Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład 5

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 5

5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE (kontynuacja)

5.1. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.

5.2. Równania różniczkowe Bernoulliego.

5.3. Równania różniczkowe zupełne.

5.4. Klasyfikacja równań różniczkowych rzędu pierwszego.

5.5. Równania rzędu drugiego sprowodzalne do równań rzędu pierwszego.

5.1. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

5A1 Definicja (równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego) W ten sposób nazywamy RR o postaci

' ( ) ( )

y  p x yq x (1) gdzie ( )p x i ( )f x są to funkcje dane, określone (i ciągłe) w pewnym przedziale ( , )a b . Jeżeli q x ( ) 0, to równanie nazywamy liniowym niejednorodnym, gdy q x ( ) 0, to liniowym jednorodnym.

RRL jednorodne

( ) 0 dy p x y

dx  

jest RR o zmiennych rozdzielonych. Rozdzielamy więc zmienne i całkujemy

( ) ln ( )

( ) ln ( ) ln ^{p x dx C p x dx}

dy p x dx y p x dx C y e C e

y

  

    



    ^.

Więc funkcja

( ) p x dx

y C e^ (2)

jest wtedy rozwiązaniem ogólnym RRL jednorodnego.

W ogólnym przypadku RRL (1) niejednorodne ( ( ) 0q x  )sprowadzamy do RR o

zmiennych rozdzielonych korzystając z metody _''u ^''. W tym celu wprowadzamy dwie nowe funkcje niewiadome uu x( ) i   ( )x za pomocą podstawienia:

y  . (3) u  Wówczas y^' u^'u^' i zgodnie z (1) mamy:

' ' ' '

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

uu  p x u  q x uu   p x  q x . (4) Na funkcje   ( )x nałożmy teraz dodatkowy warunek

' ( )

( ) 0 ^{p x dx}

p x e

      ^ (5) dzięki któremu równanie (4) sprowadza się do RR o zmiennych rozdzielonych:

' ( )

( ) du ^{p x dx} ( ).

u q x e q x

   dx  ^  Rozdzielamy więc zmienne i całkujemy

( ) ( )

( ) ( ) .

p x dx p x dx

du e q x dx   u C



q x e dx ^Wtedy

( ) ( ) ( )

p x dx p x dx ( ) p x dx

yu Ce^ e^  q x e^

 

Więc funkcja

( ) ( ) ( )

p x dx p x dx ( ) p x dx

yu Ce^ e^ 



q x e^ dx (6) jest rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) RRL niejednorodnego (1).

5A2 Przykłady:

1) xy^'   jest RRL jednorodnym, mamy zatem y 0

ln ln ln

dy dy dx

x y y x C

dx   y  x     y Cx jest rozwiązaniem ogólnym;

2) xy^'   jest RRL niejednorodnym, y x² A) metoda standardowa:

' 2 ' ' 2 ' '

( ) ( )

xy  y x  y ux uu u x xuu x  

' 2

' 2

2

0 1

d dx

x x du

x x u x C

du dx

xu x

x x

dx

   

 

 

   

          

   



y u x2 Cx

    jest rozwiązaniem ogólnym, B) WM-metoda:

'

2

2 1 1

xy y y y

x C y x Cx

x x x

             ^.

5B3 Twierdzenie (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań RRL)

Jeżeli funkcje p x( ) i q x( ) są ciągłe w przedziale ( , )a b , to wzór (6) przedstawia całke ogólne równania (1), a ponadto przez każdy punkt (x y₀, ₀) obszaru

{( , ) 2: ( , ), }

D x y  x a b y przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

5A+B4 Uwaga (rozwiązanie RRL metodą uzmieniania stałej) I krok.

Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne (które jest szczególnym przypadkiem równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych):

( ) ln ( )

( ) ln ( ) ln ^{p x dx C p x dx}

dy p x dx y p x dx C y e C e

y

  

    



    

( ) P x

y yj  C e^ – całka ogólna RRL jednorodnego (C – dowolna stała,P x( )



p x dx( ) , ^{P x( ) p x x( ), ( , )a b ).}

II krok.

Szukamy całki szczególnej y_* równania (1), uzmienniamy stałą C (wtedy C=C(x) staje się funkcją zmiennej x):

( ) ( ) ( )

* *

( ) ( )

*

( ) ' '( ) ( )( '( ))

' '( ) ( ) ( ) .

P x P x P x

P x P x

y C x e y C x e C x P x e

y C x e p x C x e

  

 

     

 

Podstawiamy y_* i y _* do równania (1):

( ) ( )

'( ) ^{P x} ( ) ( ) ^{P x}

C x e^ p x C x e^  p x C x e( ) ( ) ^{P x( ) ( )}

( )

( ) '( ) ( )

( ) ( ) .

P x

P x

q x C x q x e C x q x e dx

   





Podstawiamy do y_* i otrzymujemy:

( ) ( )

* [ ( ) ^{P x} ] ^{P x}

y 



q x e dx e^ – rozwiązanie szczególne (całka szczególna) równania niejednorodnego

III krok.

Sumujemy y_j i y_*

*. y yj  y

5A+B5 Przykład. Wyznaczyć rozwiązanie RRL y'  y e^xsin .x Rozwiązanie.

I krok:

' 0 dy dy ln ln ln _j ^x.

y y y dx y x C y y Ce

dx y

               

II krok:

* ( ) ^x '* '( ) ^x ( )( ^x) '( ) ^x ( ) ^x.

y C x e^ y C x e^ C x e^ C x e^ C x e^ Podstawiamy do RR:

'( ) ^x ( ) ^x ( ) ^{x x}sin '( ) sin ( ) cos 1

C x e^ C x e^ C x e^  e^ xC x   xC x  x C 

* ^xcos

y e^ x (wystarczy podać dowolną wartość C₁).

III krok:

* ^{x x}cos

y yj y Ce^ e^ x rozwiązanie ogólne układu niejdnorodnego.

5.2. Równania różniczkowe Bernoulliego

5A6 Definicja (RR Bernoulliego) W ten sposób nazywamy RR o postaci

' ( ) ( ) ^r

y  p x yq x y (7) 5A+B7 Uwaga

Zauważmy, że dla r 0 funkcja y x ( ) 0 jest zawsze rozwiązaniem równania Bernoulliego.Gdy r  , RR (7) jest RRL niejednorodnym, gdy zaś 0 r 1 jest RRL jednorodnym. W ogólnym przypadku RR (7) można także sprowadzić przez

podstawienie z  y^{1 r} do równania liniowego ze wsględu na inną funkcję niewiadomą z.

Ale zwykłą metodą rozwiązania RR (7) jest metoda _''u ^''. Mamy:

' ' ' ' '

( ) ( ) ^{r r} ( ( ) ) ( ) ^{r r}

yu     y u  u  p x u  q x u  uu   p x q x u 

' '

( ) 0 ( ) ^{r r} p x u q x u

 

 

  

 

 

( ) ( ) 1

( )

p x dx p x dx r

r

e du e q x dx

  ^  u  ^ ^{ } ^ (to jest RR o zmiennych rozdzielonych).

5A+B8 Przykład. Znależć całkę ogólną równania (Bernoulliego):

' 2

ln

xy  y y x (8) Rozwiązanie. Mamy:

'

' ' 2 2

' 2 2

( ) ln 0

ln

y u xu u x u x x

xu u x

      

 

  

      

 

' 2

2 2 2

1 ln ln

x du x .

u u dx

x x u x

    







Po całkowaniu tego równania, obliczając całkę

2

ln 1 1 ln 1

ln ,

x dx x

dx x C

x x x x x x

 

         

 

za pomocą całkowania przez części:

otszymamy

1 ln u x

x Cx

   , gdzie C jest dowolną stałą. Wracając do zmiennej y otrzymujemy całkę ogólną: 1

y 1 ln

x Cx

   .

5A+B9 Ćwiczenie. Czy funkcja ( )y x  jest A) rozwiązaniem, B) rozwiązaniem 0 szczególnym RR (8) w przedziale (1, ? )

5.3. Równania różniczkowe zupełne

5A+B10 Definicja (RR zupełne) W ten sposób nazywamy RR

^' ( , ) ( , ) P x y

y  Q x y (9) lub o postaci różniczkowej ( , )P x y dxQ x y dy( , ) 0, gdy istnieje funkcja u(x,y) klasy C² w obszarze D  ², ktorej różniczka zupełna równa się lewej stronie tego równania:

( , ) ( , ) ( , )

du x y P x y dxQ x y dy, a więc gdy: u , u

P Q

x y

   

  ^.

Stąd mamy

5A+B11 Uwaga Równanie (13) jest zupełne wtedy i tylko wtedy, gdy

P Q

y x

 

  ^. 5B12 Twierdzenie

Jeżeli funkcje P x y( , ) i Q x y( , ) klasy C¹ w prostokącie {( , ) 2: ( , ), ( , )}

D x y  x a b y c d spełniają warunek P Q

y x

 

  oraz funkcja Q x y( , ) nie przyjmuje wartości zero w żadnym punkcie tego prostokąta, to wzór u x y x( , ( ))C, gdzie

C jest dowolną stałą, a funkcja u x y( , ) jest określona następująco

0 0

0 0 0

( , ) ( , ) ( , ) , ( , )

x y

x y

u x y 



P t y dt



Q x t dt x y D, przedstawia całke ogólne RR (13), a ponadto przez każdy punkt (x y₀, ₀) prostokąta D przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

5B13 Przykład. Znależć całke ogólne równania

3 2 2 3

(x xy 1)dx(x y y dy) 0. (10)

Ponieważ P 2 Q

y xy x

 

 

  więc w dowolnym obszarze prostokątnym D bez punktów osi Ox są spełnione wszystkie zalożenia poprzedniego twerdzenia. Mamy zatem

0 0

4 2 2 2 2 2

3 2 2 3 0 0

0

2 2 4 2 2 2 4 2 2 4

0 0 0 0

0 1 2

( , ) ( 1) ( )

4 2 4 2

2 4 2 4 4 2 4 .

x y

x y

x x y x x y

u x y x xy dx x y y dy x

x y y x y y x x y y

x C x C

          

          

 

Wtedy wzór

4 4 2 2

4 2

x y x y

x C

    przedstawia całkę ogólną równania (10).

5.4. Klasyfikacja równań różniczkowych rzędu pierwszego

5A+B14 Uwaga

W praktyce jest użyteczna następująca klasyfikacja RR rzędu 1:

postać: y^'  f x y( , ) nazwa metoda całkowania 1) ( , )f x y ( )x ( )y RR o zmiennych

rozdzielonych

rozdzielamy zmienne i całkujemy

2) ( , )f tx ty  f x y( , ) RR jednorodne podstawienie y  u x 3) ( , )f x y  p x y( ) q x( ) RRL podstawienie y  u  4) ( , )f x y  p x y( ) q x y( ) ^r RR Bernoulliego podstawienie y  u 

5) ( , )

( , )

( , ) P x y f x y

Q x y

 

P Q

y x

 

  (poziom B)

RR zupełne całka ogólna



^,

  

u x y x  , gdzie c

0

0

0

( , ) ( , )

( , )

x

x y

y

u x y P t y dt

Q x t dt

 







Warto podkreślić że podstawienie y u x  jest przypadkiem szczególnym podstawienia y u  przy  . x

5A+B15 Przykład. Podać klasyfikację podanych RR:

2 2 2

*

2

a) ( ); b) 1; c) ( );

d) 1 .

2

x y y x y x y y y dx x dy xy xdy ydx

y x y

      

  

5.5. Równania rzędu drugiego sprowodzalne do równań rzędu pierwszego



^{; ; ,}



⁰

F x y y y"  – postać ogólna równania rzędu drugiego.



^{, ,}



y f x y y – postać równania rzędu drugiego rozwiązanego względem drugiej pochodnej.

 

 

0 0

1

0 0

, y x y y' x y

 



  – zagadnienie początkowe Caushy’ego.



, 1, 2



y x C C – postać ogólnego rozwiązania.

Istnieją dwa fundamentalnie różne przypadki równania rzędu drugiego

sprowodzalnego do równania rzędu pierwszego: 1) brak niewiadomej funkcji y y x( ), 2) brak zmiennej niezależnej .x

5A16 Uwaga (brak niewiadomej funkcji y ) Równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci



^{, ,}



⁰

F x y y"  (11) przez podstawienie

,

yz yz (12) sprowadza się do równania różniczkowego rzędu pierwszego



^{, ,}



^0,

F x z z  (13)

tutaj dy ( ), d dy dz .

y z z x y z

dx dx dx dx

 

       

Całkując otszymane RR (13) rzedu pierwszego otszymujemy rozwiązanie ogólne



, 1



z  x C (14) tego równania lub, co jest równoważnie, równanie



, 1



z dy x C

dx  

o zmiennych rozdzielonych. Rozdzielając zmienne i całkując



, 1



dy  x C dx

 

dochodzimy do rozwiązania



^; ₁

 

^; ₁^; ₂



y 



x C dx  x C C (15) ogólnego RR (11).

5A17 Uwaga (brak zmiennej niezależnej x) Równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci



^{, ,}



⁰

F y y y"  (16)

przez podstawienie

,

y z y z z (17) sprowadza się do równania różniczkowego rzędu pierwszego



^{, ,}



^0,

F y z z z  (18)

tutaj ( ( ))

( ), .

dy d dy d z y dz dy

y z z y y z z

dx dx dx dx dy dx

 

         

Całkując otszymane RR (18) rzedu pierwszego otszymujemy rozwiązanie ogólne



, 1



z  y C (19) tego równania lub, co jest równoważnie, równanie



, 1



z dy y C

dx  

o zmiennych rozdzielonych. Rozdzielając zmienne i całkując ( , 1)

dy dx

y C 







dochodzimy do całki



1 2



1

, , , 0

( , )

dy x x y C C

y C    



 (20) ogólnej RR (16).

5A18 Przykład. Scałkować podane RR obniżając rząd tych równań

 

²

a)x y y' 1; b) y y  y  0.

Rozwiązanie:

a) Metoda standardowa: RR (brak niewiadomej funkcji y ) przez podstawienie ,

yz yz sprowadza się do RR rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych 1,

x z  z całkując które

1

( 1) ln 1 ln ln 1 1

1

dz dz dx C

x z z x C z

dx     z   x         x



otszymamy RR o zmiennych rozdzielonych dy 1 C¹

z dx   x . Rozdzielając zmienne i całkując 1 C¹

dy dx

x

 

   

 

 

dochodimy do rozwiązania ogólnego y C ₁ln x  RR a). C₂

WM-metoda: 1

 

1 x C¹ 1ln 2.

x y y' xy y y C x C

x

 

         

b) RR (brak zmiennej niezależnej x) przez podstawienie yz y,  z z sprowadza się do RR rzędu pierwszegoy z z   z² z y z(    . Stąd  z) 0

dy 0

zdx lub y z   ( RR o zmiennych rozdzielonych).  z 0 Całkujemy: y C const lub ^{dz z}

dy  y  ^{dz dy}

z  y ln z ln y lnC₁  z C y ₁ .

Otszymujemy RR o zmiennych rozdzielonych dy ₁ .

z C y

 dx  . Rozdzielamy zmienne i całkujemy: ^dy C dx₁

y  ln y C x₁ lnC₂  y e^{ln C2} e^{C x1} 

1

2

y C eC x lub y C const.

Natomiast rozwiązaniey C const jest przypadkiem szczególnym rozwiązania

2 1

y C eC x dla C₁0,C₂  i uzyskana funkcja C

1

2

y C eC x

jest (w pewnym obszarze) rozwiązaniem ogólnym RR b).

5A19 Uwaga

Uznane podejście do obniżenia rzędu może być stosowane też do pewnych typów RR rzędu wyższego niż drugi.

5A20 Przykład. Scałkować RR y  rzędu 3. y 0

Rozwiązanie. Równanie przez podstawienie yz y,  z z_x sprowadza się do RR rzędu pierwszego z  o zmiennych rozdzielonych, całkując które: z 0

dz dx

z   ln z  x lnC₁ z e C ^x ₁ dochodzimy do RR

 

_{x x} 1 ^x, z y y   C e skąd

 

1 ^x 1 ^x 2 1 ^x 2 1 ^x 2 3.

y



C e dx C e C  y



C e C dxC e C xC

Otszymujemy rozwiązanie ogólne yC e₁ ^x C x₂ C₃ (w obszarze ⁴).

Praca domowa

1. Podać klasyfikację podanych RR:

2 2 2

a)x y y x(  y); b)x y y 1; c) y dxx dyxy xdy( ydx);

*

2

d) 1 .

y 2

x y

  

2. Wyznaczyć rozwiązania podanych RR z wskazanymi warunkami początkowymi:

a)x y2  y x(  y y), (1) 1; b)x y y 1, (2)y  1;

* 2 2

c) y dxx dyxy xdy(  ydx y), (0)0.

3. Scałkować podane RR:

2 2

a) ln y ; b) 2( ) ( 1) ; c) ( 1) 2 , (0) 1, (0) 3.

x y y y y y x y x y y y

x

           