Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 12.
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Definicja (funkcja wypukła)
Funkcja f jest wypukła na przedziale ( , )a b , gdzie a b , jeżeli
1 2
0 1 (
1(1 )
2) ( )
1(1 ) (
2)
a x x b f x x f x f x
Geometrycznie wypukłość funkcji oznacza, że każdy odcinek siecznej wykresu leży wyżej lub pokrywa się z fragmentem wykresu położonym między punktami, przez które przechodzi sieczna.
Funkcja wypukła Funkcja ściśle wypukła
Definicja (funkcja wklęsła)
Funkcja f jest wklęsła na przedziale ( , )a b , gdzie a b , jeżeli
1 2
0 1 (
1(1 )
2) ( )
1(1 ) (
2)
a x x b f x x f x f x
Geometrycznie wklęsłość funkcji oznacza, że każdy odcinek siecznej wykresu leży niżej lub pokrywa się z fragmentem wykresu położonym między punktami, przez które przechodzi sieczna.
Funkcja wklęsła Funkcja ściśle wklęsła
Twierdzenie (warunek wystarczający wypukłości i wklęsłości)
Jeżeli f "( )x 0dla każdego x( , )a b to funkcja f jest ściśle wypukła na x( , )a b
Jeżeli f "( )x 0dla każdego x( , )a b to funkcja f jest ściśle wypukła na x( , )a b .
Jeżeli f "( )x 0dla każdego x( , )c d to funkcja f jest ściśle wklęsła na x( , )c d .
Przykład
Obliczyć przedziały wklęsłości i wypukłości podanych funkcji a) f(x)=arctg ,x D ; b) f(x)=ex,D .
Definicja (punkt przegięcia wykresu funkcji)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu
x
0. Ponadto niech funkcja f ma tam pochodną właściwą lub niewłaściwą. Punkt ( , ( ))x f x0 0 jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba
0 taka, że funkcja f jest ściśle wypukła na S x( , )0
oraz ściśle wklęsła na S x( , )0
albo jest odwrotnie.Obrazowo punkt wykresu funkcji jest punktem przegięcia, jeżeli funkcja ma w tym punkcie styczną i zmienia w nim rodzaj wypukłości.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1) ( , ( ))x0 f x0 jest jej punktem przegięcia 2) istnieje f"( )x0
to
"( )0 0.
f x
Uwaga
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Świadczy o tym przykład funkcji f x( )x4, która spełnia warunek f"( )x0 0, ale (0,0) nie jest punktem przegięcia wykresu funkcji.
Fakt (o lokalizacji punktów przegięcia wykresu funkcji)
Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w punktach, w których jej druga pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej druga pochodna nie istnieje.
Twierdzenie (warunek wystarczający punktu przegięcia) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1) w punkcje
x
0 ma pochodną właściwą lub niewłaściwą2) 0
0
"( ) 0 dla każdego ( , ) 0 "( ) 0 dla każdego ( , )
f x x S x
f x x S x
lub
0 0
"( ) 0 dla każdego ( , ) 0 "( ) 0 dla każdego ( , )
f x x S x
f x x S x
3) n jest liczbą parzystą, gdzie n2
to ( , ( ))x f x0 0 jest punktem przegięcia jej wykresu.
Przykład
Obliczyć punkty przegięcia podanych funkcji f(x)=x ln x,2 D(0, ).
BADANIE FUNKCJI 1) Dziedzina funkcji.
2) Miejsca zerowe, podstawowe własności (parzystość, nieparzystość, okresowość) 3) Granice funkcji
4) Asymptoty ukośne, poziome i pionowe 5) Pochodna funkcji
a) dziedzina
b) ekstrema funkcji
c) monotoniczność funkcji 6) Druga pochodna funkcji
a) dziedzina
b) punkty przegięcia wykresu funkcji c) przedział wklęsłości i wypukłości 7) Tabelka
8) Wykres
Przykład Zbadać funkcję f x( ) x e2x i sporządzić jej wykres .
