(4xy − y 3 )dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym przez y = √

3. lista zada«, Mibm II

1. Oblicz (a) ˜

D

(4xy − y ³ )dxdy, gdzie D jest obszarem ograniczonym przez y = √

x, y = x ³ ; (b) ˜

D

sin xdxdy , gdzie D jest trójkatem o wierzchoªkach (0, 0), ( ^π ₂ , ^π ₂ ), (π, 0);

(c) ˜

D

(42y ² − 12x)dxdy , gdzie D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 4, (x − 2) ² ≤ y ≤ 6} ; (d) ˜

D

dxdy

y

(x

+1) , gdzie D jest obszarem ograniczonym przez x = −y

, x = 3 i o± x;

(e) ˜

D

xydxdy , gdzie D jest obszarem ograniczonym przez y = −x ² + 4, y = 3 √

x oraz ujemna cze±cia osi x.

2. Oblicz podane caªki zamieniajac najpierw kolejno±¢ caªkowania (a) ´ ³

0

dx

´ 6 2x

p y ² + 2dy ; (b) ´ ¹

0

dy

y

´

− √ y

(6x − y)dx.

3. Zastosuj caªke podwójna do obliczenia pól obszarów ograniczonych krzywymi

(a) y = 1 − x ² , y = x ² − 3 ; (b) y = e ^x , y = ln x, x + y = 1, x = 2.

4. Oblicz objeto±¢ bryªy ograniczonej przez powierzchnie z = 6−5x ² oraz pªaszczyzny y = 2x, y = 2, x = 0 i pªaszczyzne xy.

5. Znale¹¢ objeto±¢ bryªy powstaªej w wyniku przeciecia dwóch cylindrów x ² + y ² = 4 i x ² + z ² = 4.

6. Oblicz:

(a) ˜

D

(y ² + 2x)dxdy , je»eli D = {(x, y) | 1 ≤ x ² + y ² ≤ 4, x ≤ 0, y ≥ 0} ; (b) ˜

D

dxdy

(1−x

−y

)

, je»eli D = {(x, y)|x ² + y ² ≤ x, x ² + y ² ≤ y};

(c) ˜

D

(4xy − 7)dxdy , je»eli D = {(x, y) | x ² + y ² ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0} ; (d) ˜

D

ln(1 + x ² + y ² )dxdy , je»eli D = {(x, y) | 1 ≤ x ² + y ² ≤ 4, y ≥ x} ; (e) ˜

D

p 4 − x ² − y ² dxdy , je»eli D = {(x, y) | x ² + y ² − 2x ≤ 0} .

7. Oblicz podana caªke stosujac zamiane zmiennych na wspóªrzedne biegunowe ˆ 3

0

dx ˆ 0

− √ 9−x

e ^x

^+y

dy.

8. Oblicz objeto±¢ bryªy znajdujacej sie w cylindrze x ² + y ² = 16 pod powierzchnia z = 2x ² + 2y ² i nad pªaszczyzna xy.

9. Znale¹¢ objeto±¢ bryªy ograniczonej przez z = 8 − x ² − y ² i z = 3x ² + 2y ² − 4 .

1