Topologia II: ¢wiczenia 3
1. Poka», »e ka»dy podzbiór przestrzeni topologicznej dyskretnej jest jed- nocze±nie otwarty i domkniety.
2. Poka», »e je»eli przestrze« topologiczna skªada sie ze sko«czonej liczby punktów i ka»dy podzbiór jednoelementowy jest domkniety, to topolo- gia w tej przestrzeni jest dyskretna.
3. Poka», »e w przestrzeni topologicznej (X, τ), gdzie topologia τ jest zdeniowana jak w zadaniu 6 (c) z listy 2 ka»dy przedziaª[s, t) jest jednocze±nie otwarty i domkniety.
4. Wyka», »e je»eli na zbiorze X dana jest topologia dyskretna, to prze- strze« X jest metryzowalna.
5. Niech X bedzie przestrzenia topologiczna metryzowalna. Udowodnij,
»e dla ka»dej pary a, b ró»nych punktów przestrzeni X istnieja rozªaczne zbiory otwarte Ua i Ub zawierajace odpowiednio punkty a i b takie, »e Ua∩ Ub = ∅.
6. Wykorzystujac zadanie 2, poka», »e je»eli do X nale»a co najmniej dwa ró»ne punkty i je±li na X mamy topologie trywialna, to przestrze« X nie jest metryzowalna.
7. Przypomnij denicje domkniecia i wnetrza zbioru. Rozwa» R z topo- logia zwyczajna i znajd¹ domkniecie oraz wnetrze ka»dego z podzbiorów zbioru R : N, Q, R \ Q.
8. Czym jest domkniecie dowolnego zbioru A ⊂ R wzgledem topologii zdeniowanej w zadaniu 6 (a) z listy 2?
9. Dla a, b ∈ Z, b > 0 niech
Na,b = {a + nb | n ∈ Z} ⊂ Z.
Zbiór A ⊂ Z nazywamy zbiorem otwartym je»eli jest zbiorem pustym lub gdy dla ka»dego a ∈ A istnieje b > 0 takie, »e Na,b⊂ A. Poka», »e
(a) powy»sza konstrukcja zadaje topologie w Z;
(b) ka»dy niepusty zbiór otwarty jest niesko«czony;
(c) dowolny zbiór Na,b jest domkniety;
(d) Z \ {−1, 1} = Sp∈PN0,p (P - zbiór liczb pierwszych), a nastepnie wyprowad¹ wniosek, »e liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele.
1
10. Poka», »e:
(a) A jest domkniety wtedy i tylko wtedy, gdy ¯A = A; (b) A = A;
(c) A ∪ B = A ∪ B;
(d) Int(Int A) = IntA;
(e) Int A ∩ B = Int A ∩ Int B;
11. Ustal zale»no±ci miedzy:
(a) A ∩ B i A ∩ B;
(b) Sj∈JAj i Sj∈JAj;
(c) Int (A ∪ B) i Int A ∪ Int B;
(d) Tj∈JInt Aj i Int Tj∈JAj.
2