PROSTE A POZYTECZNE NIERÓWNOśCI MACIERZOWE TOMASZ TKOCZ Streszczenie.

PROSTE A POZYTECZNE NIERÓWNOśCI MACIERZOWE

TOMASZ TKOCZ

Streszczenie. Tekst zawiera notatki do referatu z Seminarium Fizyki Teoretycznej. Jest to w zasadzie tłumaczenie (z uzupełnionymi pewnymi skrótami myślowymi i innym podejściem do triku Weyla) odpowiedniego rozdziału książki [3].

1. Wstęp

W fizyce statystycznej kluczowe znaczenie ma suma statystyczna. W me- chanice kwantowej ma ona postać Z = tr e

(β =

, ˆ H — ha- miltonian układu, µ — potencjał chemiczny, ˆ N — operator liczby cząstek

— jeśli w układzie jest ona zachowana). Zatem bardzo ważne znaczenie jest umieć szacować wyrażenia tr e

, gdzie A jest macierzą i niech to będzie dla nas motywacją, choć nie wiem jaka ona była naprawdę, żeby sobie dzisiaj obejrzeć kilka klasycznych nierówności. Przyjrzymy się nierównościom:

• Peierlsa – Bogolubowa

• H¨oldera

• Goldena – Thompsona

O ich zastosowaniach nie będzie tu wspomniane. Aby jednak wszystkich (pragmatyków?) uspokoić: nierówności te stosują się! Hasłowo, niektóre za- stosowania, to

• dowody wypukłości różnych ważnych funkcji termodynamicznych, np. energii swobodnej

• dowody istnienia granicy termodynamicznej

• oszacowania i porównywanie sumy statystycznej różnych modeli (np.

Isinga i Heisenberga — przykład z [3])

• dowód braku uporządkowania dalekiego zasięgu w modelu Hubbar- da (w wymiarach 1 i 2 i temperaturach dodatnich) — twierdzenie Komy–Tasakiego (por. [2])

• ostro też te nierówności stosuje Pan Wojtkiewicz podając oszacowa- nia (z góry i z dołu) sumy statystycznej w modelu Hubbarda (por.

[4])

Chciałbym podziękować Panu J. Wojtkiewiczowi — opiekunowi referatu — za pokaza- nie mi tytułowych nierówności.

1

2. Nierówność Peierlsa–Bogolubowa

Rozważać będziemy operatory liniowe A : C

−→ C

(o macierzy A) oraz na C

mamy zadany iloczyn skalarny <, >. Przypomnijmy sobie kilka faktów z algebry liniowej.

Twierdzenie 1 (spektralne). Jeśli A jest samosprzężony (A

= A), to istnieje baza ortonormalna u

, . . . , u

oraz liczby rzeczywiste λ

, . . . λ

takie, że

Ax =

k=1

λ

< x, u

> u

.

Definicja 1. Niech A — operator samosprzężony. Dla f : R → R definiuje- my operator f (A) : C

→ C

f (A)x :=

Xn

k=1

f(λ

) < x, u

> u

.

Uwaga 1. Jeśli f rozwija się w otoczeniu 0 w szereg (f(x) =

x

,

|x| ¬ R), to f(A) =

k!

A

, dla A takiego, że kAk ¬ R. Zatem po- dana ad hoc definicja f (A) dla pożądnych f pokrywa się z tą znaną skądinąd (np. dla funkcji e, ln, √ ).

Dowód. Rozwijamy f (λ

) w szereg mając na uwadze, że kAk = max

|λ

|

¬ R

f (A)x =

k=1

f(λ

) < x, u

> u

=

k=1

X∞

l=0

f

(0)

l! λ

< x, u

> u

=

l=0

f

(0) l!

Xn

k=1

λ

< x, u

> u

=

l=0

f

(0) l! A

.

 Koniec przypomnienia. Przechodzimy do sedna tego paragrafu.

Twierdzenie 2. Niech f : R → R będzie funkcją wypukłą, A operatorem samosprzężonym. Wówczas dla dowolnego x, kxk = 1 zachodzi

f (< Ax, x >) ¬<f(A)x, x> . Dowód. Mamy wobec rozkładu spektralnego dla A, że

f (< Ax, x > = f <

Xn

k=1

λ

< x, u

>

!

= f

k=1

| <x,u

> |

λ

!

¬

k=1

| <x, u

> |

f (λ

) =< f (A)x, x >,

gdzie skorzystaliśmy z nierówności Jensena (dla wag | < x,u

> |

sumują-

cych się do kxk

= 1). 

Z powyższego mamy natychmiast

Wniosek 1. Jeśli (v

) jest bazą ortonormalną, to tr f (A) ­

Xn

k=1

f(< Av

, v

>).

Dowód. Wystarczy zauważyć, że ogólnie < Av

, v

> jest współrzędną (k,k) macierzy operatora A w bazie (v

), więc

tr f (A) =

k=1

< f(A)v

, v

> ­

k=1

f (< Av

, v

>).

 Twierdzenie 3 (Nierówność Peierlsa–Bogolubowa). Dla operatorów samo- sprzężonych A, B i funkcji wypukłej f : R → R zachodzi

tr f (A)e

tr e

­ f tr Ae

tr e

!

.

Dowód. Niech (v

) będzie bazą orotonormalną z twierdzenia spektralnego dla B, zaś µ

, . . . , µ

odpowiadającymi im wartościami własnymi. Mamy wobec nierówności z twierdzenia 2 i nierówności Jensena, że

tr f (A)e

tr e

= 1

P

e

k=1

< f(A)e

v

, v

>

=

k=1

e

P

e

< f(A)v

, v

> ­

k=1

e

P

e

f (< Av

, v

>)

­ f

k=1

e

P

e

< Av

, v

>

!

= f tr Ae

tr e

!

.

 Identycznie dowodzimy (ale nie wynika ono z powyższego twierdzenia, bo niekoniecznie e

= e

e

)

Twierdzenie 4 (Nierówność Peierlsa–Bogolubowa’). Dla operatorów samo- sprzężonych A, B zachodzi

tr e

tr e

­ exp tr (Ae

) tr e

!

.

Dowód. Z poprzedniego dowodu widać, że tr e

jest tylko czynnikiem nor- mującym, więc można bez utraty ogólności założyć, że tr e

= 1 (w razie czego rozważając zamiast B operator B + cI, dla odpowiedniej stałej c).

3

Wówczas ((v

), (µ

) ma to samo znaczenie co powyżej) tr e

=

Xn

k=1

< e

v

, v

> ­

k=1

e

=

k=1

e

e

­ exp

k=1

e

< Av

, v

>

!

= exp

tr (Ae

)

.

 Jako ciekawostkę zauważmy na zakończenie tego paragrafu takie przyjem- ne zastosowanie głównego narzędzia — twierdzenia 2

Wniosek 2. Niech C : C

→ C

będzie operatorem dodatnio określonym i samosprzężonym. Wówczas

det C ¬

k=1

c

,

gdzie [c

] jest macierzą C w bazie standardowej (e

).

Dowód. Dodatnia określoność oznacza, że dla każdego x 6= 0 < Cx, x >> 0, więc w szczególności wartości własne C są liczbami rzeczywistymi dodatnimi oraz c

> 0. Biorąc f (x) = − ln x w twierdzeniu 2 mamy

− <ln Ce

, e

>=< f (C)e

, e

> ­ f(<Ce

, e

> ) = − ln c

k, więc ln c

­<ln Ce

, e

> i powysumowaniu

ln

k=1

c

­ tr ln C =

k=1

ln λ

= ln

k=1

λ

= ln det C,

czyli teza. 

3. Nierówność H¨ oldera

Będziemy chcieli odejść na chwilę od operatorów samosprzężonych. Ale w ogólności jest też coś na kształt twierdzenia spektralnego (gdy dim V = ∞ i operator jest zwarty nazywa się to rozkładem Schaudera). Niech więc A będzie teraz dowolnym endomorfizmem przestrzeni C

. Bierzemy T := A

A.

Wtedy T jest oczywiście samosprzężony, ale też nieujemny, bo

< T x, x > =< Ax, Ax >= kAxk

­ 0

(widać po co A

A zamiast AA

). Zatem z twierdzenia spektralnego istnieje baza ortonormalna (u

) i wartości własne nieujemne (λ

) dla T . Możemy więc zdefiniwać

|A| := √ T = √

A

A.

Mamy

k |A| xk

= < |A|x, |A|x>=<|A|

|A|x, x>=<|A|

x, x >

(1)

= < A

Ax, x > =< Ax, Ax >= kAxk

,

czyli definiując U : im|A| → imA wzorem U(|A|x) := Ax mamy poprawnie określoną (bo ker |A| = ker A — wobec (1)) izometrię na swój obraz, którą łatwo rozszerzamy do izometrii C

. Zatem

Ax = U (|A|x) = U

k=1

λ

< x, u

> u

!

=

k=1

λ

< x, u

> U u

=

k=1

λ

< x, u

> v

,

gdzie (v

) pewna baza ortonormalna (obraz bazy (u

) przy U ). Zatem za- chodzi

Wniosek 3. Dla A: C

→ C

istnieją bazy ortonormalne (u

), (v

) i liczby µ

(A) ­ . . . ­ µ

(A) ­ 0 — wartości własne |A| zwane wartościami osobliwymi A takie, że

Ax =

k=1

µ

(A) < x, u

> v

Uwaga 2. µ

(A

) = µ

(A)

Dowód. Wobec U |A| = A jest A

= |A|U

i mamy

AA

v

= A|A|U

v

= A|A|u

= Aµ

(A)u

= µ

(A)

v

,

więc |A

|v

= µ

(A)v

, co oznacza, że |A|, |A

mają te same wartości własne.

 Definicja 2. kAk

:= (tr |A|

)

, p ∈ [1, ∞].

Uwaga 3.

(tr |A|

)

=

k=1

µ

(A)

!1/p

= k(µ

(A), . . . , µ

(A))k

−−−→

max

k

µ

(A)

= µ

(A) = k |Ak | = kAk, czyli kAk

= kAk.

Możemy już teraz sformułować główne twierdzenie tego rozdziału

Twierdzenie 5 (Nierówność H¨oldera). Dla r, p, q ∈ [1, ∞] takich, że

=

1

p

+

i dowolnych operatorów A, B : C

→ C

zachodzi kABk

¬ kAk

kBk

5

Dowód można łatwo przeprowadzić w oparciu o zwykłą (dla p-tych norm ciągów) nierówność H¨ oldera jeśli tylko udowodnimy, że

(2)

Xn

k=1

µ

(AB)

¬

k=1

µ

(A)

µ

(B)

, bowiem wówczas stąd i uwagi 3 mamy

kABk

=

k=1

µ

(AB)

¬

k=1

µ

(A)

µ

(B)

¬

k=1

µ

(A)

)

!r/p n

X

k=1

µ

(B)

)

!r/p

= kAk

kBk

. Dowód (2) zaś wynika z dwóch rzeczy

Lemat 1. Dla liczb rzeczywistych 0 ¬ a

¬ . . . ¬ a

, 0 ¬ b

¬ . . . ¬ b

, takich, że dla każdego k = 1, . . . , n

b

¬

a

zachodzi

Xk

j=1

b

¬

j=1

a

, dla każdego k = 1, . . . , n.

Dowód. Jest to w zasadzie zasada majoryzacyjna Hardy’ego – Littlewooda – Póly zastosowana do funkcji exp. Dowód można znaleźć w [1] lub (bardziej

geometryczny) w [3]. 

Lemat 2. Dla dowolnych operatorów A, B : C

→ C

i każdego k = 1, . . . , n zachodzi

Yk

j=1

µ

(AB) ¬

j=1

µ

(A)µ

(B).

Dowód. Użyjemy sztuczki Weyla z algebrą przekształceń antysymetrycz- nych, po to żeby zgrabnie wydobyć iloczyn

µ

(A). W przestrzeni od- wzorowań k-liniowych antysymetrycznych

(C

)

definiujemy dla opera- tora A : C

→ C

jego k-tą potęgę dziubkową A

:

(C

)

→

(C

)

wzorem

(A

ω)(v

, . . . , v

) := ω(Av

, . . . , Av

),

dla ϕ ∈

(C

)

, v

, . . . , v

∈ C

. (Można o tym myśleć np. jak o pool–backu stałej formy ω przy przekształceniu A). Zauważmy też, że dla k = 1 ta potęga dziubkowa operatora A staje się jego zwykłym sprzężeniem Banachowskim.

Po co to wszystko? Mamy

µ

(A

) = największa wartość własna|A

| (3)

(5)

= największa wartość własna|A

|

(4)

= µ

(A

) · . . . · µ

(A

) = µ

(A) · . . . · µ

(A),

skąd

j=1

µ

(AB)

= µ

(AB)

= µ

(B

A

)

= kB

A

k ¬ kB

kk

k = µ

(B

)µ

(A

)

(3)

=

j=1

µ

(A)

j=1

µ

(B), czyli teza lematu. Pozostaje jeszcze udowdnić

(4) największa wartość własna|A|

= µ

(A) · . . . · µ

(A).

(5) |A

| = |A

|

Dla dowodu (4) weźmy operator S samosprzężony nieujemny (takim jest zawsze |A|) o wartościach własnych λ

­ . . . ­ λ

­ 0 dla bazy ortonor- malnej (u

) (tzn. Su

= λ

u

). Zauważmy, że (pamiętamy, że jeśli (du

) oznacza bazę dualną do (u

), to du

∧ . . . ∧ du

, 1 ¬ i

< . . . i

¬ n jest bazą ortonormalną

(C

)

)

S

du

∧ . . . ∧ du

= (S

du

) ∧ . . . ∧ (S

du

), ale S

du

= λ

du

, więc

S

du

∧ . . . ∧ du

= λ

· . . . · λ

du

∧ . . . ∧ du

,

czyli S

ma wektory własne du

∧ . . . ∧ du

o wartościach własnych λ

· . . . · λ

. Ponieważ jest ich tyle co dim

(C

)

, więc są to wszystkie wektory własne, więc i wszystkie wartości własne, a największa, to λ

· . . . · λ

i to trzeba było tu pokazać.

(5) udowodnimy w dwóch małych krokach. Po pierwsze (A

)

= (A

)

, bo wystarczy sprawdzić, że

< A

ω, η > =< ω, A

η >, ω, η ∈

(C

)

,

ale tę równość wystarczy sprawdzić na bazie ortonormalnej ω = dx

, η = dx

dualnej do bazy standardowej (e

) (używamy dalej multiindeksów I = (i

, . . . , i

)); wówczas, skoro (det

(v

, . . . , v

) oznacza wyznacznik macierzy powstałej przez wybranie wierszy i

, . . . , i

z kolum v

, . . . v

)

A

dx

=

L

det

(Ae

, . . . , Ae

)dx

, to

<dx

, (A

)

dx

> = det

(A

e

, . . . , A

e

) = det

(A

e

, . . . , A

e

)

= det

(Ae

, . . . , Ae

) =< A

dx

, dx

> .

7

Po drugie

|A

| =

(A

)

(A

) =

(A

)

A

=

(AA

)

= ( √

AA

)

= |A

|

.

 4. Nierówność Goldena–Thompsona

Celem tutaj jest dowód następującego

Twierdzenie 6 (Nierówność Goldena–Thompsona). Dla operatorów samo- sprzężonych A, B : C

→ C

zachodzi

tr e

¬ tr (e

e

).

Potrzebne będzie kilka lematów.

Lemat 3. Dla operatorów samosprzężonych A, B : C

→ C

dodatnich (tzn.

< Ax, x >> 0, dla każdego x 6= 0) zachodzi

kABk

¬ kA

B

k

, p ­ 1, s ­ 2.

Dowód. Ustalmy p, s jak w założeniach i oznaczmy C := A

, D := B

, f (α) := kC

D

k

— funkcja ciągła na (0, 1]. Sprawdźmy czy przedłuża się ona na [0, 1], tzn. chcemy obliczyć lim

f (α). Szacujemy

kC

D

k

H¨older

¬ kC

k

kD

k

= (tr Ctr D)

−−−−→

α→0+

1,

dalej, biorąc za v dowolny jednostkowy wektor własny dla D o wartości własnej µ mamy z drugiej strony

kC

D

k

porównanie p-tych norm ciągów

­ kC

Dα k

= kC

D

k

­ kC

D

v k =

Xn

k=1

µ

λ

< v, u

> u

­ (|µ|min

|λ

|)

−−−−→

α→0+

1, gdzie korzystaliśmy jeszcze z twierdzenia spektralnego dla C (oczywiście (u

) oznacza bazę ortonormalna wektorów własnych odpowiadających war- tościom własnym (λ

)). Zatem f (0) = 1. Zauważmy, że teza, to nierówność

f



1 p



¬ f(1) = f(1)f(0), co równoważnie można zapisać jako

f



1 p · 1 +



1 − 1

p



· 0



¬ f(1)

f(0)

,

czyli wystarczy udowodnić wypukłość funkcji ln f . Wobec jej ciągłości wy- niknie, to z nierówności

(6) f



α + β 2



¬ f(α)

f (β)

. Do jej dowodu przydadzą się trzy rzeczy.

(7) kXk

= (tr |X|

)

= k|X|

k

, p, q ­ 1 X— dowolny

(8) kXY k

¬ kY Xk

, X, Y — dowolne takie, że XY samosprzężony, bo wobec lematu 1 (zasady majoryzacyjnej) i definicji p-tej normy macie- rzowej wystarczy pokazać, że dla każdego k = 1, . . . , n

Yk

j=1

µ

XY ¬

j=1

µ

Y X.

Jednak mamy

j=1

µ

(XY ) = µ

(XY )

) = max modułów wartości własnychY

X

= r(Y

X

) = r(X

Y

) = r((Y X)

)

¬ k(Y X)

k = µ



(Y X)

=

j=1

µ

Y X,

gdzie przez r(X) oznaczamy promień spektralny operatora X i korzystamy ze znanych faktów, że ogólnie r(XY ) = r(Y X), bo XY i Y X mają te same wartości własne oraz r(X) ¬ kXk, bo jeśli u jest jednostkowym wektorem własnym o wartości własnej λ, to |λ| = kXuk ¬ kXk.

(9) kX

k

= kXk

,

oczywiste, wobec uwagi 2.

Wracamy do dowodu (6). Bez utraty ogólności załóżmy, że β ­ α. Mamy f



α + β 2



= kC

D

k

(7)

= k|C

D

|

k

= kD

C

C

k

= kD

D β − α

2 C

D

k

(8)

= kD

C

D

k

¬ kD

C

k

kC

D

k

(9)

= f (α)

f (β)

.

 Przy okazji można stąd udowodnić taki przyjemny

9

Wniosek 4. Przy założeniach lematu 3 zachodzi także nierówność tr (AB)

¬ tr (A

B

).

Dowód. Korzystając z cykliczności śladu otrzymujemy

tr (AB)

= tr





A

(A

BA

) · . . . · (A

BA

)

| {z }

n−1

A

B





= tr (A

BA

) = tr |B

A

|

= kB

A

k

¬ kB

A

k

= tr (A

B

A

) = tr (A

B

).

 Lemat 4. Dla dowolnych operatorów X, Y : C

→ C

zachodzi

e

= lim

n→∞

(e

e

)

= lim

n→∞

(e

e

e

)

, gdzie zbieżność jest w normie operatorowej.

Dowód. Niech A

:= e

e

, B

:= e

. Chemy udowodnić, że kA

− B

k −−−→

0, ale

kA

k, kB

k ¬ e

kA

− B

k ¬ C

n

,

bo pierwsze wyrazy odpowiednich szeregów się redukują i stała C zależy tylko od operatorów X, Y (nie zależy od n). Mamy stąd

kA

− B

k = kA

(A

− B

) + A

(A

− B

)B

+ A

(A

− B

)B

+ . . . + A

(A

− B

)B

+ (A

− B

)B

k

¬ ne

kA

− B

k ¬ C

n e

−−−→

0.

Dowód drugiej równości jest identyczny. 

Lemat 5. Dla operatorów samosprzężonych A, B : C

→ C

zachodzi ke

k

¬ ke

e

k

, p ­ 1.

Dowód. Niech najpierw p ­ 2; wtedy ke

e

k

lemat 3

¬ ke

e

k

, ale lewa strona wynosi

k|e

e

|

k

= k(e

e

e

)

k

−−−−→

ke

A + B)k,

skąd teza w tym przypadku.

Jeśli 1 ¬ p < 2, to mamy z poprzedniego przypadku ke

k

= ke

k

¬ ke

e

k

= k|e

e

|

k

= ke

e

e

k

(8)

¬ ke

e

k

.

 Teraz łatwo zakończyć dowód wyjściowego twierdzenia.

Dowód twierdzenia 6. Pamiętając, że założenia A + B jest też samosprzężo- ny, mamy

tr e

= ke

k

¬ ke

e

k

= tr

e

e

e

= tr (e

e

).

 Jako zastosowanie wszystkiego podamy jeszcze bardzo ważny

Wniosek 5. Funkcja f : {operatory samosprzężone C

→ C

} −→ R zada- na wzorem f (A) := ln

tr e

jest wypukła.

Dowód. Po prostu sprawdzamy definicję wypukłości

f (αA + (1 − α)B) = ln

tr e

Golden–Thompson

¬ ln

tr (e

e

)

H¨older

¬ ln

(tr e

)

(tr e

)

= αf (A) + (1 − α)f(B).

 Literatura

[1] M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities.

Cauchy’s equation and Jensen’s inequality, Prace naukowe Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach, nr 489, Państwowe Wydawnictwo Naukowe i Uniwersytet Śląski, Warsza- wa Kraków Katowice 1985

[2] T. Koma, H. Tasaki, Decay of Superconducting and Magnetic Correlations in One and Two–Dimensional Hubbard Models, Phys. Rev. Lett. 68, 2348(1992)

[3] B. Simon, The tatistical Mechanics of Lattice Gases, Princeton, New Jersey, Princeton University Press

[4] J. Wojtkiewicz, Estimations of free energy for the Hubbard model

11