ALGEBRA I R
Podprzestrzeni wektorowe, bazy, rz¸ad macierzy Javier de Lucas
Cwiczenie 1. Sprawdzi´´ c, czy wektory
K1 :=
2 3 i 1
, K2 :=
1 2 1 i
, K3 :=
2 + 2i 4 + 3i
1 3i
,
s¸a liniowo niezale˙zne nad R i nad C okreslaj¸ac rz¸ad macierzy.
Rozwi¸azanie:
Cwiczenie 2. Sprawdzi´´ c, ˙ze W jest podprzestrzeni¸a sko´nczonego wymiaru przestrzeni RN, poda´c wymiar podprzestrzeni W i poda´c przyk lad jej bazy:
• W = {x = (xn| x1, x2, . . .) ∈ RN : x jest ci¸agiem arytmetycznem},
• W = {x : ∀n ∈ N, xn+2 = xn+1+ xn}.
Cwiczenie 3. Znale´´ z´c baz¸e i wymiar podprzestrzeni V := {v ∈ R3[·] : v(1) = ˙v(0) = 1
2v(0)} ⊂ R3[·].
Cwiczenie 4. Niech W = {(x´ 1, x2, x3) ∈ K3 : x21+x22+x23 = x1x2+x2x3+x3x1}. Dowie´s´c,
˙ze gdy K = R, zbi´or W jest 1-wymiarow¸a przestrzeni¸a, lecz jest sum¸a mnogo´sciow¸a dw´och 2-wymiarowych podprzestrzeni gdy K = C.
Cwiczenie 5. Niech n ∈ N, sprawdzi´c, ˙ze wielomiany v´ k = tk + tk−1, k = 1, . . . , n, tworz¸a baz¸e podprzestrzeni W := {v ∈ Kn[t], v(−1) = 0} ⊂ Kn[t].
1
