ZADANIA DLA MATURZYSTÓW

ZADANIA DLA MATURZYSTÓW – DZIAŁAMI

Potęgi, pierwiastki, logarytmy, działania na liczbach, zastosowanie wzorów skróconego mnożenia, dowodzenie

1. Oblicz:

a)

5 , 0 4

4 4

0

2 1

1



 ^

h) 2 7 3 2 7  3

b) 6 7 4 i) ^{63 2}

 

₃^{1 4}

c) ^{3 3}

3 3 1

5

4 8 0,12

1

2  



 



   j) ³

 

8 ^116⁴³ d)



^{3 23}

 

^{2 3 23}



² k)

2 18 50 

e)



^{9 11}

 

^{2 9 11}



² l) ^{32 }



^221



²

f)

2

15 8 15

8 



    ł) 1 ³ 12

27 1 16

9 



 



 

g)

2

3 2 3

2 





    m) ^_^{22 }

 

₆^{1 1}_^12

2. Zapisz w postaci jednej potęgi a^x,aC^,xW.

a) 27^2 9⁶ d) ^323:

 

₈^{1 4} g) ³9 ⁵27 b) 16 ³4 e) 9^53⁸ h) 9 ³81 c)



^31642



³ f) 125⁵:5¹¹ i) ^{1284 :}

 

₃₂^{1 4}

3. Oblicz x.

a) xlog ₂2 2 h) xlog4log5log2 b) logx3 i) xlog₂20log₂5 c) log_x92 j) xlog₄8log₂2 d) xlog100log₂8 k) xlog₅5log₅125 e) x25^log52 l) xlog₃27log₃1 f) xlog0,1log₂16 ł) xlog₂42log₃1 g) xlog₃36log₃4

4.

a) Oblicz:



^{3 2}

 

^{242 2}



^.

b) Oblicz:

2 5

2 5



 .

c) Oblicz:



^{2 3 2}



^2.

d) Podaj liczbę odwrotną do liczby 2  w postaci 1 a 2b;a,bW .

e) Ciąg

 

a_n jest określony wzorem a_n  n ²4 3. Sprawdź, którym wyrazem tego ciągu jest liczba: ^32



^{2 3}



^2.

5.

a) Torba kosztowała 40zł, a po podwyżce 50zł. O ile procent podwyższono cenę tej torby?

b) Stół kosztował 320zł. Ile kosztuje stół po podwyżce ceny o 20%?

c) Dodatnia liczba x stanowi 70% liczby y. Zapisz liczbę y w zależności od x.

d) Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

e) Samochód kosztował 30 000zł. Jego cenę obniżono o 10%, a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o 10%. Ile kosztował samochód po dwóch obniżkach?

f) Pierwsza rata stanowi 9% ceny roweru i jest równa 189zł. Ile kosztuje rower?

g) Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o 30%. O ile procent zmniejszyła się cena nart w wyniku obu obniżek?

h) Marża równa 1,5% kwoty pożyczonego kapitału wynosiła 3000 zł. Ile pożyczono?

i) Długość boku kwadratu K2 jest o 10% większa od długości boku kwadratu K1. O ile procent większe jest pole kwadratu K2 od pola kwadratu K1?

j) Liczby a i b są dodatnie oraz 12% liczby a jest równe 15% liczby b. Ile jest równa liczba a?

k) Suma liczby x i 15% tej liczby jest równa 230. Napisz równanie opisujące tę zależność.

6. Szósta część pewnej liczby jest o 240 mniejsza od połowy tej liczby. Oblicz tę liczbę.

7. Wykaż, że liczba ^a



^{22 5}



^{2 2 5} jest całkowita.

8. Wykaż, że liczba



^120132

 

^120134



jest dzielnikiem liczby

7 6

5 4

3

2 2013 2013 2013 2013 2013

2013 2013

1       .

9. Wykaż, że jeśli a0, to

2 1 1

2 1 

 

 a

a

a .

10. Uzasadnij, że jeżeli



^{a2 b2}



^c2d2



^

^

^acbd

^

^{2, to ad bc.}

11. Uzasadnij, że jeżeli a b1 i a²  b² 7, to a⁴  b⁴ 31.

12. Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają nierówności 0abc, to 2

3

b a c b

a    .

13. Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

14. Wykaż, że liczba 6¹⁰⁰ 26⁹⁹ 106⁹⁸ jest podzielna przez 17.

15. Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16 czyli 123...16 jest podzielny przez 215.

16. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność 4

2

2 2

2xy y  x y

x .

17. Wykaż, że liczby

3 2 2

5



 

a oraz b10 215 są liczbami przeciwnymi.

18. Wykaż, że liczba



^{12 3}



^{2  125} jest naturalna.

19. Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 6.

20. Uporządkuj rosnąco liczby: ^a

 

^{22 3, b}

  ^{ }

^{8 2 13, c3 82 .}

21. Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba 3^n22^n23ⁿ2ⁿ jest wielokrotnością liczby 10.

22. Udowodnij, że dla dowolnych x, y, z takich, że xyz3 prawdziwa jest nierówność

2 3

2

2 y z 

x .

23.Wykaż, że dla każdych liczb rzeczywistych x i a prawdziwa jest nierówność



x2a



² 8ax. Zbiory, przedziały i wartość bezwzględna

1. Wyznacz: AB, AB,A\B,B\A, jeśli: ^A



^{xC:x2 4}



^{i B}



^1;0;1;2;3



^.

2. Wyznacz przedział do którego należą liczby spełniające obie nierówności:

2x37 i 34x19.

3. Wyznacz: AB, AB,A\B,B\A, jeśli: A



;3 i B



2;5



.

4. Spośród 40 uczniów pewnej klasy 17 gra w szachy, 21 w brydża, a 6 gra i w szachy, i w brydża.

Narysuj odpowiedni diagram i odpowiedz na pytania Ilu uczniów tej klasy:

a) gra w brydża, a nie gra w szachy;

b) nie gra ani w szachy, ani w brydża?

5. Rozwiąż nierówność x 4, zaznacz na osi liczbowej i zapisz zbiór rozwiązań tej nierówności.

6. Rozwiąż nierówność 2 x 5, zaznacz na osi liczbowej i zapisz zbiór rozwiązań tej nierówności.

7. Oblicz: 5734.

8. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór ^A



 ^{x,y R2: x 3  y 2}



^.

9. Rozwiąż równanie: x2 5 10. Rozwiąż równanie: 1 6

2

1x  . 11. Rozwiąż równanie:



x¹



² ³ 12. Rozwiąż nierówność: x2 7. 13. Rozwiąż nierówność: 2x3 6. 14. Rozwiąż nierówność: x²  x2 14. 15. Rozwiąż nierówność: x²8x16  x46.

16. Wyznacz wszystkie podzbiory zbioru A, jeśli: ^A



^{x:xCx22}



^.

17. Wykaż, że liczba a 53 52jest naturalna.

18. Wykaż, że liczba ^a



^{22 5}



^{2 2 5}jest całkowita.

19. Oblicz błąd bezwzględny i błąd względny jaki popełniono, przybliżając liczbę 12,36 liczbą 12,4?

20. Uprość wyrażenie: x1 x3 x² dla x1. 21. Wykaż, że 62 5  94 5 1.

Funkcje, funkcja liniowa, kwadratowa, wymierna, wykładnicza

1. Wyznacz dziedzinę funkcji f. Podaj punkty, w których jej wykres przecina osie układu współrzędnych.

a)

 

8 2

2



  x x x

f , b)

 

6 3

3



  x x x

f , c)

 

16 1

2 

  x x x

f , d)

 

9 3

2 

  x x x

f , e)

    

^{1 6}⁴

 

x x x x

f , f)

    

^{33 9}²

 

x x x x f 2. Punkty: A, B, C, D należą do wykresu funkcji f. Oblicz a, b, c i d.

a)

 

²₂

x

x

f  , A (a, 8), B (1, b), C ( 2 , c), D (3 2, d) b)

 

x x

f  ¹ , A (a, 2), B (b, 1), C (4, c), D (12, d) 3. Funkcja określona jest wzorem

 











 

4 2

1

2 3

2

x dla

x dla x x

f a) Uzupełnij tabelę.

x -3 3

f(x) 0

b) Naszkicuj wykres funkcji f.

c) Podaj wszystkie liczby całkowite x spełniające nierówność f

 

x 6 4. Wyznacz współczynnik b, jeżeli:

a) miejscem zerowym funkcji f

 

x  3xb jest 2,

b) wykres funkcji f

 

x  3xb przechodzi przez punkt (1, 2).

5. Wyznacz wzór funkcji liniowej, która spełnia podane warunki.

a) ^f

 

₃^{1 3 i f}

 

^₃^{2 0} b) ^f

 

^{2 6 i} f

 

2 6 6. Wyznacz równanie prostej AB. Sprawdź, czy należy do niej punkt C.

a) A (-2, 6), B (2, -2), C (5, 8) b) A (-1, 7), B (-9, -1), C (1, 9)

7. Wyznacz wzór funkcji liniowej g, której wykres przechodzi przez punkt P i jest równoległy do wykresu funkcji f. Oblicz g (-6).

a) f

 

x 3x2,P

 

2,2 b)

 

^1,

 

^4,2

2

1x P x

f  

c) ^f

 

^{x  3x5,P}

 

^3,0 d)

 

^2,



^{4 3,1}



2

3  

 x P

x f

8. Wyznacz wzór funkcji liniowej g, której wykres przechodzi przez punkt P i jest prostopadły do wykresu funkcji f. Wyznacz miejsc zerowe funkcji g.

a) f

 

x 4x,P

 

4,2 b) f

 

x 2x1,P



6,2



c)

 

4,

 

1,4 3

1x P x

f   d) ^f

 

^{x  2x1,P}



^2,1



9. Wyznacz wartość parametru m, dla której proste k i l są równoległe.

a) k:y2x9, l:y4mx1 b) ^{k:y3mx2, l:y}



^2m4



^x1

10. Wyznacz wartość parametru m, dla której proste k i l są prostopadłe.

a) k:yx3, l:y2mx2 b) ^{1, :}



^{1 2}



⁶

3

:y1x l y  m x k

11. Dla jakiej wartości parametru a miejscem zerowym funkcji f jest liczba x ? ₀ a) f

  

x  ¹a



x^2, x0 ⁴ b) f

  

x  ³a²



x^10, x0 ² c) f

 

x 



a ²



x^2, x0  ² d) f

 

x 



³³a



x^18, x) ^{3 3} 12. Dana jest funkcja f

  

x  2a



x4. Wyznacz a, jeśli:

a) punkt A(-2, 6) należy do wykresu funkcji f ,

b) wykresy funkcji f i g

 

x 2 x 2 przecinają oś OX w tym samym punkcie.

13. Miejscem zerowym funkcji f

 

x  ax2 jest liczba

2

1 . Wyznacz wzór funkcji f i podaj argumenty, dla których wartości funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g

 

x 3 x 4.

14. Zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.

a) f

 

x x² 4x4 b) f

 

x x² 6x c) f

 

x 2x² 4x4

15. Podaj punkty przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych. Zapisz wzór funkcji f w postaciach iloczynowej i kanonicznej oraz naszkicuj jej wykres.

a) f

 

x  x² 4x3 b) f

 

x x² 4x5 c) f

 

x 2x² 4x3 16. Wykresem funkcji f

 

x 2x² bxc jest parabola o wierzchołku w punkcie W. Wyznacz współczynniki b i c oraz podaj najmniejszą wartość funkcji f.

a) W (0, 2) b) W (0, 0) c) W (2, 5) d) W (-1, -3)

17. Wyznacz współczynnik c taki, aby zbiorem wartości funkcji f

 

x x² 2xc był podany przedział. Podaj wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

a)



^{; 2} b)



^;0 c)



^;4 d)



^{;3 2}

18. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f i zapisz jej wzór w postaci iloczynowej (jeśli jest to możliwe).

Naszkicuj wykres funkcji f i odczytaj z niego, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości nieujemne.

a) ^f

 

^{x  x2 4x5} b) ^f

 

^{x x2 x6} c) ^f

 

^{x 2x2 7x4}

19. Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji

 

10 3

2

2 2





 

x x

x x x

f .

20. Wykres funkcji f danej wzorem ^f

 

^{x 2x2} przesunięto wzdłuż osi OX o 3 jednostki w prawo i wzdłuż osi OY o 8 jednostek w górę; powstał wykres funkcji g.

a) Rozwiąż nierówność f

 

x 5 3x. b) Podaj zbiór wartości funkcji g.

c) Funkcja g określona jest wzorem g

 

x 2x² bxc. Oblicz b i c.

21. Do wykresu funkcji

 

x x

f ¹⁵ należy punkt A. Oblicz k.

a) A (3, k) b) A (

2

 , k-1) c) A (k + 1, 10) 5

22. Miejscem zerowym funkcji f jest liczba 2. Oblicz k.

a)

 

 1

x

x k

f b)

 

 ¹_k3 x x

f c)

 

k x

x

f 5

 2

 23. Do wykresu funkcji

 

2

 x

x a

f należy punkt ^P



^{5 ,} ₂¹



^.

a) Wyznacz parametr a.

b) Oblicz ^f

 

^₂^{1 i f}



^{3 1}



^.

24. Dana jest funkcja

 

2

2 8 

 _^

k

x x

f . Oblicz k , jeśli miejscem zerowym funkcji jest liczba

2 3. 25. Miejscem zerowym funkcji f

 

x k

x

 ³ jest liczba

2 3. a) Podaj wzór funkcji f i narysuj jej wykres.

b) Odczytaj z wykresu wartość najmniejszą i wartość największą funkcji w przedziale 1;3 . 26. Wiedząc, że dziedziną funkcji

a x

x x

f  ^_

2

) 7

( jest przedział: (,2)(2,), wyznacz a.

27. Dana jest funkcja ^f

 

^{x }

 

₂^{3 x a}. Oblicz a, jeżeli:

a) wykres funkcji przechodzi przez punkt

 

^1;₂^{1 ,}

b) miejscem zerowym funkcji jest liczba –2.

28. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą m, dla której funkcja ^f

 

^{x }



^{2 1}₃^m2



^xjest malejąca.

29. Określ monotoniczność funkcji określonej wzorem: f(x)a^x, jeżeli do jej wykresu należy punkt P( ; 2)

2

1 .

30. Naszkicuj wykres funkcji: f(x)2^xa ajeśli alog_0,2516 a) określ zbiór wartości

b) podaj równanie asymptoty poziomej c) rozwiąż nierówność y<0

d) sprawdź, czy punkt (-4;

4

9) należy do wykresu funkcji

Funkcje, funkcja liniowa, kwadratowa, wymierna, wykładnicza

1. Wiedząc, że liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej: f

  

x  2m



x1, oblicz m.

2. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).

Wskaż rysunek na którym jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x + 1).

3. Wyznacz równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem yx²4x11. 4. Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział (-∞, 3).

a) f

  

x  x ²



²³ b) f

  

x  ²x



²³ c) f

  

x  x 2



² 3 d) f

  

x  2x



²3

5. Wykres funkcji kwadratowej f

  

x  x³ ¹



²⁴ nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu a) y = 1 b) y = -1 c) y = -3 d) y = -5

6. Prosta o równaniu y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej 10

2 6 



 x x

y . Wynika stąd, że

a) a = 3 b) a = 0 c) a = -1 d) a = -3 7. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej:

a) ^f

 

^{x x24x3} w przedziale <0, 3> b) ^f

 

^{x x26x1} w przedziale <0, 1>.

8. Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y  x2 7. a) y2 x 7 b) 5

2 1 



 x

y c) 2

2 1 

 x

y d) y x2 1 9. Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y x4 5 a) y4 x 3 b) 3

4 1 



 x

y c) 3

4 1 

 x

y d) y x4 3 10. O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1) = 2 oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt P = (-2,3).

Wyznacz wzór funkcji f.

11. Oblicz miejsca zerowe funkcji

 











 

0 2

0 1

2

x dla x

x dla x x

f

12. Naszkicuj wykres funkcji

 











 

0 2

0 1

2

x dla x

x dla x x

f

13. Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2x y110 i przechodzącej przez punkt P = (1,2).

14. Wyznacz m, dla którego funkcja liniowa f

  

x  m1 



x 6 jest rosnąca.

15. Punkt A( 5,a)należy do prostej o równaniu 5x y2 3 50, wyznacz a.

16. Wyznacz wartość parametru m wiedząc, że proste o równaniach l:2x y3 7 i k:



m1



xy2 są równoległe.

17. Prosta o równaniu y5xm3 przechodzi przez punkt A



4,3



. Wyznacz m.

18. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B jeżeli A



2,10



i B



1,1



. 19. Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej y x6 10 przechodzącej przez punkt



1,2





A oraz równanie prostej prostopadłej do tych prostych przechodzącej przez punkt B



0 , 3



. 20. Prosta o równaniu ^y2x



^3m3



przecina w układzie współrzędnych oś OY w punkcie (0, 2).

Wyznacz m.

21. Wskaż m, dla którego funkcja liniowa określona wzorem f

  

x  m1 



x 3 jest stała.

22. Wyznacz równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli o równaniu yx² 4x2010. Równania i nierówności

1. Podaj pierwiastki równania:

a) (x3)(x7)0 b) (4x8)(156x)0 c) 3x(x12)0 d) (x² 4)(2x5)0 2. Rozwiąż nierówności:

a) (x5)(x6)0 b) 3x(x13)0 c) (2x4)(135x)0 d)  x(3 11)² 0 e) x²  x120 f) x²  x0,250 g) x² 1¹₃x₃¹ 0 h) 2₃¹x²  x6 110 i) x² x20 j) 7x²  x9 0 k) 4x² 8x40 l) 24 x6 ² 0 m) x² 6x90 n) 3x²  x3 30 3. Rozłóż na czynniki:

a) x² 49 b) 81x² 121 c) 14425x² d) x⁴ 16 e) x³ 27 f) 8x³

g) x²  x6 9 h) 4x² 7x2 i) 3x³ 4x² 18x24 j) 4x⁵ 3x⁴ x³

4. Rozwiąż równania:

a) ₄¹x³ x² 0 b) x³ 6x² 9x0 c) x⁵ 2x⁴ 15x³ 0 d) 5x³4x² 4x0 e) x³ x² 9x90 f) x³ 9x² 2x180

g) 2x ³ 4x² h) x³ 3x² 4x120 i) 2x³ x² 6x30 j) 81x³ 9x² 9x10 k) x³ 3x² 16x480 l) x³ 2x² 5x100 Ciągi liczbowe

1. W ciągu geometrycznym dane są a₁ 2ia₂ 12. Oblicz a . ₅ 2. W ciągu arytmetycznym dane są a₁ 3ia₂₀ 7. Oblicz S . ₁₀

3. Ciąg



1,x,y1



jest arytmetyczny, natomiast ciąg



^{x, y,12}



jest geometryczny. Oblicz x oraz y.

4. W ciągu arytmetycznym dane są a₃ 13ia₅ 39. Oblicz wyraz pierwszy i różnicę tego ciągu.

5. W ciągu geometrycznym dane są a₁ 3ia₄ 24. Oblicz iloraz tego ciągu.

6. Dany jest ciąg określony wzorem a_n 

  

1ⁿ 3n



. Oblicz a ₃. 7. Wykaż, że dla każdego m ciąg _



 



   

12 , 9 6 , 3 4

1 m m

m jest arytmetyczny.

8. Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym a₇ 1ia₁₁9. a)Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

b)Sprawdź, czy ciąg



a₇,a₈,a₁₁



jest geometryczny.

c)Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów tego ciągu arytmetycznego miała wartość najmniejszą.

9. Nieskończony ciąg liczbowy

 

an jest określony wzorem a_n 2  _n¹ . a)Oblicz, ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 1,975.

b)Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg a₂,a₇,x jest arytmetyczny. Oblicz x.

10. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem S_n n² 13n. a)Wyznacz wzór na n – ty wyraz tego ciągu.

b)Oblicz a₂₀₀₇.

c)Wyznacz liczbę n , dla której a_n 0.

11. Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a₁ 12ia₃ 27. a)Wyznacz iloraz tego ciągu.

b)Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.

c)Oblicz a ₆. 12. Dany jest ciąg

1 3

2



  n

a_n n . Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od .¹₂ 13. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:

2 1 3



  n a_n n . 14. Zbadaj czy ciąg o wyrazie ogólnym: a_n n

3 3 1

 jest arytmetyczny, a następnie określ czy jest on rosnący czy malejący?

15. Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego, wiedząc, że tworzą one ciąg arytmetyczny, a pole trójkąta wynosi 6.

16. Liczby 3, x, y tworzą rosnący ciąg geometryczny, zaś liczby x, y, 18 rosnący ciąg arytmetyczny.

Znajdź liczby x, y.

17. Zbadaj, czy ciąg: a_n 3 4ⁿ jest ciągiem geometrycznym.

18. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 5, a iloraz q = 2. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy zsumować, aby otrzymać 315.

19. Wyznacz te wartości x , dla których ciąg



2x1.4x1,x7



jest arytmetyczny.

20. Wyznacz te wartości x , dla których ciąg



2,x1,8



jest geometryczny..

21. Ile wyrazów ciągu o wyrazie ogólnym a_n n² 7n30 jest liczbami ujemnymi?

22. Sprawdź, czy istnieją takie wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym a_n 2n² 9n11, które są równe 7.

23. Ciąg



1,x,y1



jest arytmetyczny, natomiast ciąg



x, y,12



jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny.

24. Nieskończony ciąg geometryczny

 

a_n jest określony wzorem a_n 73^n1, dla n1. Oblicz wyraz pierwszy i iloraz tego ciągu.

25. Ciąg



9 x, ,19



jest arytmetyczny, a ciąg



x,42,y,z



jest geometryczny. Oblicz x, y, z.

26. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Funkcje trygonometryczne

1. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego , jeśli:

a) sin  ⁸₉ b) tg ₃⁴ c) cos  ³₄ d) ctg 2 e) sin ₁₁³ f) tg ₁₂⁵ g) sin



90



₁₃¹² h) cos



90



 ₄³ i) tg



90



 ₂₄⁷ j) ctg



90



 ₄³ 2. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę . Oblicz sincos.

3.  - kąt ostry i cos ₁₇⁸ . Oblicz tg² 1. 4.  - kąt ostry i sin  ₄³. Oblicz 2 cos². 5. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 

a) b) c)

6. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 4 i 6, cosinus kąta ostrego trapezu jest równy ₂¹ . Oblicz obwód trapezu.

7. W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 13, długość podstawy 10. Oblicz cos i tg ,  gdzie  - kąt przy podstawie trójkąta.

8. Podaj w przybliżeniu kąt , jeśli

a) cos  ¹₃ b) sin  ₄⁷ c) tg 3 d) ctg  ₂³ 9.  - kąt ostry i tg 2. Oblicz wartość wyrażenia ^{cos }_cos^ _^sin .

10. Kąt ostry rombu ma miarę 30, jego bok 4 cm. Oblicz pole rombu.

11.  - kąt ostry i sin cos80^{. Oblicz} .

12. Wysokość trapezu prostokątnego jest dwa razy dłuższa od różnicy długości jego podstaw. Oblicz



tg , gdzie  - kąt ostry trapezu.

13. sincos  ₄¹. Oblicz:

a)



sincos



² b)



sin cos



²

14. W trójkącie prostokątnym kąty ostre to  i  , tg 0,4. Oblicz tg . 15. Dany jest trapez równoramienny. Oblicz obwód trapezu.

16.  - kąt ostry i tg ₅⁴. Oblicz ^3sin₂^_sin^4_^cos .

17. Pole rombu jest równe 3 cm². Bok rombu ma długość 6cm. Oblicz miarę kąta ostrego rombu.

Planimetria

1. Pole rombu wynosi 24 3, a jego wysokość 6. Ile wynosi kąt ostry rombu?

2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość 3. Oblicz pole tego trójkąta.

3. Boki trójkąta ABC mają długości 3, 7 i 6. Obwód trójkąta EFG podobnego do trójkąta ABC wynosi 40.

Oblicz najdłuższy bok trójkąta EFG.

4. Trójkąt ABC jest równoramienny, AD – wysokość, AB = AC. Obwód trójkąta ADC wynosi 30, a obwód trójkąta ABC wynosi 36. Oblicz długość odcinka AD.

5. Różnica miar dwóch kątów przyległych jest równa 100. Oblicz miary tych kątów.

6. W trapezie prostokątnym krótsza podstawa ma długość 6, wysokość 4, a kąt ostry ma miarę 45.

Oblicz obwód tego trapezu.

7. Przekątna prostokąta o długości 10cm tworzy z dłuższym bokiem prostokąta kąt o mierze 30. Oblicz pole tego prostokąta.

8. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 10 i 12, a ramię długość 4. O ile centymetrów należy przedłużyć każde z ramion, aby się przecięły?

9. W okrąg wpisano trójkąt ABC w ten sposób, że bok AC jest średnicą okręgu. Z wierzchołka kąta ABC poprowadzono wysokość, która podzieliła bok AC na odcinki o długości 4cm i 9cm. Oblicz długość tej wysokości.

10. Bok rombu ma długość 17, a jego dłuższa przekątna 30. Oblicz pole tego rombu.

11. Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższa podstawą trapezu kąt 60 i jest prostopadła do boku trapezu. Każde z ramion ma długość 4dm. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu.

12. Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 32cm. Podstawa trójkąta jest o 1cm dłuższa od ramienia. Oblicz pole trójkąta.

13. Wysokość trójkąta równobocznego wynosi 2 3. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

14. Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego ma miarę cztery razy mniejszą od miary kąta przy podstawie. Oblicz miary kątów trójkąta.

15. Stosunek miar kątów trójkąta jest równy 2:3:4. Oblicz miary kątów trójkąta.

16. Dany jest prostokąt o bokach 4 i 8. Środki boków prostokąta są wierzchołkami rombu. Oblicz pole i obwód rombu.

17. Suma miar katów środkowego i wpisanego opartych na tym samym łuku jest równa 126. Oblicz miary tych kątów.

18. Oblicz obwód trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość 9.

19. Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 1dm i 4cm oraz kącie rozwartym 150.

20. Stosunek długości przekątnych rombu, którego bok ma długość 8cm, jest równy 4:3. Oblicz pole rombu.

21. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1cm i od drugiej przyprostokątnej o 32cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Geometria analityczna

1. Dana jest prosta p:6x y2 30. Napisz równanie prostej równoległej do prostej p i przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

2. Dana jest prosta p:3x y2 60. Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej p i przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

3. Dana jest prosta k:2x y40. Napisz równanie prostej równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt P(2; -1).

4. Dana jest prosta k:3x y3 60. Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt P(-2; 3).

5. Wyznacz punkty przecięcia prostej 2x5y10 z osiami układu współrzędnych.

6. Środkiem odcinka KL, gdzie L(-1; -2) jest punkt S(-2; 0). Wyznacz współrzędne punktu K.

7. Punkt P(3; m-2), gdzie mR, jest środkiem odcinka AB takiego, że A(2; -1) i B(4; 3). Wyznacz m.

8. Ile punktów wspólnych mają proste o równaniach: y x2 4 i y x2 6? Narysuj te proste.

9. Wyznacz ilość punktów wspólnych okręgu o równaniu x²  y



2



² 3 z osią OX.

10. Do prostej k należą punkty P(-1; 4) i M(1; 2). Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej k.

11. Prosta o równaniu 3x y60 wraz z osiami układu współrzędnych wyznacza trójkąt. Oblicz jego pole.

12. Oblicz odległość środka okręgu o równaniu x²  y² 2x30 od początku układu współrzędnych.

13. Punkty R(2; 4) i N(-4; -2) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ARON. Oblicz pole koła opisanego na tym kwadracie.

14. Wyznacz ilość punktów wspólnych okręgu o promieniu 4 i środku w punkcie K(0; 3) z prostą o równaniu x y1 0.

15. Określ wzajemne położenie prostych: k:xy20 i l:x y30. Narysuj je.

16. Prosta p:x y40 jest symetralną odcinka SK, gdzie K(-5; 5). Wyznacz punkt S.

17. Punkty P(-2; -2) i R(-1; -2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego PAR. Oblicz wysokość tego trójkąta.

18. Prosta p jest równoległą do prostej y4 x 1 i przechodzi przez punkt ^P

 

₂^1;0 . Wyznacz równanie prostej p.

19. Prosta o równaniu



^a1



^{xy30} przecina prostą x by1 0 w punkcie (-1;-1). Wyznacz a i b.

20. Oblicz odległości środków okręgów o równaniach:



^x1

 

^{2  y2}



^{2 1 i}



^x2



^{2 y2 5.}

21. Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB, gdy A(-2; 3) i B(2; 1).

22. Boki trójkąta zawierają się w prostych o równaniach: x y1 0, y 3, 2x2y10. Wykaż, że trójkąt jest prostokątny.

23. Znajdź równanie okręgu o środku w punkcie P(-1; 1) stycznego do prostej o równaniu x 4. 24. Prosta o równaniu 2x y10 przecina prostą o równaniu x y1 0 w punkcie P. Znajdź współrzędne punktu R symetrycznego do punktu P względem osi OX.

25. Punkty A

 

1,5, B



14,31



, C



4,31



są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz długość odcinka BD.

26. Prosta y x4 przecina okrąg o równaniu



x¹

 

²  y²



² ²⁵ w punktach A i B. Oblicz

współrzędne punktów A i B, a następnie oblicz obwód trójkąta ABS, gdzie S jest środkiem danego okręgu.

Stereometria

1. Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu 12 cm. Oblicz promień podstawy stożka.

2. Dany jest prostopadłościan o wymiarach 3 x 4 x 5 cm. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

3. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

4. Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 24. Oblicz objętość tego sześcianu.

5. Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8 cm. Punkt D jest środkiem krawędzi AB, odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7.

Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa.

6. Przekątna sześcianu ma długość 3 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

7. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 24 . Oblicz objętość tego sześcianu.

8. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12 cm. Wysokość stożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

9. Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy.

10. Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta równoramiennego ACS jest równe 120 oraz AC:AS = 10:13. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

11. Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD, odcinek EF jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że AE=15 i BE=17.

12. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEFGH przekątna AC podstawy ma długość 4.

Kąt ACE jest równy 60⁰. Oblicz objętość ostrosłupa ABCDE.

13. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 4. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

14. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD i wierzchołku S trójkąt ACS jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

15. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100cm², a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.

16. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 24, a kąt płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę  i tg 2. Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

1. Ile jest liczb trzycyfrowych:

a) parzystych

b) podzielnych przez 5

2. Na ile sposobów można rozmieścić 6 ponumerowanych kul w 4 szufladach?

3. Ile różnych napisów można utworzyć ze wszystkich liter wyrazu „pole”?

4. Na ile sposobów można ustawić 3 piony na szachownicy (6wierszy x 3 kolumny) po jednym pionie w każdej kolumnie, nie mogą jednak 2 piony znaleźć się na tej samej linii poziomej?

5. Na ile sposobów można ustawić w szeregu pięciu chłopców i pięć dziewczynek tak, aby żadnych dwóch chłopców i żadne dwie dziewczynki nie stały obok siebie?

6. Autobus wiozący 15 pasażerów zatrzymuje się na 4 przystankach. Na ile sposobów pasażerowie mogą wysiąść z autobusu?

7. Dane są cyfry 1, 2, 3, 4, 5. Obliczyć, ile z danych cyfr można utworzyć liczb dwucyfrowych podzielnych przez 3?

8. Ile można utworzyć permutacji ze wszystkich liter wyrazu „elipsa” rozpoczynających się od litery „p”?

9. Ile można wykonać różnych dwukolorowych chorągiewek w podłużne pasy mając do dyspozycji cztery kolory papieru?

10. Do windy zatrzymującej się na 9 piętrach wsiadły 3 osoby. Obliczyć, na ile sposobów osoby te mogą opuścić windę?

11. Na ile różnych sposobów można uporządkować zbiór liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tak, aby pomiędzy liczbami 3 oraz 4 były dokładnie dwie liczby?

12. W karcie dań jest 5 zup i 4 drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania?

13. Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste.

14. Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry setek.

15. W czterech rzutach sześcienną kostką otrzymano następujące liczby oczek: 6, 3, 1, 4. Podaj średnią arytmetyczną i medianę tych danych.

16. Średni wzrost sportowców w drużynie siatkarskiej, liczącej 6 chłopców, wynosi 174cm. Po przyjęciu do zespołu dwóch braci o tej samej wysokości średnia wzrostu zwiększyła się o 0,5cm. Oblicz, jak wysocy są bracia.

17. Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000zł, a pensje pozostałych pracowników są równe:

2000zł, 2800zł, 3400zł, 3600zł, 4200zł. Oblicz średnią zarobków i medianę zarobków.

18. Wśród 15 osób przeprowadzono ankietę: ile książek przeczytała każda z nich w ciągu ostatniego miesiąca. W tabeli przedstawiono wyniki ankiety.

Liczba przeczytanych książek 0 1 2 3 4 5 6

Liczba osób 2 2 3 1 2 4 1

Wyznacz medianę, dominantę i średnią arytmetyczną liczby przeczytanych książek.

19. Wyznacz średnią arytmetyczną, medianę i dominantę zestawu liczb: 3, 10, 13, 12, 7, 3, 5, 8, 7, 8.

20. Mediana uporządkowanego niemalejącego zestawu sześciu liczb: 1,2,3,x,5,8 jest równa 4. Oblicz x.

21. W pewnej firmie zatrudniającej 30 pracowników średnie miesięczne wynagrodzenie wynosiło 2200zł.

Zatrudniono nowego pracownika. Ile zarabia nowo zatrudniony pracownik, jeśli obecnie średnie miesięczne wynagrodzenie jest o 2% wyższe niż poprzednio?

22. Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500zł. Za pięć z tych akcji zapłacono 2300zł. Oblicz cenę szóstej akcji.

23. Dane są liczby 2, 3, 7, 8. Oblicz odchylenie standardowe tych liczb z dokładnością do 0,1.

24. Rzucono sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczba oczek jest liczbą pierwszą.

25. Oblicz prawdopodobieństwo, że w rzucie trzema sześciennymi kostkami na każdej kostce wypadnie ta sama liczba oczek.

26. Rzucamy trzykrotnie monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł.

27. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowano liczby, których iloczyn jest podzielny przez 6.

28. Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to liczba podzielna przez 4.

29. Rzucamy dwa razy sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych oczek równy jest 12.

30. Cztery listy umieszczamy losowo w czterech zaadresowanych kopertach (po jednym liście w każdej kopercie). Oblicz prawdopodobieństwo, że każdy list trafi do właściwej koperty.

31. Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno bez zwracania trzy cyfry układając je w kolejności losowania zaczynając od cyfry setek. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymana w ten sposób liczba trzycyfrowa jest parzysta.

32. Średnia arytmetyczna liczb 7, 4, 9, 5, x jest równa 6. Wyznacz liczbę x.

33. Rzucamy 3 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dwóch orłów.

34. Oblicz P



A , wiedząc, że: B

      

12 11 9

5 3

2,  ,  

 P B P A B

A

P .

35. W urnie jest 4 kule białe, 3 czarne i 5 zielonych. Wyjmujemy losowo jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała lub czarna.

36. W urnie jest 5 kul białych i 7 zielonych. Losujemy z tej urny jedną kulę, a następnie z pozostałych kul drugą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy w ten sposób kule różnych kolorów.

37. Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno bez zwracania dwie cyfry układając je w kolejności losowania zaczynając od cyfry dziesiątek. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa jest parzysta.

38. W urnie znajdują się 3 kule białe i 5 czarnych. Losujemy jedną kulę, odkładamy na bok i następnie losujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych.

39. A i B są zdarzeniami losowymi zawartymi w zbiorze  takimi, że P

 

A 0,55 i P

 

B 0,48. Sprawdź, czy zdarzenia A i B mogą się wykluczać.

40. A i B są zdarzeniami losowymi zawartymi w zbiorze  takimi, że AB,P

 

A 0,6iP

 

B 0,8. Oblicz



A B

 

iP A B

 

i PB A



P   \ .