Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska

(1)

1

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska

SZEREGI POTĘGOWE

Definicja Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x₀ nazywamy szereg postaci:

0 0

( )ⁿ

n n

a x x







 ^, gdzie x oraz a_n dla n = 0; 1; 2…:

Przyjmujemy, że 0⁰ 1.

def Liczby a nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego. _n

Promień zbieżności szeregu potęgowego

Twierdzenie Dla każdego szeregu potęgowego ₀

0

( )ⁿ

n n

a x x







 istnieje dokładnie jedna liczba 0, )

  o własności:

� jeżeli xx₀  , to szereg ₀

0

( )ⁿ

n n

a x x







 jest zbieżny bezwzględnie,

� jeżeli xx₀  , to szereg ₀

0

( )ⁿ

n n

a x x







 jest rozbieżny.

Definicja

Liczbę , której istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego ₀

0

( )ⁿ

n n

a x x









Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć za pomocą wzoru:

lim 1

n n

an

   lub

1

lim ⁿ ,

n n

a

 a



 

o ile granice w tych wzorach istnieją.

� Gdy limⁿ _n

n a

  , to  0.

� Gdy limⁿ _n 0

n a

  , to   . Przykład

� Szereg

0

5 ( 5)

3

n

x





  

  



jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x₀  5 i promieniu 3

 5..

� Szereg

0

(6 3 )

3 2

n

n n

n

 x







 jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x₀ 2 i promieniu  1.

� Szereg

0

( )

!

n

x n







 jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x₀ 0 i promieniu   .

(2)

2

Twierdzenie (Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda). Niech 0    będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego ₀

0

( )ⁿ

n n

a x x







 . Wtedy szereg ten jest:

� zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału (x₀,x₀ ),

� rozbieżny w każdym punkcie zbioru (,x₀ ) (x₀  , ).

Uwaga 1. W punktach x₀ i x₀  szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny.

Gdy  0, to szereg potęgowy jest zbieżny jedynie w punkcie x . ₀

Gdy   , to szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie na całej prostej.

Definicja. Zbiór tych x , dla których szereg potęgowy

0 0

( )ⁿ

n n

a x x









jest zbieżny nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu.

Uwaga. Z twierdzenia Cauchy'ego-Hadamarda wynika, że przedział zbieżności szeregu potęgowego może mieć jedną z postaci:

Przykład.

� Dla szeregu

0

1( 2)ⁿ

n

n x







 ^mamy^{ }¹ i przedział zbieżności [1,3).

� Dla szeregu ₂

0

( 1) ln

n n

n

x

n n







 ^mamy^{ }¹ i przedział zbieżności [ 1,1].

� Dla szeregu

2

0

( 1) (2 )!

n n

n

x n







 ^mamy^{  } i przedział zbieżności (  , ) . Szereg Taylora i Maclaurina

Definicja. Niech funkcja f ma w punkcie x pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy ₀

( )

0 0 0 2

0 0 0 0

0

( ) '( ) "( )

( ) ( ) ( ) ( )

! 1! 2!

n

f x f x f x

x x f x x x x x

n





      



nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x . ₀ Jeżeli x₀ 0, to szereg

( )

0

(0)

!

n n

n

f x

n





 nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.

(3)

3

Uwaga. Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji nie wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.

Na przykład dla funkcji

2

1

, 0

( )

0, 0

e x x f x

x

  

   mamy f^{( )}ⁿ (0)0, dla n0,1, 2,3, , i

( )

0

( ) (0) 0.

!

n n

n

f x f x

n











Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora).

Jeżeli

 funkcja f ma na otoczeniu O punktu x pochodne dowolnego rzędu, ₀

 dla każdego xO spełniony jest warunek lim _n( ) 0

n x

  , gdzie

( 1)

1 0

( ) ( )( )

( 1)!

n

n n

x f x x

n



 

  



oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f, przy czym   x₀ (x x ₀), 0  1, to

( ) 0

0 0

( ) ( )( ) ,

!

n

f x

f x x x

n









dla każdego x₀O.

Twierdzenie (o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy). Jeżeli

0 0

( ) _n( )ⁿ

n

f x a x x









dla każdego x z pewnego otoczenia punktu x , to ₀

( )

( 0)

!

n

f x a  n dla n = 0; 1; 2;…

Przykład. Dla funkcji 1 ( )

f x  x mamy f(1) = 1 oraz

2

'( ) 1 '(1) 1

f x f

 x   

3

"( ) 2 "(1) 2

f x f

 x  

4

'"( ) 6 '"(1) 3!

f x f

 x   

(4) (4)

5

( ) ( )

1

( ) 24 (1) 4!

( ) ( 1) ! (1) ( 1) !

n n n n

n

f x f

x

f x n f n

x ^

  

    

Wówczas

0 0

1 ( 1) (ⁿ 1)ⁿ (1 ) , dla 0ⁿ 2.

n n

x x x

x

 

 





  



  

(4)

4

Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych

2 3

0

1 1 , dla 1.

1

n

x x x x x

x





      





2 3

0

1 , dla .

! 2 3!

n x

n

x x x

e x x

n







     

3 5 7

2 1 0

sin ( 1) , dla .

(2 1)! 3! 5! 7!

n n

n

x x x

x x x x

n

 



       





2 4 6

2 0

cos ( 1) 1 , dla .

(2 )! 2! 4! 6!

n n

n

x x x

n







      

2 3 4

1 0

ln(1 ) ( 1) , dla -1< 1.

( 1)! 2! 3! 4!

n n

n

x x x

x x x x

n

 



        





3 5 7

2 1 0

arctg ( 1) , dla -1< 1.

2 1 3 5 7

n n

n

x x x

x x x x

n

 



       





Twierdzenie (o różniczkowaniu szeregu potęgowego). Niech 0    będzie promie- niem zbieżności szeregu potęgowego ₀

0

( )ⁿ

n n

a x x







 ^{. Wtedy:}

1

0 0

0 1

( )ⁿ ' ( )ⁿ

n n

a x x n a x x

 



 

 

  

 









dla każdego x(x₀,x₀ ).

Sumy ważniejszych szeregów potęgowych

0

1 , dla 1.

1

n

x x

x





 





2 1

, dla 1.

(1 )

n

nx x x

x





 





2 1

3 1

1 , dla 1.

(1 )

n

n x x x

x

 



  





1

ln(1 ), dla 1 1.

n

x x x

n





     



(5)

5 Aproksymacja funkcji przez wielomian

Wzór

( )

0 0

0 0 0

'( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

1! !

n

n n

f x f x

f x f x x x x x R x

     n  

gdzie

( 1)

1 0

( ) ( )( )

( 1)!

n

n n

R x f x x

n



 

 

 n-ta reszta we wzorze Taylora dla funkcji f, przy czym

0 ( 0), 0 1,

x x x

      pozwala przedstawić w sposób przybliżony (aproksymować) funkcji f za pomocą wielomianu (zwanego wielomianem Taylora)

( )

0 0

0 0 0

'( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .

1! !

n

f x f x n

f x f x x x x x

     n 

Przykład. Niech ( )f x e^x. Wówczas

2 3

~ 1 .

2 3! !

n

x x x x

e x

      n