Rachunek prawdopodobieństwa
1. Przestrzeń probabilistyczna
Ćw. 1.1 (KBDKW, 1.35/35) Opakowanie zawiera 4 sztuki towaru. W użytkowaniu każda z tych sztuk może spełniać zakładane wymagania albo ich nie spełniać. Niech doświadczenie polega na obserwacji zachowania się wszystkich czterech sztuk towaru.
1. Określić sensownie przestrzeń zdarzeń elementarnych.
2. Przyjmując, że Ai (i = 1, 2, 3, 4) oznacza zdarzenie i-ta sztuka spełnia zakładane wy- magania, za pomocą zdarzeń elementarnych ω ∈ Ω opisać zdarzenie A02.
3. Za pomocą zdarzeń Ai opisać zdarzenia:
B1 = zaszły wszystkie cztery zdarzenia A1, A2, A3, A4, B2 = nie zaszło żadne ze zdarzeń A1, A2, A3, A4,
B3 = zaszło dokładnie jedno spośród zdarzeń A1, A2, A3, A4, B4 = zaszło co najmniej jedno spośród zdarzeń A1, A2, A3, A4, B5 = zaszło co najwyżej jedno spośród zdarzeń A1, A2, A3, A4.
4. Opisać zdarzenia B1, B2, B3, B4, B5 za pomocą zdarzeń elementarnych.
Ćw. 1.2 (KBDKW, 1.39/36) Rozważamy następujące doświadczenie. Drewniane pale mają loso- wą długość L, przy czym największa długość wynosi 12 m. Pale są przeznaczone do wbijania w ziemię, której skalna warstwa stanowiąca opór, znajduje się na losowej głębokości H, któ- rej maksimum wynosi 10 m. Zaproponuj i naszkicuj przestrzeń zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia. Następnie zilustruj graficznie zdarzenia:
1. A = długość losowo wybranego pala będzie większa od głębokości skalnej warstwy, 2. B = głębokość skalnej warstwy przekroczy 8 m,
3. C = długość losowo wziętego pala przekroczy 8 m, 4. E = B ∩ C,
5. F = B ∪ C,
6. G = (B ∪ C) ∩ A0.
Ćw. 1.3 Niech Ω = [0, 1]. Wyznacz σ-ciała podzbiorów Ω generowane przez następujące rodziny zbiorów:
1. A =n[0,13), [13,23)o; 2. B = n[0,21], [12, 1]o; 3. C =n[0,45], [15, 1]o. Ćw. 1.4 Niech Ω będzie zbiorem skończonym oraz niech F będzie σ-ciałem podzbiorów Ω gene-
rowanym przez zbiory jednopunktowe. Ile elementów ma F ?
Ćw. 1.5 Wyznacz LimnAn = T∞n=1S∞j=nAj oraz LimnAn = S∞n=1T∞j=nAj dla zbiorów An=h1n, ni.
Ćw. 1.6 (W) Udowodnij, że σ algebra jest zamknięta ze względu na operacje Limn i Limn. Zin- terpretuj zbiory LimnAn i LimnAn.
Ćw. 1.7 (PP 1-3/36) Na 4 kartkach wrzuconych do pudełka są napisane odpowiednio numery 1, 2, 3, 4.
1. Wyznacz przestrzeń zdarzeń elementarnych dla sytuacji, gdy losujemy w sposób przy- padkowy jedna kartkę.
Rachunek prawdopodobieństwa
2. Wyznacz przestrzeń zdarzeń elementarnych, gdy losujemy w sposób przypadkowy 2 kartki.
3. Przyjmując pierwszą definicję przestrzeni zdarzeń elementarnych oraz oznaczając przez A zdarzenie polegające na wylosowaniu kartki z numerem 1, a przez B zdarzenie pole- gające na wylosowaniu kartki z numerem parzystym, oblicz P (A), P (A0), P (B), P (B0).
4. Przyjmując drugą definicję przestrzeni zdarzeń elementarnych oraz oznaczając:
– A = wylosowano parę liczb, których suma jest mniejsza od 5, – B = wylosowano parę liczb, których suma jest większa od 4,
– C = wylosowano parę liczb, z których przynajmniej jedna jest większa od 1, oblicz P (A), P (B), P (C).
Ćw. 1.8 (W) Zbuduj model probabilistyczny dla n rzutów kostką.
Ćw. 1.9 (JS, 4/14) Niech A, B ∈ F będą takie, że P (A0) = 13, P (A ∩ B) = 14 i P (A ∪ B) = 23. Oblicz P (B0), P (A ∩ B0) oraz P (B\A).
Ćw. 1.10 (W) Udowodnij własności prawdopodobieństwa:
1. Jeżeli A, B ∈ F , A ⊂ B, to P (A) ¬ P (B).
2. Jeżeli A, B ∈ F , A ⊂ B, to P (B\A) = P (B)−P (A). W szczególności P (A0) = 1−P (A).
3. Dla dowolnych A1, A2, . . . ∈ F zachodzi nieówność PSj=1∞ ¬P∞j=1P (Aj).
4. Jeżeli zbiory A1, A2, . . . ∈ F są zstępujące, tzn. A1 ⊃ A2 ⊃ . . ., to
P
∞
\
j=1
Aj
= lim
j→∞P (Aj).
Rachunek prawdopodobieństwa
1. Przestrzeń probabilistyczna – zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 1.1 (KBDKW,1.37/36) Inżynier projektuje magazyn do przechowywania kartonów puszek żywności. Kartony mają kształt sześcianów o krawędzi 4 dm i masie 50 kg każdy. Zakłada się, że kartony mogą być układane losowo, ale najwyżej do wysokości 24 dm.
1. Sensownie zaproponować przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω1 dla doświadczenia pole- gającego na obserwacji całkowitego obciążenia 16 dm2powierzchni podłogi, zakładając, że jest ono wywoływane przez jeden stos kartonów.
2. Opisać za pomocą zdarzeń elementarnych pochodzących z Ω1 zdarzenia:
– A = całkowite obciążenie będzie równe co najmniej 150 kg, – B = całkowite obciążenie będzie co najwyżej równe 200 kg, – C = całkowite obciążenie będzie większe niż 250 kg,
– E = A ∩ B, – F = B ∪ C.
3. Sensownie zaproponować przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω2 dla doświadczenia pole- gającego na obserwacji całkowitego obciążenia 16 dm2powierzchni podłogi, zakładając, że jest ono wywoływane przez połowę masy każdego z dwóch sąsiednich stosów.
4. Opisać za pomocą zdarzeń elementarnych pochodzących z Ω2 zdarzenia C i E zdefinio- wane wyżej.
Zad. 1.2 (KBDKW,1.36/35 zmodyfikowane) Przy projektowaniu przepustu odprowadzającego wodę z dwóch oddzielnych obszarów A i B zakłada się, że ilość wody z obszaru A może wynieść od 0 do 900 dm3/s, a z obszaru B od 0 do 1500 dm3/s.
1. Zaproponować sensownie i naszkicować przestrzenie zdarzeń elementarnych Ω1, Ω2, Ω3 dla doświadczeń polegających odpowiednio na:
– obserwacji ilości wody pochodzącej tylko z obszaru A, – obserwacji ilości wody pochodzącej tylko z obszaru B,
– jednoczesnej obserwacji ilości wody pochodzącej z obu obszarów.
2. Zilustrować graficznie zdarzenia:
– C = ilość wody w obszarze A przekroczy 300 dm3/s (w przestrzeniach Ω1 i Ω3), – E = ilość wody pochodzącej z obszaru B wyniesie co najmniej 1000 dm3/s (w prze- strzeniach Ω2 i Ω3),
– F = C0(w przestrzeniach Ω1 i Ω3), – G = C ∩ E,
– H = (C ∪ E)0.
Zad. 1.3 (PP, 2/19) Z partii towaru, zawierającej sztuki dobre i niedobre, losujemy 3 sztuki.
Przyjmijmy poniższe oznaczenia zdarzeń:
– A – dokładnie 1 sztuka spośród 3 wylosowanych jest dobra, – B– co najwyżej jedna sztuka spośród 3 wylosowanych jest dobra, – C – co najmniej jedna sztuka spośród trzech wylosowanych jest dobra.
Wyjaśnij, co oznaczają zdarzenia: A0, B0, C0, A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, B ∩ C, B0∩ C0.
Zad. 1.4 Wyznacz LimnAn = T∞n=1S∞j=nAj oraz LimnAn = S∞n=1T∞j=nAj dla zbiorów An=n − n2,n1.
Rachunek prawdopodobieństwa
Zad. 1.5 Niech Ω = [0, 3]. Wyznacz σ-ciała podzbiorów Ω generowane przez następujące rodziny zbiorów:
1. {{0}, {1}, {2}, {3}}, 2. {[0, 1], [1, 2], [1, 3]}, 3. {(0, 1), (0, 2), (0, 3)}.
Zad. 1.6 Zbuduj model probabilistyczny dla rzutu kostka i monetą.
Zad. 1.7 Zbuduj model probabilistyczny dla losowania (ze zwracaniem) 2 kart z talii 52 kart.
Zad. 1.8 (S, 1.12/44) Kobieta planująca swoją rodzinę rozważa następujące schematy przy zało- żeniu, że chłopcy i dziewczynki rodzą się równie często:
a) mieć 3 dzieci,
b) rodzić dzieci aż do pojawienia się pierwszej dziewczynki lub dopóki nie urodzi się 3 dzieci (zależy co zdarzy się pierwsze) i wtedy przestać,
c) rodzić dzieci aż będzie przynajmniej jedno każdej płci lub dopóki nie urodzi się 3 dzieci (zależy co zdarzy się pierwsze) i wtedy przestać.
Niech Bi oznacza zdarzenie urodziło się i chłopców, a C – jest więcej dziewcząt niż chłopców.
1. Zdefiniuj modele probabilistycznej dla każdego schematu a)–c).
2. Znajdź P (B1) i P (C) dla każdego schematu a)–c).
3. Znajdź P (B2) i P (B3) dla każdego schematu a)–c).
4. Znajdź prawdopodobieństwo, że urodziło się tyle samo dziewczynek co chłopców dla każdego schematu a)–c).
Zad. 1.9 (JS, 5/15) Dane są P (A ∪ B) = 12 i P (A ∩ B) = 14. Ponadto P (A \ B) = P (B \ A).
Oblicz P (A) i P (B \ A).
Zad. 1.10 (JS, 6/15) Dane są P (A0 ∩ B0) = 12, P (A0) = 23, ponadto P (A ∩ B) = 14. Oblicz P (B) i P (A0∩ B).
Zad. 1.11 (JS, 7/15) Dane są P (A) = 14, P (B) = 34, A ∩ B = ∅. Uporządkuj rosnąco P (A ∪ B), P (A0 ∪ B) i P (A ∪ B0).
Literatura:
• (JS) J. Jakubowski, R. Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. SCRIPT, Warszawa (2001).
• (KBDKW) W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Część I. Rachunek prawdopo- dobieństwa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa (1995).
• (PP) A. Plucińska, E. Pluciński: Probabilistyka. WNT, Warszawa(2000).
• (S) D. Stirzaker: Elementary Probability. Cambridge University Press (2005).
• (W) Wykład.
