m), m ∈ R} ma monotoniczny iloraz wiarogodno´sci. (Wskaz´owka: wz´or na ge
‘sto´s´c tego rozk ladu jest podany np. w ksia
‘˙zce: J.B. Wyk lady ze statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1996, str. 43.) 17. Rozpatrzmy testy JNM nieobcia‘˙zone dla testowania hipotezy H : θ = θ0przy alternatywie K : θ 6= θ0 dla jednoparametrowej rodziny wyk ladniczej o ge
‘sto´sciach postaci f (x; θ) = C(θ)h(x) exp[θT (x)].
Udowodni´c, ˙ze je˙zeli dla θ = θ0 rozk lad statystyki T jest symetryczny wzgle
‘dem pewnego punktu a oraz test φ spe lniaja
‘cy warunek
Eθ0[φ(X)] = α jest symetryczny wzgle‘dem a, to spe lnia r´ownie˙z warunek
Eθ0[T (X)φ(X)] = αEθ0[T (X)]. (1)
18. Niech X be‘dzie zmienna‘losowa‘o rozk ladzie b(n, p), p ∈ [0, 1].
a) Wyznaczy´c JNM test nieobcia
‘˙zony na poziomie istotno´sci α dla testowania hipotezy H : p = p0, przy hipotezie alternatywnej K : p 6= p0, na podstawie jednej obserwacji X.
b) Udowodni´c, ˙ze warunek okre´slony wzorem (1) z zad. 17 dla tego testu sprowadza sie‘ do warunku
CX2−1 x=C1+1
n − 1 x − 1
!
px−10 q0n−x+ X2 i=1
(1 − ξi) n − 1 C1− 1
!
pC0i−1q0n−Ci = 1 − α,
gdzie Ci i ξi, i = 1, 2, sa
‘sta lymi okre´slaja
‘cymi test JNM nieobcia
‘˙zony.
c) Wyznaczy´c sta le Ci i ξi, i = 1, 2, w przypadku, gdy n = 10, α = 0.1, p0= 0.2.
10lista-4.tex
25.1.2011 r. J. Bartoszewicz
