Oblicz obw´od tego tr´ojkaιta

AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie

OLIMPIADA

”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2008/9 MATEMATYKA - ETAP II

ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW

1. Suma dw´och liczb rzeczywistych wynosi 6. Jaka_ι najwie_ιksza_ι warto´s´c mo˙ze mie´c ich iloczyn?

2. Sprowad´z do najprostszej postaci wyra˙zenie

(a³+ b³)(a⁻¹− b⁻¹) (a⁻¹+ b⁻¹)[(a − b)²+ ab].

3. Odleg lo´s´c ´srodka okre_ιgu opisanego na tr´ojka_ιcie prostoka_ιtnym od przyprostoka_ιtnych wynosi odpowiednio p i q. Oblicz obw´od tego tr´ojkaιta.

4. Oblicz log₉cos^11π₆ − log₉sin^29π₆ .

ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW

5. Dla jakich m proste mx + (m + 1)y = 2 i 4x + (m + 4)y = 1 przecinajaι sieι

w punkcie le˙za_ιcym wewna_ιtrz II lub IV ´cwiartki uk ladu wsp´o lrze_ιdnych?

6. k pasa˙zer´ow wsiada do pocia_ιgu z lo˙zonego z 3 wagon´ow, przy czym ka˙zdy wybiera wagon niezale˙znie i z jednakowym prawdopodobie´nstwem ¹₃. Zak ladajaιc, ˙ze k ≥ 3, oblicz prawdopodobie´nstwo zdarze´n:

A - wszyscy wsia_ιda_ι do jednego wagonu, B - dok ladnie jeden wagon beιdzie pusty, C - ˙zaden wagon nie be_ιdzie pusty.

7. Podstawaι ostros lupa jest tr´ojkaιt ABC, w kt´orym bok AB ma d lugo´s´c a, a kaιty wewneιtrzne do niego przyleg le majaι miary β i γ. Kraweιd´z boczna ostros lupa wychodza_ιca z wierzcho lka C jest prostopad la do podstawy i ma d lugo´s´c d. Oblicz obje_ιto´sci bry l, na kt´ore ten ostros lup dzieli p laszczyzna r´ownoleg la do podstawy i odleg la od niej o ^d₃.