Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 4.

1

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 4.

POCHODNE FUNKCJI

Definicja (pochodna właściwa funkcji)

Niech x₀ oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O x( ₀). Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x₀ nazywamy granicę właściwą

0

0 0

0

( ) ( )

'( )

lim

x x

f x f x f x

x x



 

 Uwaga

Stosowane są też oznaczenia d _{0 0} ( ), ( ).

d

f x Df x x

Przykład

Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji f x( )x² w punkcie x₀ . Fakt (pochodne ważniejszych funkcji)

1) ( ) 'C 0; 2) (x^) 'x^1; 3) (sin ) 'x cos ;x 4) (cos ) 'x  sin ;x

5) 1₂

(tg ) ' ;

x cos

 x 6) 1₂

(ctg ) ' ;

x sin

x

  7) (a^x) 'a^xln ;a 8) (e^x) 'e^x; 9) 1 (ln ) 'x ;

 x

10) 1

(log ) ' ;

ax ln

x a

 11)

2

(arcsin ) ' 1 ; 1 x

x

  12)

2

(arccos ) ' 1 ; 1 x

x

 



13) 1 ₂

(arc tg ) ' ; x 1

 x

 ^{14) 2}

(arc ctg ) ' 1 . x 1

x

 



INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA POCHODNEJ

Niech  oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x₀, (f x₀)) i dodatnią częścią osi OX. Wtedy

2 Fakt (równanie stycznej do wykresu funkcji)

Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x₀, (f x₀)) na postać

0 0 0

( ) '( )( ).

y f x  f x xx Przykład

Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f x( )sinx w punkcie ( ,0).

Definicja (kąt przecięcia wykresów funkcji)

Niech wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny ( ,x y_{0 0}), przy czym obie funkcje mają pochodne właściwe w punkcje x₀. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy kąt osty  między stycznymi wystawionymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.

3 Fakt (o mierze kąta między wykresami funkcji)

Miara kąta ostrego przecięcia wykresów funkcji f i g w punkcie ( ,x y_{0 0}) wyraża się wzorem:

0 0

0 0

'( ) '( )

arctg .

1 '( ) '( ) f x g x

f x g x

  ^

 Jeżeli f x g x'( ₀) '( ₀) 1, to przyjmujemy, że .

2

 

Przykład

Obliczyć kąt pod jakim przecinają się wykresy funkcji f x( )x g x², ( )x³. Twierdzenie (warunek konieczny istnienia pochodnej właściwej funkcji)

Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie, to jest w tym ciągła w tym punkcie.

Uwaga

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Np. funkcja f x( ) x jest ciągła w punkcie x₀ 0, ale '(0)

f nie istnieje.

Twierdzenie (o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcje x₀, to

1) ( 'f g')(x₀) f x'( ₀)g x'( ₀); 2) ( 'f g')(x₀) f x'( ₀)g x'( ₀);

3) (cf) '(x₀)cf x'( ₀), gdzie c ; 4) (f g )'(x₀) f x g x'( ₀) ( ₀) f x g x( ₀) '( ₀);

5) ₀ ^{0 0}₂ ^{0 0}

0

'( ) ( ) ( ) '( )

( ) '( ) ,

( )

f x g x f x g x f x

g g x

  o ile g x( ₀)0.

Przykład

Obliczyć pochodne podanych funkcji

4

a) ^{4 2} 1

( ) 3 ;

h x x x x

   x b) h x( )sinxctg ;x c) sin

( ) ;

4

x x

e x

f x e

 

 ^d)

2 2

( ) 1.

1 f x x

x

 

 Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli 1) funkcja f ma pochodną właściwą w punkcje x₀,

2) funkcja g ma pochodną właściwą w punkcje f x( )₀ , to

0 0 0

(g f)(x )g f x'( ( )) f x'( ).

Przykład

Obliczyć pochodne podanych funkcji

a) h x( )sin²x; b) h x( )(3x²1) ;³ c) f x( )e^{cos x}; d)

2 4 2

( ) 1 .

1 f x x

x

  

   

Definicja (różniczka funkcji)

Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x₀. Różniczkę funkcji f w punkcie x₀ nazywamy funkcję df zmiennej x określoną wzorem

( ) '( 0) . df x  f x x Fakt (zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych) Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x₀, to

0 0 0

( ) ( ) '( ) .

f x  x  f x  f x x Przykład

Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń a) ⁴15,96; b) arctg1,05.

Definicja (pochodna właściwa n-tego rzędu funkcji)

Pochodna właściwa n-tego rzędu funkcji f w punkcie x₀ definiujemy

( ) ( 1)

0 0

( ) '( ) dla 2.

n n

f x f ^  x n

Przyjmujemy, że f⁽⁰⁾(x₀) f x( ₀). Przyjmujemy, także f^II,f^III, f^IV zamiast odpowiednio

(2) (3) (4)

, , .

f f f

5 Przykład

Obliczyć pochodne f^I, f^II,f^III dla podanych funkcji a) f x( )e^x2; b) f x( )xln .x

Twierdzenie (reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności 0 0⁾ Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:

1)

0 0

( ) ( ) 0;

lim lim

x x x x

f x g x

 

 

2) Istnieje granica

0

'( );

lim

x x

f x

 g x

(właściwa lub niewłaściwa)

to

0 0

( ) '( )

( ) '( ).

lim lim

x x x x

f x f x

g x g x

 



Przykład

Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice

0

2

sin 2arctg

a) ; b) .

ln 1 1

lim lim

x x

x x x

x

x



 

 

  

 

 

Twierdzenie (reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności 

⁾ Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:

1)

0 0

( ) ( ) ;

lim lim

x x x x

f x g x

 

  

2) Istnieje granica

0

'( );

lim

x x

f x

 g x

(właściwa lub niewłaściwa)

to

0 0

( ) '( )

( ) '( ).

lim lim

x x x x

f x f x

g x g x

 



6 Przykład

Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice

0

ln sin ln

a) ; b) .

ln tg ln

lim lim

x x

x x x

x x x

 







Fakt (tożsamości zmieniające rodzaje nieoznaczoności)

Nieoznaczoność Stosowana tożsamość Otrzymana nieoznaczoność 0

1 1

f g f g

g f

   0

lub 0





   1 1

1 g f f g

fg



 

0 0

0 0 0

1 , ,0 f^g e^{glnf 0}

Przykład

Obliczyć podane granice

0

1 1 2

a) ln ; b) ; c) arctg .

lim lim

lim

x

x x

x

x x x

x  x 

  



    

    

 

BADANIE FUNKCJI Definicja (minimum lokalne funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀ minimum lokalne, jeżeli

0 0

0 x S x( , ) f x( ) f x( ).

 

    

Definicja (maksimum lokalne funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli

0 0

0 x S x( , ) f x( ) f x( ).

 

    

7

Minimum lokalne funkcji Maksimum lokalne funkcji Definicja (wartość najmniejsza funkcji na zbiorze)

Liczba m jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze A D_f jeżeli

0: ( 0) , ( ) .

x f x m x A f x m

    

Funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli Definicja (wartość największa funkcji na zbiorze)

Liczba M jest wartością największą funkcji f na zbiorze AD_f ^jeżeli

0: ( 0) , ( ) .

x f x M x A f x M

    

Funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli Twierdzenie (Fermata, warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1) ma ekstremum lokalne w punkcje x₀, 2) istnieje f x'( ),₀

to f x'( ₀)0.

Uwaga

Implikacja odwrotna jest fałszywa. Świadczy o tym przykład funkcji f x( )x³, która spełnia w punkcje x₀ 0 warunek f x'( ₀)0, ale nie ma tam ekstremum lokalnego.

8 Fakt (o lokalizacji ekstremów funkcji)

Funkcja może mieć ekstremum lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

Przykład

Funkcja f x( ) x , ma w punkcje x₀ 0 minimum lokalne, ale f '(0) nie istnieje.

Twierdzenie (I warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1) f x'( )₀ 0

2) ⁰

0

'( ) 0 dla każdego ( , ) 0 '( ) 0 dla każdego ( , )

f x x S x

f x x S x

 







 

    

to w tym punkcje x₀ ma maksimum lokalne właściwe.

Twierdzenie o minimum lokalnym właściwym jest analogiczne.

9 Przykład

Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji

4 3

1 1

a) f(x)=e e , ; b) f(x)= x + x +100x, .

4 3

x x

D D

   

Twierdzenie (II warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1) f x'( ₀) f⁽²⁾(x₀)  f^(n1)(x₀)0 2) ^{f( )n ( )x0 0}





3) n jest liczbą parzystą, gdzie n2

to w tym punkcje x₀ ma maksimum lokalne właściwe, (minimum lokalne właściwe).

Przykład

Korzystając z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji

f(x)=(x-5)e .^x