z Matematycznych Podstaw Logistyki 2

Zadania

z Matematycznych Podstaw Logistyki 2

Zadanie 1. Znale´z´c rozwi ˛azanie problemu(n=2)

˙x(t) =

 0 1

−₂ −₃

 x(t), x(0) = x0

Zadanie 2. Znale´z´c rozwi ˛azanie problemu(n=2)

˙x(t) =

 −1 −1 2 −4

 x(t), x(0) = x0

Zadanie 3. Znale´z´c rozwi ˛azanie problemu(n=3)

˙x(t) =





1 0 −1

1 2 1

2 2 3



x(t), x(0) = x0

Zadanie 4. Znale´z´c rozwi ˛azanie układu(n=_{2, m}=₁)

˙x(t) =

 −1 −4

−1 −1



x(t) +^{ 1} 1

 u(t),

spełniaj ˛ace warunek pocz ˛atkowy x(0) = ^{ 1} 2



i odpowiadaj ˛ace sterowaniu u(t) = e^2t, t≥0.

Zadanie 5 (model pojazdu). Pokaza´c w oparciu o formuł˛e Cauchy’ego, ˙ze rozwi ˛azaniem równania

˙x(t) = ^{ 0 1} 0 0



x(t) +^{ 0} 1

 u(t),

spełniaj ˛acym warunek pocz ˛atkowy x(0) =

 p0

v₀



jest funkcja

x(t) =

 p(t) v(t)



=











p0+v0t+ Rt

0

(t−s)u(s)ds v0+

Rt

0

u(s)ds









 .

Zadanie 6 (ilustracja uwagi (2.1.4)). Rozwa ˙zmy nat˛epuj ˛acy układ nieautonomiczny(n =_{2, m}=₁)

 ˙p(t)

˙q(t)



=

 0 a_1,2(t) a2,1(t) 0

  p(t) q(t)

 +

 v₁(t) v2(t)

 ,

1

gdzie: a1,2 =

 − (1−t) 0≤t<1

0 1 ≤t<_∞ ^{, a2,1} =^{ 1}−t 0≤t<1 0 1 ≤t<_∞ ^, v1(t) =0, dla 1≤_t<∞ oraz v2(t) =

 0 0≤_t <1

(u(t) −2) (t−1) 1≤t<_∞ ^{, u}(.) ∈ U. Pokaza´c, ˙ze ϕ=l =^nc·sin¹₂, c·cos¹₂

∈ _R²: c >0o .

Zadanie 7. Znale´z´c zbiór sterowalno´sci dla układu(n=_{2, m}=₁)

 ˙p(t) = p(t) +u(t)

˙q(t) =q(t) +u(t) ^.

Zadanie 8. Znale´z´c zbiór sterowalno´sci dla układu(n=_{2, m}=₁)

˙x(t) = ^{ 0 1} 0 0



x(t) +^{ 1} 0

 u(t). Zadanie 9. Pokaza´c, ˙ze dla układu(n=2, m =1)

 ˙p(t) = p(t) +u(t)

˙q(t) = q(t) +u(t) 0 /∈_{Int ϕ.}

Zadanie 10. Dla jakich a, b, c, dla układu(n =3, m =1)

˙x =





0 1 0

0 −1 1 0 0 −1



x+u(t)



 a b c





ϕ=_R³_.

Zadanie 11.Pokaza´c, ˙ze je´sli sterowania u1(.), u2(.) ∈ U_ms ˛a dwoma ró ˙znymi sterowaniami typu bang-bang, to sterowanie ¹₂u₁(.) +¹₂u₂(.)nie jest typu bang-bang.

Zadanie 12. Pokaza´c, ˙ze w modelu pojazdu ϕ=_R².

Zadanie 13. Pokaza´c, ˙ze w modelu pojazdu dla dowolnego punktu startowego x0 istnieje sterowanie czaso-optymalne typu bang-bang z co najwy ˙zej jednym przeł ˛aczeniem przepro- wadzaj ˛ace układ z punktu x₀do celu (punktu 0).

Zadanie 14 (model wahadła). Pokaza´c normalno´s´c układu(n=2, m=1)

 ˙α(t)

˙ ω(t)



=

 0 1

−1 0

  ˙α(t)

˙ ω(t)

 +^{ 0}

1

 u(t).

Zadanie 15. Pokaza´c, ˙ze istnieje sterowanie ekstremalne, które nie jest dopuszczalne.

Zadanie 16. Pokaza´c, ˙ze je´sli

|f (t, x, u)| ≤ β|x| +γ

dla x ∈ _Rⁿ, gdzie β, γ ≥ 0 (o funkcji f przyjmujemy zało ˙zenia poczynione na pocz ˛atku wykładu), to istnieje stała c ∈_{R, ˙ze}

|x(t, x0, u(.))| ≤c dla u(.) ∈∆(T), t ∈ [_{0, tu}].

2

Zadanie 17. Pokaza´c, ˙ze dla modelu pojazdu dla dowolnego punktu startowego x0 istnieje jednoznaczne sterowanie czaso-optymalne typu bang-bang i kawałkami stałe przepro- wadzaj ˛ace układ z punktu x0do celu (punktu 0).

Zadanie 18. Pokaza´c, ˙ze dla modelu wahadła dla dowolnego punktu startowego x0istnieje sterowanie czaso-optymalne typu bang-bang i kawałkami stałe przeprowadzaj ˛ace układ z punktu x0do celu (punktu 0).

Zadanie 19. Rozwa ˙zmy układ

˙x(t) = a·x(t) +u(t), gdzie: T (.) ≡ {1}, a <0, m=n=1.

Pokaza´c, ˙ze dla dowolnego punktu startowego x₀ istnieje sterowanie czaso-optymalne typu bang-bang i kawałkami stałe przeprowadzaj ˛ace układ z punktu x0do celu (punktu 0).

Zadanie 20. Rozwa ˙zmy problem skalarny

˙x =u, x(0) = 0,

gdzie: T (.) ≡ {0}, u ∈ U = {u(.): u(.) jest mierzalna i 0≤u(t) < _∞}, J (u(.)) = Rt_u

0 |x(s)|²ds ≥0.

Pokaza´c, ˙ze problem ten nie posiada rozwi ˛azania optymalnego.

Marek Majewski, Łód´z, 12 stycznia 2013.

3