RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Maciej Burnecki zadania z odpowiedziami

(1)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Maciej Burnecki zadania z odpowiedziami

listy uproszczone

Spis treści

I Listy zadań 3

1 Równania pierwszego rzędu 3

o rozdzielonych zmiennych . . . 3

jednorodne . . . 4

liniowe . . . 4

Bernoulliego . . . 4

równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego . . . 4

zastosowania . . . 4

2 Równania liniowe wyższych rzędów 5 równania . . . 5

3 Układy równań liniowych 6 układy . . . 6

4 Przekształcenie Laplace’a 8 5 Stabilność punktów równowagi 8

II Przykładowe sprawdziany 8

6 Pierwsze kolokwium 8 Zestaw A . . . 8

Zestaw B . . . 9

Zestaw C . . . 9

Zestaw D . . . 9

Zestaw E . . . 9

Zestaw F . . . 9

Zestaw G . . . 9

7 Drugie kolokwium 10 Zestaw A . . . 10

Zestaw B . . . 10

Zestaw C . . . 10

Zestaw D . . . 10

(2)

8 Egzaminy zwykłe 11

Zestaw A . . . 11

Zestaw B . . . 11

Zestaw C . . . 11

Zestaw D . . . 12

Zestaw E . . . 12

Zestaw F . . . 12

Zestaw G . . . 13

Zestaw H . . . 13

Zestaw I . . . 13

Zestaw J . . . 14

9 Egzaminy łatwiejsze 14 Zestaw K . . . 14

Zestaw L . . . 14

Zestaw M . . . 15

III Odpowiedzi, wskazówki 15

Równania pierwszego rzędu 15 o rozdzielonych zmiennych . . . 15

jednorodne . . . 15

liniowe . . . 16

Bernoulliego . . . 16

równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego . . . 16

Równania liniowe wyższych rzędów 16 równania . . . 16

Układy równań liniowych 17 układy . . . 17

Przekształcenie Laplace’a 17 Stabilność punktów równowagi 17 Pierwsze kolokwium 17 Zestaw A . . . 17

Zestaw B . . . 17

Zestaw C . . . 18

Zestaw D . . . 18

Zestaw E . . . 18

Zestaw F . . . 18

Zestaw G . . . 18

Drugie kolokwium 18 Zestaw A . . . 18

Zestaw B . . . 18

Zestaw C . . . 18

Zestaw D . . . 18

(3)

Egzaminy zwykłe 18

Zestaw A . . . 18

Zestaw B . . . 19

Zestaw C . . . 19

Zestaw D . . . 19

Zestaw E . . . 19

Zestaw F . . . 19

Zestaw G . . . 20

Zestaw H . . . 20

Zestaw I . . . 21

Zestaw J . . . 21

Egzaminy łatwiejsze 22 Zestaw K . . . 22

Zestaw L . . . 22

Zestaw M . . . 22 Uwagi: Zmienną niezależną oznaczamy przez t. Stosujemy pełne oznaczenia, na przykład na wartości funkcji:

y(t), x(t), jednak przy rozwiązywaniu zadań, ze względu na długość obliczeń, lepiej pisać mniej formalnie: x, y, a także wprowadzać inne, skrótowe oznaczenia. Jeśli w odpowiedzi nie jest opisany zakres zmienności stałej, to oznacza, że jest nim cały zbiór liczb rzeczywistych R. Nie zajmujemy się opisywaniem dziedzin występujących funkcji przyjmując, że rozwiązania są określone na pewnym przdziale o niepustym wnętrzu.

Część I

Listy zadań

1 Równania pierwszego rzędu

o rozdzielonych zmiennych

1. Rozwiąż równanie

(a) y⁰(t) − y²(t) − 1 = 0, (b) y⁰(t) +y⁴(t) t² = 0, (c) y⁰(t) + e^t+y(t)= 0, (d) y⁰(t) − 2^−y(t)ln(t) = 0, (e) y⁰(t) − t²

y²(t) + 6y(t) + 9 = 0, (f) y⁰(t) +arc sin(t) 2y(t) = 0, (g) y⁰(t) − cos(t)

sin(y(t))e^t= 0, jeśli y(t) ∈ (π, 2π), (h) y⁰(t) − t sin(y(t)) = 0, jeśli y(t) ∈ [0, π], (i)^∗y⁰(t) − y²(t) − 2y(t) − α = 0, gdzie α ∈ R jest pewną stałą.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰(t) + y²(t) ctg(t) = 0, yπ 2

= 1, (b) (1 + t)y⁰(t) − 1 − y²(t) = 0, y (0) = 0, (c) e^ty⁰(t) = (y(t) + 1)², y(0) = 0, (d) y⁰(t) − cos(t)

sin(y(t)) = 0, y (0) = π 2, (e)p

1 − t²dy − 1 + y²(t) dt = 0, y 1 2

=

√3

3 , (f) 3y²(t)2^−tdy − tdt = 0, y(0) = 0, (g) y⁰(t) − (y(t) + 1)²cos(t) = 0, y (0) = 0, (h) y⁰(t) − 3t²

cos(y(t))= 0, y (0) = 0.

(4)

jednorodne

(a) t²dy + −y²(t) + y(t)t − t² dt = 0, (b) t dy −

y(t) + te^y(t)^t dt = 0 (c) t²y⁰(t) − 2y²(t) − ty(t) = 0, (d) ty⁰(t) − y(t) −p

t²− y²(t) = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t)t²− y²(t) − y(t)t − t²= 0, y(1) = 1.

liniowe

1. Dwoma sposobami, za pomocą czynnika całkującego oraz przez uzmiennianie stałej, rozwiąż równanie (a) y⁰(t) + 5y(t) = t, (b) y⁰(t) − 7y(t) = −5e^2t,

(c) y⁰(t) + 2y(t) = cos(t), (d) y⁰(t) − 3y(t) = −3 sin(t) + cos(t).

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe

(a) t dy + (y(t) − te^t) dt = 0, y(1) = 1, (b) tg t dy +

y(t)

cos²(t) + 1 t²− 1

dt = 0, yπ 4

= lnr 4 + π 4 − π .

Bernoulliego

(a) dy − 2y(t) + e^ty⁴(t) dt = 0, (b) y⁰(t)y(t) + ty²(t) + 4t = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) + y(t) = −2e^−3t

y²(t), y(0) = 1.

równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

(a) ty⁰⁰(t) + 2y⁰(t) = 0, (b) y⁰⁰(t) sin(t) − y⁰(t) cos(t) = 0, (c) y⁰⁰(t) + [y⁰(t)]²= −1, (d) y⁰⁰(t)y(t) + (y⁰(t))²= y⁰(t), (e) 7y(t) [y⁰(t)]⁵y⁰⁰(t) − [y⁰(t)]⁷− 1 = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰⁰(t) sin(t) − 2y⁰(t) cos(t) = 0, yπ

2

= 2π, y⁰π 2

= 4, (b) y(t)y⁰⁰(t) + [y⁰(t)]²− y⁰(t)[2y(t) + 1] = 0, y(0) = 1, y⁰(0) = 2.

zastosowania

1. Napełniony, stulitrowy zbiornik zawiera wodny roztwór soli o stężeniu 0, 1%. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 5 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością.

Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera wodny roztwór soli o stężeniu 0, 5%. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 10 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 20 litrów na minutę.

(5)

3. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 1). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy podwojonej rzędnej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.

4. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś odciętych w punkcie (1, 0). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy rzędnej punktu styczności, pomniejszonej o 4. Wyznacz równanie tej krzywej.

5. Studzimy kawę o temperaturze początkowej T0 = 90^◦C na zewnątrz budynku, z temperaturą powietrza Tp = 10^◦C. Przez pierwsze pięć minut napój ochłodził się o 20^◦C. Po jakim czasie temperatura kawy spadnie do 40^◦C?

Wskazówka: prawo Newtona orzeka, że prędkość schładzania jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur T (t)ciała i τ otoczenia, to znaczy T⁰(t) = −k(T (t) − τ ), gdzie k > 0 jest stałą zależną od materiału.

6. Zamykamy w chwili początkowej t0 = 0 obwód, składający się z szeregowo połączonych opornika o oporności R = 10 Ω, rozładowanego kondensatora o pojemności C = 5 F i dwunastowoltowej baterii. Wyznacz ilość q(t) ładunku (w kulombach) na ścianie kondensatora oraz natężenie I(t) prądu (w amperach), w zależności od czasu.

Wskazówka: spadek napięcia na oporniku to I(t)R (prawo Ohma), a na kondensatorze q(t)

C . Zgodnie z prawem Kirchhoffa, suma tych napięć jest równa sile elektromotorycznej źródła prądu.

7. (a) Zaobserwowano, że po roku z jednego grama substancji promieniotwórczej ubyła 0,1g. Wyznacz czas poło- wicznego rozkładu tej substancji.

(b) Czas połowicznego rozkładu pewnej substancji promieniotwórczej wynosi 5 lat. Po jakim czasie zostanie 10%masy tej substancji?

Wskazówka: prędkość rozpadu substancji promieniotwórczej jest wprost proporcjonalna do ilości tej substancji.

2 Równania liniowe wyższych rzędów

równania

1. Rozwiąż równanie jednorodne

(a) y⁰⁰(t) − 5y⁰(t) − 14y(t) = 0, (b) y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 53y(t) = 0,

(c) y⁽³⁾(t) − 2y⁰(t) − 4y(t) = 0, (d) y⁽⁴⁾(t) + 8y⁽³⁾(t) + 10y⁰⁰(t) − 48y⁰(t) + 29y(t) = 0.

2. Metodami współczynników nieoznaczonych oraz uzmienniania stałych rozwiąż równanie

(a) y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) + 2y(t) = e^−t, (b) y⁰⁰(t) + 6y⁰(t) + 8y(t) = 16t², (c) y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 3y(t) = 3t, (d) y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) + 2y(t) = e^t, (e) y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 3y(t) = e^−3t, (f) y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) + 4y(t) = 2e^2t, (g) y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) − 5y(t) = t − sin t, (h) y⁰⁰(t) + 6y⁰(t) + 5y(t) = 5t − 12e^t.

(6)

3. Metodami współczynników nieoznaczonych oraz uzmienniania stałych rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 3e^2t, y(0) = 3

4, y⁰(0) = 9

2, (b) y⁰⁰(t) + 5y⁰(t) + 6y(t) = −e^−t, y(0) = 7

2, y⁰(0) = −17 2 , (c) y⁰⁰(t) + 5y⁰(t) + 6y(t) = 6t²+ 16t + 13, jeśli y(0) = 4, y⁰(0) = −7,

(d) y⁰⁰(t) − y⁰(t) − 2y(t) = 2 cos(t) + 4 sin(t), jeśli y(0) = 3, y⁰(0) = 3, (e) y⁰⁰(t) − 7y⁰(t) + 10y(t) = e^2t+ t, jeśli y(0) = 7

100, y⁰(0) = 1 10.

zastosowania

1. Zamykamy w chwili początkowej t0 = 0 obwód, składający się z szeregowo połączonych opornika o oporności R = 3 Ω, rozładowanego kondensatora o pojemności C = 0, 5 F, cewki indukcyjnej o indukcyjności L = 1H i źródła zmiennego napięcia E(t) = −10 sin(t) V.

Wyznacz ilość q(t) ładunku (w kulombach) na ścianie kondensatora oraz natężenie I(t) prądu (w amperach), w zależności od czasu.

Wskazówka: spadek napięcia na oporniku to I(t)R (prawo Ohma), na kondensatorze q(t)

C , a na cewce indukcyjnej I⁰(t)L. Zgodnie z prawem Kirchhoffa, suma tych napięć jest równa sile elektromotorycznej źródła prądu.

3 Układy równań liniowych

układy

1. Metodami (i) eliminacji oraz (ii) Eulera, rozwiąż jednorodny układ równań liniowych (a)

x⁰(t) = 2x(t) + y(t)

y⁰(t) = 3x(t) + 4y(t), (b)

x⁰(t) = −x(t) +¹₂y(t) y⁰(t) = 4x(t), (c)

x⁰(t) = x(t) + y(t) y⁰(t) = −2x(t) + 4y(t), (d)

x⁰(t) = 7x(t) + 2y(t)

y⁰(t) = −17x(t) − 3y(t), (e)

x⁰(t) = 2x(t) + 2y(t) y⁰(t) = ³₂x(t) + 4y(t),

2. Metodami (i) eliminacji oraz (ii) Eulera z następującym uzmiennianiem stałych, rozwiąż niejednorodny układ równań liniowych

(a)

x⁰(t) = −y(t) − e^−t

y⁰(t) = 6x(t) − 5y(t) − 6e^−t, (b)

x⁰(t) = x(t) − y(t) + sin(t) + cos(t) y⁰(t) = 2x(t) − y(t) + 2 sin(t), (c)

x⁰(t) = −x(t) + y(t) y⁰(t) = 2x(t) + 4, (d)

x⁰(t) = x(t) + y(t) + 3 y⁰(t) = 2x(t) − 2t − 1, (e)

x⁰(t) = 2x(t) + y(t) + 1

y⁰(t) = 4x(t) + 2y(t), (f)^∗

( x⁰(t) = 80y(t) +_cosh(t)¹

y⁰(t) = ₄₀¹x(t) + y(t) −₄₀¹ arc tg(sinh(t)), gdzie sinh(t) =e^t− e^−t

2 , cosh(t) = e^t+ e^−t

2 oznaczają odpowiednio sinus i cosinus hiperboliczny.

(7)

zastosowania

1. Dwa napełnione, dwustustulitrowe zbiorniki, z których pierwszy zawiera wodny roztwór soli o stężeniu 0, 1%, a drugi czystą wodę, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 20 litrów na minutę. Innymi rurkami, do pierwszego zbiornika wpływa czysta woda z prędkością 20 litrów na minutę, a z drugiego wypływa roztwór z tą samą prędkością.

W zależności od czasu określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Dwa napełnione roztworami soli stulitrowe zbiorniki, o stężeniach odpowiednio 0, 4% i 0, 2%, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 10 litrów na minutę. Innymi dwiema rurkami, do pierwszego zbiornika z prędkością 5 litrów na minutę wpływają czysta woda i roztwór soli o stężeniu 0, 1%. Ponadto, z drugiego zbiornika wypływa roztwór z prędkością 10 litrów na minutę.

W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

3. Obwód składa się z równolegle połączonych opornika o oporności R = ¹₃Ω, kondensatora o pojemności C = 1 F i cewki indukcyjnej o indukcyjności L = ¹₂H.

Wyznacz natężenia prądu, przepływającego przez te urządzenia.

Wskazówka: spadek napięcia na oporniku to I(t)R (prawo Ohma), na kondensatorze q(t)

C , a na cewce indukcyjnej I⁰(t)L.

4. Rozważmy obwód

Wyznacz natężenia I1(t), I2(t), I3(t), jeśli L = 1 H, R1= 1 Ω, R2= 2 Ω, E(t) = 4 V, I1(0) = I2(0) = I3(0) = 0 A.

5. Rozważmy obwód

(8)

Wyznacz natężenia I1(t), I2(t), I3(t), jeśli L1= L2= 1 H, R1= R3= 2 Ω, R2= 1 Ω, E(t) = 3 V, I1(0) = I2(0) = I3(0) = 0 A.

4 Przekształcenie Laplace’a

1. Niech a > 0. Wyznacz wzór na transformatę Laplace’a funkcji

(a) f (t) =

1 dla 0 ¬ t < a

0 dla a ¬ t, (b) f (t) =

t dla 0 ¬ t < a

0 dla a ¬ t, (c) f (t) =







t dla 0 ¬ t < a

−t + 2a dla a ¬ t < 2a 0 dla 2a ¬ t.

2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰(t) + 7y(t) = −14t, y(0) = 2

7, (b) y⁰(t) + 5y(t) = 6 + 5t, y(0) = 2,

(c) y⁰⁰(t) − 8y⁰(t) + 7y(t) = −5e^2t, y(0) = 3, y⁰(0) = 10, (d) y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 2e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) =1 2, (e)

x⁰(t) = 4x(t) + y(t) y⁰(t) = −x(t) + 6y(t),

x(0) = 0 y(0) = 1, (f)

x⁰(t) = 3x(t) −¹₂y(t) y⁰(t) = 2x(t) + y(t),

x(0) = 0 y(0) = −1.

5 Stabilność punktów równowagi

1. Zbadaj stabilność punktu s0równowagi układu autonomicznego (a)

x⁰(t) = −x²(t) + sin(y(t))

y⁰(t) = −x(t) + 2 tg(y(t)), jeśli s0= (0, 0), (b)

x⁰(t) = −2 sin(x(t)) − ln(y(t))

y⁰(t) = 2x(t) + y(t) − e^y(t)−1, s0= (0, 1), (c)

x⁰(t) =px³(t) + 2e^y(t)− 2 cos(y(t))

y⁰(t) = −x(t) + 2 sin(y(t)), s0= (0, 0), (d)

x⁰(t) = −2e^x(t)−2+ 2 − y(t)

y⁰(t) = x(t) − 2 + y²(t), s0= (2, 0).

Część II

Przykładowe sprawdziany

Uwaga: pytania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.

6 Pierwsze kolokwium

Zestaw A

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) − 5y²(t) tg(t) = 0, y (0) = −1.

2. Rozwiąż równanie y⁰(t) − 3y(t) = e^4t.

3. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

x⁰(t) = x(t) + y(t) y⁰(t) = 2x(t) − 2t − 3.

(9)

Zestaw B

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe ty⁰(t) − 1 − y²(t) = 0, y (1) = 1.

2. Rozwiąż równanie y⁰(t) + 7y(t) = e^−6t.

x⁰(t) = −y(t) − e^−t,

y⁰(t) = 6x(t) − 5y(t) − 6e^−t.

Zestaw C

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe ty⁰(t) − cos²(y(t)) = 0, y (1) =π 4. 2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) +1

2y(t) = −e^−t

y(t), y(0) = −1.

x⁰(t) = x(t) + ¹₂y(t) y⁰(t) = 4x(t) − 2t − 3.

Zestaw D

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t)√

t − e^y(t) = 0, y (1) = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t)t − y(t) −p

t²− y²(t) = 0, y(1) =

√2 2 . 3. Metodą Eulera , a następnie przez uzmiennianie stałych, rozwiąż układ

x⁰(t) = −2y(t) − e^−t

y⁰(t) = 3x(t) − 5y(t) − 3e^−t.

Zestaw E

1. Napełniony, siedemsetlitrowy zbiornik zawiera 0,1 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 70 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż równanie y⁰(t) + 5y(t) = 7t.

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 9y⁰(t) + 8y(t) = 16t + 18.

Zestaw F

1. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera 0,5 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 20 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 40 litrów na minutę.

2. Rozwiąż równanie y⁰+ y = 5t.

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰− 7y⁰+ 10y = 9e^−t.

Zestaw G

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) − sin t 3

· y⁴(t) = 0, y (0) = 1.

2. Do napełnionego stulitrowego zbiornika, zawierającego 0, 02% roztwór soli, wlewana jest czysta woda z prędkością 200 l/min oraz mieszanina wypływa z tą samą prędkością. Po jakim czasie stężenie soli osiągnie 0, 01%?

3. Metodą Eulera, a następnie przez uzmiennianie stałych rozwiąż układ

y⁰₁(t) = y1(t) − 3y2(t) + 3 y⁰₂(t) = y1(t) + 5y2(t) − 5.

(10)

7 Drugie kolokwium

Zestaw A

1. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 7y⁰(t) + 10y(t) = 4e^−t. 2. Metodą eliminacji rozwiąż układ

x⁰(t) = −x(t) + y(t) y⁰(t) = 2x(t).

3. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 2e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) =1

2.

Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

Zestaw B

1. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 8y⁰(t) − 9y(t) = −18t − 16.

2. Metodą eliminacji rozwiąż układ

x⁰(t) = 2x(t) + y(t) y⁰(t) = 3x(t) + 4y(t).

3. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe

x⁰(t) = 3x(t) −¹₂y(t) y⁰(t) = 2x(t) + y(t),

x(0) = 0 y(0) = −1.

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

Zestaw C

2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 2

5e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) = 1 10. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

3. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 0) równowagi układu autonomicznego

x⁰(t) = 4x(t)³+ sin(y(t)),

y⁰(t) = − ln(1 + x(t)) + 2 tg(y(t)).

Zestaw D

1. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 7y⁰(t) + 10y(t) = 18e^−t.

x⁰(t) = 3x(t) − 2y(t) y⁰(t) = ¹₂x(t) + y(t),

x(0) = 0 y(0) = −¹₄. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s. 3. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 1) równowagi układu autonomicznego

x⁰(t) = −2 arc tg(x(t)) − ln(y(t)), y⁰(t) = 2 arc sin(x(t)) + y(t) − e^y(t)−1.

(11)

8 Egzaminy zwykłe

Zestaw A

1. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 7). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy potrojonej rzędnej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.

2. Metodą Eulera rozwiąż układ

( x⁰(t) = ₂₅²y(t) y⁰(t) = 25x(t) − y(t).

3. Rozwiąż układ

( x⁰(t) = 80y(t) − 8t − 12 y⁰(t) =₄₀¹x(t) + y(t).

4. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 10y⁰(t) − 11y(t) = −22 sin(t) − 2 cos(t).

5. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 6y(t) = −15 sin(t) − 5 cos(t), y(0) = 1, y⁰(0) = 2.

Uwaga: transformata Laplace’a [L (sin(αt))] (s) = α

s²+ α², [L (cos(αt))] (s) = s

s²+ α² dla α ∈ R.

Zestaw B

1. Napełniony, pięćsetlitrowy zbiornik zawiera wodny roztwór soli o 0, 2%. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 100 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż układ

x⁰(t) = −x(t) + 4y(t) y⁰(t) =¹₂x(t).

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) − 10y(t) = 3e^t.

2e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) = 1

8. Uwaga: L tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tym L e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) =1 s.

( x⁰(t) = cos(x(t)) + tg(y(t)) y⁰(t) = −e^x(t)+ (y(t) + 1)².

Zestaw C

1. Napełniony, dwustupięćdziesięciolitrowy zbiornik zawiera wodny roztwór soli o stężeniu 0, 2%. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 10 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z ta samą prędkością.

2. Rozwiąż układ

( x⁰(t) = 2x(t) +¹₂y(t) y⁰(t) = 6x(t) + 4y(t).

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 7y⁰(t) − 8y(t) = −14e^−t.

4. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe ( x⁰(t) = 3x(t) −¹₄y(t)

y⁰(t) = 4x(t) + y(t),

( x(0) = 0 y(0) = −4.

Uwaga:L tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

(12)

( x⁰(t) = − arc tg(2x(t)) −¹₂y²(t)), y⁰(t) = arc sin(2x(t)) + ey(t) − e^y(t).

Zestaw D

1. Rozwiąż równanie y⁰(t) + 5y(t) = 56t.

2. Rozwiąż układ

( x⁰(t) = −x(t) +⁵₂y(t) y⁰(t) =⁴₅x(t).

3. Rozwiąż układ

( x⁰(t) = x(t) + ₂₀¹y(t) y⁰(t) = 40x(t) − 4t − 6.

5e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) = 2

5. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

Zestaw E

1. Rozwiąż równanie y⁰(t) + y(t) = 35t.

2. Rozwiąż układ

x⁰(t) = 2x(t) +₁₄¹y(t) y⁰(t) = 42x(t) + 4y(t).

3. Rozwiąż układ

x⁰(t) = −₁₄¹y(t) −¹₇e^−t y⁰(t) = 84x(t) − 5y(t) − 12 e^−t. 4. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 7y⁰(t) + 10y(t) = 36 e^−t.

x⁰(t) = 3x(t) − ₄₂¹y(t) y⁰(t) = 42x(t) + y(t),

x(0) = 2 y(0) = 84.

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

Zestaw F

1. Napełniony, stulitrowy zbiornik zawiera 0,4 % wodny roztwór soli. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 9 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 9y⁰(t) + 14y(t) = 14t²+ 18t + 16.

3. Rozwiąż układ

x⁰(t) = x(t) − 2y(t) − 1 y⁰(t) = −2x(t) + y(t) + 5.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 3y(t) = 3, y(0) = 2, y⁰(0) =

−3. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Zbadaj stabilość punktu równowagi (1, 0) układu autonomicznego

x⁰(t) = ln(x(t)) + 2 sin(y(t))

(13)

Zestaw G

1. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 8). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy potrojonej rzędnej punktu styczności, pomniejszonej o 3.

Wyznacz równanie tej krzywej.

2. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) + 2y(t) = cos(t) − 3 sin(t).

3. Rozwiąż układ

x⁰(t) = 4x(t) − y(t) y⁰(t) = 2x(t) + y(t) − 6.

4. Za pomoca przekształcenia Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + 6y⁰(t) + 5y(t) = 5, y(0) = 2, y⁰(0) =

−2. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

x⁰(t) = 4x(t) − y(t) − 4 y⁰(t) = 2e^x(t)−1+ tg(y(t)) − 2.

Zestaw H

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) · e^2t· cos(y) = −2, y(0) = 0.

2. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 8y⁰(t) + 7y(t) = 6 cos(t) − 8 sin(t).

3. Dwa napełnione stulitrowe zbiorniki, pierwszy 1-procentowym roztworem soli, a drugi czystą wodą, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 4 litrów na minutę. Ponadto, do pierwszego zbiornika z prędkością 4 litrów na minutę wpływa czysta woda, a z drugiego zbiornika wypływa roztwór z prędkością 4 litrów na minutę. W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach.Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowe

x⁰(t) = x(t) − 2y(t) y⁰(t) = −2x(t) + y(t),

x(0) = 1 y(0) = 0.

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Zbadaj stabilność punktu równowagi ¹₂, 1 układu autonomicznego

x⁰(t) = x²(t) + e^y²^(t)−1−⁵₄ y⁰(t) = 2x(t) + y(t) − 2.

Zestaw I

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) = 3y²(t) · cos(3t), y(0) = −1.

2. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 3y⁰(t) − 4y(t) = −3 cos(t) − 5 sin(t).

3. Dwa napełnione dwustustulitrowe zbiorniki, pierwszy 2-procentowym roztworem soli, a drugi czystą wodą, po- łączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 50 litrów na minutę.

Ponadto, do pierwszego zbiornika z prędkością 50 litrów na minutę wpływa czysta woda, a z drugiego zbiornika wypływa roztwór z tą samą prędkością 50 litrów na minutę. W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

4. Za pomoca przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowe

x⁰(t) = 4x(t) − y(t) y⁰(t) = 2x(t) + y(t),

x(0) = 0 y(0) = 2.

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

x⁰(t) = e^4x(t)− arc tg y(t) − 1 y⁰(t) = 2 sin(x(t)) + y(t).

(14)

Zestaw J

1. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) · t²+ 5t + 4 · tg(y) = 2t + 5, y(0) = 0.

2. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 9y⁰(t) + 8y(t) = 7e^−t.

3. Dwa napełnione, tysiąclitrowe zbiorniki, pierwszy 2-procentowym roztworem soli, a drugi czystą wodą, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 10 litrów na minutę. Ponadto, do pierwszego zbiornika z prędkością 10 litrów na minutę wpływa czysta woda, a z drugiego zbiornika wypływa roztwór z prędkością 10 litrów na minutę. W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach.Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowe

x⁰(t) = x(t) + 8y(t) y⁰(t) =¹₂x(t) + y(t),

x(0) = 1 y(0) = 0.

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Zbadaj stabilność punktu równowagi (0, 0) układu autonomicznego

x⁰(t) = sin(x(t)) + sin(2y(t)) y⁰(t) = e^2x(t)+ y(t) − 1.

9 Egzaminy łatwiejsze

Zestaw K

1. Nie używając przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) + 4y(t) = 4e^−2t, y(0) = 3.

2. Rozwiąż równanie 2 · y⁰(t) · y(t) 1 + t² = 3.

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 3y⁰(t) − 10y(t) = −10.

4. Za pomocą przekształcenia Laplace’a, bez całkowania lub różniczkowania, rozwiąż zagadnienie początkowe z zadania 1.

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Rozwiąż równanie −y⁰(t) + y(t) − 2y²(t) = 0.

Zestaw L

1. Nie używając przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) − 7y(t) = 4e^3t, y(0) = 0.

2. Rozwiąż równanie 3 · y⁰(t) · y²(t) cos(t) = 1.

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) − 8y⁰(t) + 15y(t) = −30.

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Rozwiąż równanie y⁰(t) −y(t)

t = te^y(t)^t .

(15)

Zestaw M

1. Nie używając przekształcenia Laplace’a, rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) − 5y(t) = −12e^−t, y(0) = 3.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) · e^y(t)= 3t², y(0) = 0.

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 6y⁰(t) + 5y(t) = 15.

(s − α)ⁿ⁺¹ dla n ∈ N = {0, 1, 2, . . .}, α ∈ R.

5. Rozwiąż układ

x⁰(t) = 4x(t) − 2y(t) y⁰(t) = x(t) + y(t).

Część III

Odpowiedzi, wskazówki

Równania pierwszego rzędu

o rozdzielonych zmiennych

1. (a) y(t) = tg(t + C),

(b) rozwiązaniami są funkcja stała y(t) = 0 oraz przekształcenia postaci y(t) = ³

r t

−3 + Ct, (c) y(t) = − ln e^t+ C,

(d) y(t) = ln (t · ln(2) · ln(t) − t · ln(2) + C)

ln(2) ,

(e) y(t) = −3 +p³ t³+ C, (f) y(t) = ±

q

t arc sin(t) −p

1 − t²+ C, (g) y(t) = 2π − arc cos

C −sin(t) + cos(t)

2 e^t

, (h) rozwiązaniami są funkcje stałe y(t) = 0, y(t) = π

oraz przekształcenia postaci y(t) = arc cos1 − Ce(^t²)

1 + Ce^(t²⁾ dla C > 0, (i) dla α = 1: y(t) = −1, y(t) = −1 + 1

C − t, dla α > 1: y(t) = −1 +√

α − 1 tg(t√

α − 1 + C), dla α < 1: y(t) = −1 −√

1 − α, y(t) = ⁻¹⁺

√1−α+C(1+√ 1−α)e^2t

√

1−α

1−Ce^2t

√

1−α .

2. (a) y(t) = 1

1 + ln sin(t) (b) y(t) = tg (ln(t + 1)) , (c) y(t) = −1 + e^t, (d) y(t) = π 2 + t, (e) y(t) = t

√

1 − t², (f) y(t) = ³ rt2^t

ln 2− 2^t ln²2+ 1

ln²2, (g) y(t) = sin(t)

1 − sin(t), (h) y(t) = arc sin t³ .

jednorodne

1. (a) y(t) = t lub y(t) = t − t

ln |t| + C, (b) y(t) = −t ln(C − ln |t|), (c) y(t) = 0 lub y(t) = t

C − ln (t²), (d) y(t) = t lub y(t) = −t lub y(t) = |t| (ln |t| + C) . 2. y(t) = t tgπ

4 + ln t .

(16)

liniowe

1.

(a) y(t) =1 5t − 1

25+ Ce^−5t, (b) y(t) = e^2t+ Ce^7t, (c) y(t) = 2 cos(t)

5 +sin(t)

5 + Ce^−2t, (d) y(t) = sin(t) + Ce^3t. 2. (a) y(t) = e^t−e^t

t +1

t. (b) y(t) = ctg(t) lnr 1 + t 1 − t .

Bernoulliego

1. (a) y(t) = e^2t

3

q

C −³₇e^7t

, (b) y(t) = ±p

−4 + Ce^−t².

2. y(t) = e^−t·√³ 1 − 6t.

równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

1. (a) y(t) =C

t + D, (b) y(t) = C cos(t) + D, (c) y(t) = ln | cos(C − t)| + D,

(d) y(t) = C (funkcje stałe) lub y(t) − C ln |y(t) + C| − t − D = 0 (rozwiązanie w postaci uwikłanej),

(e) y(t) = −t lub y(t) = 1 + ⁶₇Dt + C⁷₆

D , gdzie stałe C ∈ R, D ∈ R \ {0}.

2. (a) y(t) = 2t − sin(2t) + π, (b) y(t) = 2e^t− 1.

zastosowania

1. 1. y(t) = 0, 1e^−0,05t kg. 2. y(t) = (t − 40)²

800 kg. 3. y(t) = e^2t. 4. y(t) = 4 − 4e^t−1. 5. t₄₀= 53 ln(2) − ln(3)

2 ln(2) − ln(3) ≈ 17 min. 6. q(t) = 60 − 60e^−0,02t C, I(t) = 1, 2e^−0,02t A.

7. (a) t_0,5= ln(2)

ln(10) − 2 ln(3) ≈ 6, 6 roku. (b) t_0,1= 5 ln(10)

ln(2) ≈ 16, 6 roku.

Równania liniowe wyższych rzędów

równania

1. (a) y(t) = Ce^7t+ De^−2t, (b) y(t) = e^−2t(C cos(7t) + D sin(7t)),

(c) y(t) = C₁e^2t+ e^−t(C₂cos(t) + C₃sin(t)), (d) y(t) = C₁e^t+ C₂te^t+ e^−5t(C₃cos(2t) + C₄sin(2t)).

2.

(a) y(t) = te^−t+ Ce^−t+ De^−2t, (b) y(t) = 2t²− 3t +7

4 + Ce^−2t+ De^−4t, (c) y(t) = t −4

3 + Ce^−3t+ De^−t. (d) y(t) =1

6e^t+ Ce^−t+ De^−2t, (e) y(t) = −1

2te^−3t+ Ce^−t+ De^−3t, (f) y(t) = t²e^2t+ Ce^2t+ Dte^2t, (g) y(t) = −t

5 + 4 25− 1

13cos(t) + 3

26sin(t) + C₁e^−t+ C₂e^5t, (h) y(t) = t −6

5 − e^t+ Ce^−5t+ De^−t.

3.

(a) y(t) = 0, 75e^2t+ e^t− e^−2t, (b) y(t) = −0, 5e^−t+ 3e^−2t+ e^−3t , (c) y(t) = t²+ t + 1 + e^−2t+ 2e^−3t, (d) y(t) = −1

5cos(t) −7

5sin(t) +38 15e^2t+2

3e^−t, (e) y(t) = 1

10t + 7 100+1

9e^5t−3t + 1 9 e^2t.

zastosowania

(17)

Układy równań liniowych

układy

1. (a) Wartościami własnymi są 1, 5, odpowiadają im przykłady wektorów własnych

1

−1

, 1

3

,

co daje rozwiązanie

x(t) = Ce^t+ De^5t

y(t) = −Ce^t+ 3De^5t, (b)

x(t) = Ce^−2t+ De^t

y(t) = −2Ce^−2t+ 4De^t, (c)

x(t) = Ce^2t+ De^3t, y(t) = Ce^2t+ 2De^3t, (d)

x(t) = e^2t[C cos(3t) + D sin(3t)] , y(t) = e^2t

−⁵₂C +³₂D cos(3t) + −³₂C −⁵₂D sin(3t) , (e)

x(t) = Ce^t+ De^5t y(t) = −¹₂Ce^t+³₂De^5t. 2. (a)

x(t) = e^−t+ Ce^−2t+ De^−3t y(t) = 2Ce^−2t+ 3De^−3t, (b)

x(t) = t(cos(t) + sin(t)) + C cos(t) + D sin(t) y(t) = 2t sin(t) + (C − D) cos(t) + (C + D) sin(t), (c)

x(t) = −2 + Ce^t+ De^−2t

y(t) = −2 + 2Ce^t− De^−2t, (d)

x(t) = t + Ce^2t+ De^−t y(t) = −2 − t + Ce^2t− 2De^−t, (e)

x(t) = ¹₂t + C + De^4t

y(t) = −t −¹₂− 2C + 2De^4t, (f)

x(t) = arc tg(sinh(t)) + Ce^2t+ De^−t y(t) = ₄₀¹Ce^2t−₈₀¹De^−t.

zastosowania

1.

x(t) = 0, 2e^−0,1t

y(t) = 0, 02te^−0,1t (wyniki w kg). 2.

x(t) = 0, 05 + 0, 35e^−0,1t

y(t) = 0, 05 + 0, 035te^−0,1t+ 0, 15e^−0,1t (wyniki w kg).

3.







I1(t) = ³₂C1e^−t+ 3C2e^−2t A I2(t) = −¹₂C1e^−t− 2C2e^−2t A I3(t) = C1e^−t+ C2e^−2t A.

4. I1(t) = 6 − 6e⁻²³^tA, I2(t) = −4 + 4e⁻²³^t A, I3(t) = 2 − 2e⁻²³^tA.

5. I1(t) = 9 8−3

4e^−2t−3

8e^−4t A, I2(t) = −3 4 +3

4e^−4tA, I3(t) = 3 8 −3

4e^−2t+3 8e^−4tA.

Przekształcenie Laplace’a

1. (a) F (s) = 1 − e^−as

s , (b) F (s) = 1 − e^−as

s² −ae^−as

s , (c) F (s) = 1 − 2e^−as+ e^−2as

s² .

2. (a) y(t) =2

7 − 2t, (b) y(t) = e^−5t+ t + 1, (c) y(t) = e^t+ e^7t+ e^2t, (d) y(t) =1 2e^2t−1

2e^t, (e)

x(t) = te^5t,

y(t) = e^5t+ te^5t , (f)

x(t) = ¹₂te^2t y(t) = −e^2t+ te^2t.

Stabilność punktów równowagi

1. (a) niestabilny, (b) asymptotycznie stabilny, (c) niestabilny, (d) asymptotycznie stabilny.

Pierwsze kolokwium

Zestaw A

1. y(t) = 1

−1 + 5 ln cos(t). 2. y(t) = e^4t+ Ce^3t. 3.

x(t) = Ce^2t+ De^−t+ t + 1 y(t) = Ce^2t− 2De^−t− t.

Zestaw B

1. y(t) = tgπ

4 + ln(t)

. 2. y(t) = e^−6t+ Ce^−7t. 3.

x(t) = Ce^−2t+ De^−3t+ e^−t y(t) = 2Ce^−2t+ 3De^−3t.