Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład 6

(1)

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 6

6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW

6.1. Pojęcia wstępne.

6.2. Równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach.

6.3. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach.

6.4. Równania różniczkowe liniowe rzędu 2 jednorodne o stałych współczynnikach.

6.5. Równania różniczkowe liniowe rzędu 2 niejednorodne o stałych współczynnikach.

6.1. Pojęcia wstępne Rozważmy niejednorodne RRL rzędu n o postaci:

   

L y  f x (1) oraz jednorodne RRL postaci

 

^0,

L y  (2) gdzie L y( ) y^{( )}ⁿ  p x y₁( ) ⁽ⁿ^¹⁾ ... p x y x_n( ) ( ) jest liniowym operatorem różniczkowym (tutaj wyraz wolny ^{f x}

 

oraz współczynniki p x₁( ),...,p x_n( ) są określone na przedziale

 

^{a b}^, ^).

6A+B1 Fakt (własności rozwiązań)

1.1. Kombinacja liniowa y x( )y x₁( )y x₂( ) rozwiązań y x₁( ) i y x RRL ₂( ) jednorodnego (2) (gdzie  i  są dowolnymi stałymi) jest także rozwiązaniem tego równania.

1.2. Rożnica y x( ) y x₁( ) y x₂( ) rozwiązań y x y x₁( ), ₂( ) RRL niejednorodnego (1) jest rozwiązaniem RRL jednorodnego (2).

1.3. Suma y x( ) y x₁( ) y x₂( ) rozwiązań y x RRL jednorodnego (2) i ₁( ) y x ₂( ) RRL niejednorodnego (1) jest rozwiązaniem RRL niejednorodnego (1).

1.4.^* Zbiór wszystkich rozwiązań RRL jednorodnego (2) jest przestrzenią liniową (poziom B) wymiaru n, której bazą jest układ fundamentalny (jak zobaczymy dalej).

6A2 Definicja

Ciąg rozwiązań y x₁( ),...,y x_n( ) RRL jednorodnego (2) rzędu n nazywamy układem fundamentalnym tego równania na przedziale

 

^{a b}^, , jeżeli dla każdego x( , )a b spełniony jest warunek

1 2

def 1 2

( 1) ( 1) ( 1)

1 2

( ) ( ) ... ( )

( ) det 0

... ... ... ...

( ) ( ) ... ( )

n n

n n n

n

y x y x y x

W x

y ^ x y ^ x y ^ x

 

    

  

 

 



(3)

Wyznacznik W(x) w (3) nazywamy wrońskianem układu funkcji y x₁( ),...,y x . _n( ) 6B3 Fakt (wzór Liouwille’a)

(2)

Jeżeli funkcje y x₁( ),...,y x_n( ) są rozwiązaniami RRL jednorodnego (2) i funkcja p x1

 

jest ciągła na przedziale

 

^{a b}^, ^oraz x0( , )a b , to

1 0

( )

( ) ( )0

x

p x dx

W x W x e



 dla dowolnego

( , ) x a b ^.

6A+B4 Twierdzenie (postać rozwiązania ogólnego RRL jednorodnego)

Jeżeli współczynniki p x₁( ),...,p x są ciągłe na przedziale _n( )

 

a b , to dla dowolnego ^, RRL (2) jednorodnego istnieje układ fundamentalny y x₁( ) ,...,y x_n( ) oraz rozwiązanie ogólne tego równania ma postać

( ) 1 1( ) ... _n _n( )

y x C y x  C y x , (4) gdzie stałe C₁,...,C_n są dowolne oraz ciąg y x₁( ) ,...,y x_n( ) jest dowolnym układem fundamentalnym na (a,b).

Dowód (B). Dla RRL (2) o współczynnikach ciągłych istnieje rozwiązanie dowolnego zagadnienia początkowego Cauchy’ego, w szczególności niech y xi

 

będzie rozwiązaniem zagadnienia początkowego ⁽ ¹⁾ ₀ 0,

( ) 1,

k

i ik

i k

y x

i k



  

    ^dlak1,...,n oraz i1,...,n. Wówczas macierz w (3) będzie jednostkowa i W x( ) 1 0₀   . Ze wzoru Liouwille’a wynika, zatem że układ y x₁( ),...,y x_n( ) jest fundamentalny. Jeżeli ciąg y x₁( ),...,y x_n( ) jest dowolnym układem fundamentalnym, to z 6A+B1 wynika, że funkcja (4) przy ustalonych wartościach dowolnych stałych jest rozwiązaniem na przedziale (a,b) RRL (2) oraz zagadnienie początkowe

1 1 0 0 0 0

1

1 1 0 0 0 0

( 1) ( 1) ( 1) 1

1 1 0 0 0 0

( ) ... ( ) ( ) ,

...

( ) ... ( ) ( )

n n n n

n n

C y x C y x y x y

C y ^ x C y ^ x y ^ x y ^

   

       



    



(5)

jest rozwiązalne względem dowolnych stałych C₁,...,C_n, ponieważ wyznacznik układu (5) jest wrońskianem układu fundamentalnego, więc nie równa się zeru. Stąd wynika, że rozwiązanie o postaci (4) jest ogólne dla RRL (2).

6B5 Uwaga

Ciąg y x₁( ),...,y x_n( ) jest układem fundamentalnym na

 

^{a b}^, dla RRL (2) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje y x₁( ),...,y x_n( ) są liniowo niezależne na przedziale

 

^{a b}^, (jako wektory

przestrzeni wektorowej rozwiązań), to znaczy

1 1y x( ) ... _ny x_n( ) 0, x ( , )a b 1 ... _n 0

          .

6B+C6 Fakt

Jeżeli y x1

 

jest rożnym od zera rozwiązaniem RRL (2) jednorodnego rzędu n, to przez podstawienie y y x₁( )



z x dx( ) równanie to sprowadza się do RRL jednorodnego rzędu n 1 względem nowej funkcji niewiadomej z.

6A+B7 Twierdzenie (postać rozwiązania ogólnego RRL niejednorodnego)

(3)

Niech y x_*( ) będzie dowolnym rozwiązaniem RRL (1) niejednorodnego i niech

1( ),..., _n( )

y x y x będzie dowolnym układem fundamentalnym RRL (2) jednorodnego.

Wtedy dla każdego rozwiązania y x RRL (1) niejednorodnego istnieją jednoznacznie

 

określone stałe C₁,...,C_n takie, że

1 1 *

( ) ( ) ... _n _n( ) ( )

y x C y x  C y x  y x (6) 6A8 Uwaga (rozwiązanie ogólne RRL niejednorodnego)

Funkcja (6) jest wówczas rozwiązaniem ogólnym RRL (1) niejednorodnego. Jest to suma ( ) _j( ) *( )

y x  y x  y x rozwiązania ogólnego y x równania jednorodnego i dowolnego _j( ) (ustalonego) rozwiązania y x równania niejednorodnego. Inaczej mówiąc, znając _*( ) jedno rozwiązanie RRL niejednorodnego oraz dowolny układ fundamentalny RRL jednorodnego możemy podać wszystkie rozwiązania równania niejednorodnego.

6.2. Równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach Rozważmy RRL jednorodne o stałych współczynnikach

( ) ( 1)

1 ... 1 0, gdzie 1,..., .

n n

n n n

y  p y ^   p _ y p y p p  (7) Korzystając z metody Eulera rozwiązania równania (7) poszukujemy rozwiązania w postaci funkcji wykładniczej ye^^x. Podstawiając do (7) i skracając przez e^^x otrzymamy równanie algebraiczne do obliczania wartości parametru .

6A9 Definicja (równanie charakterystyczne RRL o współczynnikach stałych) Wielomian u( ) ⁿ  p₁ⁿ^¹ ... p_n nazywamy wielomianem charakterystycznym oraz równanie

1

1 ... 0

n n

p pn

   ^    (8) nazywamy równaniem charakterystycznym RR (7).

6B10 Fakt (układ fundamentalny RRL o stałych współczynnikach)

Jeżeli równanie (8) charakterystyczne ma s różnych rzeczywistych pierwiastków (wartości własnych) ₁,...,_s o krotnościach odpowiednio k₁,...,k_s i m różnych par

1 i 1,..., _m i _m

      pierwiastków zespolonych o krotnościach odpowiednio l₁,..., ,l_m przy czym k₁  ... k_s 2(l₁ ... l_m)n, to układ fundamentalny równania (7) tworzą funkcje

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1

, , ... , ; ... , , ... , ;

cos , sin , cos , sin ,..., cos , sin ;...

cos , sin , cos , sin ,..., cos

s s s s

m m m m m m

x x k x

x x x x l x l x

x x x x l x

m m m m

e xe x e e xe x e

e x e x xe x xe x x e x x e x

e x e x xe x xe x x e

  

     

    

     

   



 

 1

, ^l^m ^m^xsin .

mx x e^ mx

 ^ 

6A+B11 Przykład. Wyznaczyć układy fundamentalne oraz rozwiązania ogólne podanych równań różniczkowych

a) y''' 2 y y 0; b) y⁽⁶⁾ y⁽²⁾ 0; c)^* y^Vyy y 0.

Rozwiązanie:

(4)

a) ³2²    0 ₁ 0,₂  1,₃    1 y C₁C e₂ ^^x C xe₃ ^^x; b) ⁶²   0 ₁ 0,₂ 0,₃  1,₄ 1,₅  i,₆  i

1 2 3 ^x 4 ^x 5cos 6sin ; yC C x C e ^ C e C x C x

c) ⁵ ³ ² 1 0 ₁ 1, ₂ 1, ₃ 1, ₄ ¹ ³, ₅ ¹ ³

2 i 2 2 i 2

                    

2

1 2 3 4 5

3 3

cos sin .

2 2

x

x x x x x

y C e^ C e C xe e^ C C 

      

 

6.3. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach Rozważmy RRL niejednorodne o stałych współczynnikach

( ) ( 1)

1 ... ( )

n n

y  p y ^   p yn  f x . (9)

6A12 Definicja (specjalną prawą stroną RRL)

Specjalną prawą stroną RRL niejednorodnego (9) o stałych współczynnikach nazywamy funkcję f x o postaci

 

( ) ^x( _k( )cos _j( )sin )

f x e^ P x xQ x x , (10) gdzie P x i k

 

Q xj

 

są wielomianami stopnia k i j odpowiednio. Stałą kontrolną funkcji (10) nazywamy liczbę zespoloną   i, gdzie i  ² 1.

6A+B13 Fakt (metoda przewidywania − metoda współczynników

nieoznaczonych poszukiwania rozwiązania RRL (9), (10) niejednorodnego)

Rozważmy RRL (9), (10) niejednorodne o stałych współczynnikach ze specjalną prawą stroną. Wtedy:

13.1) jeżeli stała kontrolna   i specjalnej prawej strony ^{f x}

 

w (9) nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (8), to rozwiązanie szczególne y x _*( ) RR (9), (10) (patrz (6)) można szukać w postaci



¹ ¹



*( ) ^x ( _m ^m _m 1 ^m ... 0)cos ( _m ^m _m 1 ^m ... 0)sin

y x e^ A x  A _ x ^   A x B x B _x ^  B x ; 13.2) jeżeli  jest s-krotnym pierwiastkiem równania (8), to rozwiązanie y x_*( ) RR (9), (10) można szukać w postaci



¹ ¹



*( ) ^s ^x ( _m ^m _m 1 ^m ... 0)cos ( _m ^m _m 1 ^m ... 0)sin

y x x e^ A x  A _ x ^   A x B x B _x ^  B x ,(11) gdzie ^m^^max

 

^{k j}^, ^{, a}A0,...,A B_m, 0,...,B_m są odpowiednio dobranymi współczynnikami (rzeczywistymi).

6A+B14 Przykład. Metodą przewidywań rozwiązać podane RRL:

a) y''' y x; b) yy24e²^x; c) y  y y sin .x Rozwiązanie:

a) Wyznaczamy układy fundamentalne oraz rozwiązania ogólne RRL jednorodnego

3

1 2 3 1 2 3

0 0, 1, 1 y y x_j( ) C C e ^x C e^x.

               ^ 

(5)

Stała kontrolna     i  0 0i 0 spełnia warunki   0    ₁  ₂,  ₃; więc rozwiązanie y x szczególne RRL niejednorodnego szykamy w postaci _*( )

*( ) ( 1 0);

y x x A xA

obliczamy y_*( )x 2A x₁  A y₂, _*( )x 2 ,A y₁ _*( )x  i następnie wstawiamy do RR 0 niejednorodnego: (2A x₁ A₂) x.

Porównując współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x otrzymamy układ

1 2

2 1, 0;

A A

 

  

 ^stąd ¹ ²

1, 0;

A  2 A  mamy zatem _*( ) ² 2

y x  x jestrozwiązaniem szczególnym RRL niejednorodnego oraz

2

* 1 2 3

( ) ( )

2

x x

j

y y x  y x C C e^ C e  x jestrozwiązaniem ogólnym RRL niejednorodnego a).

b) ³²  0 ₁0,₂ 0,₃   1 y x_j( )C₁C x C e₂  ₃ ^^x;

1 2 3

( ) ^x

y xj C C x C e ^  rozwiązanie ogólne RRL jednorodnego;

2 2

1 2 3 * *

2 0 2 , , ( ) ^x ( ) 2 ^x,

i i y x Ae y x Ae

                  ^ 

2 2 2 2 2

* ( ) 4 ^x, * ( ) 8 ^x 8 ^x 4 ^x 24 ^x 2

y x  Ae y x  Ae  Ae  Ae  e   A

2

*( ) 2 ^x

y x  e  rozwiązanie szczególne RRL niejednorodnego; 

2

* 1 2 3

( ) ( ) ^x 2 ^x

y y xj y x C C x C e ^  e  rozwiązanie ogólne RRL niejednorodnego b).

c) ² 1 0 ₁ ¹ ³ , ₂ ¹ ³

2 2 i 2 2 i

           

2

1 2

3 3

( ) cos sin

2 2

x j

x x

y x e C C 

   

  rozwiązanie ogólne RRL jednorodnego;

1 2

0 1 ,

i i i

              

*( ) cos sin , *( ) sin cos , * ( ) cos sin y x  A xB x y x  A xB x y x  A xB x

cos sin ( sin cos ) cos sin sin 1, 0

A x B x A x B x A x B x x A B

           

*( ) cos

y x  x rozwiązanie szczególne RRL niejednorodnego; 

2

* 1 2

3 3

( ) ( ) cos sin cos

2 2

x j

x x

y y x y x e C C  x

      

  rozwiązanie ogólne RRL

niednorodnego c).

6A15 Uwaga

Niech prawa strona f x( ) f x₁( ) ...  f x_k( ) będzie sumą prawych stron

1( ),..., _k( )

f x f x oraz y_*1( ),...,x y_*_k( )x będą rozwiązaniami RRL o prawych stronach

1( ),..., _k( )

f x f x odpowiednio. Wtedy funkcja y x_*( ) y_*1( ) ...x   y_*_k( )x będzie rozwiązaniem RRL o prawej stronie ( ).f x

(6)

6A+B16 Przykład. Metodą przewidywań rozwiązać podane RR

'' 2cos2 .

y   y x x

Rozwiązanie. Prawą stronę f x( ) x 2cos² x  x 1 cos(2 )x nie jest specjalną ale

jeżeli funkcje y_₁( )x i y_₂( )x są rozwiązaniami odpowiednio równań '' 1( ) 1

y  y f x   , x y'' y f x₂( )cos(2 )x to ich suma y_₁( )x y_₂( )x jest rozwiązaniem równania y'' y f x₁( ) f x₂( ) 1  x cos(2 ).x Mamy zatem:

2

1 2

1 0 i, i

        

y x_j( )C₁cosxC₂sinx rozwiązanie ogólne RRL jednorodnego;

dla f x : ₁( )   ₁  ₁ ₁i    0 0 i 0     ₁,  ₂  y_₁( )x  A x₁  A y₀, _₁^( )x  A₁,

* ( ) 0 0 1 0 1 1 1, 0 1 1( ) 1 ;

y x    A x A   x A  A  y_ x   x dla f x₂( ):

2 2 2i 0 2 i 2i 1, 2 y 2( )x Acos(2 )x Bsin(2 ),x

              _  

2 ( ) 2 sin(2 ) 2 cos(2 ), 2 ( ) 4 cos(2 ) 4 sin(2 ) y_  x   A x  B x y_  x   A x  B x 

4 cos(2 ) 4 sin(2 ) cos(2 ) sin(2 ) cos(2 ) 1, 0

A x B x A x B x x A 3 B

         

2

( ) 1cos(2 ) y_ x  3 x 

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) cos sin 1 1cos(2 )

j 3

y y x  y_ x  y_ x C xC x  x x  rozwiązanie ogólne RRL niejednorodnego y''  y x 2cos² x.

Zauważmy, że metodę współczynników nieoznaczonych można stosować tylko do RRL niejednorodnych o stałych współczynnikach i o specjalnej prawej stronie. Ogólna metodą poszukiwania jakiegokolwiek rozwiązania RRL niejednorodnego jest metoda uzmieniania∙stałych.

6A+B17 Fakt (metoda uzmieniania∙stałych poszukiwania rozwiązania RRL niejednorodnego)

Jeżeli ciąg y x₁( ),...,y x_n( ) jest układem fundamentalnym RRL (2) jednorodnego, to funkcja

*( ) 1( ) ( ) ...1 _n( ) _n( )

y x C x y x  C x y x , (12) gdzie c x₁( ),...,c x_n( ) jest dowolnym rozwiązaniem układu równań

1

1 1

( 1) ( 1)

1

( )

( ) ... 0

( ) ( )

( ) ... ...

... ...

... ... 0

( ) ( )

( )... ( )

n n

n n n

n

y x

y x C x

y x y x

y x C x

y ^ x ^ f x

     

      

   

   



 

    

 

(13)

(7)

jest rozwiązaniem RRL (2) niejednorodnego.

6A18 Przykład (RRL rzędu drugiego). Rozważmy RRL niejednorodne

( ) ( ) ( )

y p x yq x y f x (14) oraz RRL jednorodne

( ) ( ) 0.

y p x yq x y (15) Jeżeli ciąg y x , 1

 

y2

 

x rozwiązań RRL (15) jest układem fundamentalnym, tzn.

1 2 1

' '

1 2 2

( ) ( ) ( )

det 0

( ) ( ) ( )

y x y x y x

const

y x y x y x

 

  

 

  ,

to rozwiązanie ogólne RRL (15) jednorodnego ma postać

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

y x C y x C y x (16) oraz rozwiązanie ogólne RRL (14) niejednorodnego ma postać

1 1 2 2 *

( ) ( ) ( ) ( )

y x C y x C y x  y x , (17) gdzie stałe C C₁, ₂ są dowolne oraz y x_*( ) jest jakimkolwiek rozwiązaniem RRL (14) niejednorodnego, na przykład y x_*( )C x y x₁( ) ( )₁ C x y x₂( ) ₂( ) gdzie C x C x₁( ), ₂( ) jest rozwiązaniem układu

1 2 1

1 2 2

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) . ( ) ( )

y x y x C x

C x f x

y x y x

     

         

 

  (18) 6A19 Przykład. Znaleźć rozwiązanie ogólne podanego równania różniczkowego

'' ' .

1

x x

y y e

  e



Rozwiązanie. Mamy: ²    0 ₁ 0,₂  1 y x₁( )e⁰^^x 1, y x₂( )e^x  układ fundamentalny orazy x_j( )C₁C e₂ ^x  rozwiązanie ogólne RRL jednorodnego;

rozwiązanie szczególne y x RRL niejednorodnego szukamy w postaci _*( )

*( ) 1( ) ( )1 2( ) 2( ) 1( ) 2( ) ,^x y x C x y x C x y x C x C x e

gdzie (zobacz (18)):

1 2

( ) ( ) 0,

( ) 0 ( )

1

x

x x

x

C x C x e C x C x e e

e

    



    

 



. Stąd

1

2

( ) ,

1 ( ) 1

1

x x

x

C x e

e C x

e

   

  

  

 



1( ) ln ^x 1 , 2( ) ln ^x 1

C x   e  C x   e^  

*( ) ln ^x 1 ^xln ^x 1

y x   e  e e^  rozwiązanie szczególne y x RRL niejednorodnego _*( ) oraz y y x_j( ) y x_*( )C₁C e₂ ^x lne^x  1 e^xlne^^x 1 rozwiązanie ogólne RRL niejednorodnego.

6.4. Równania różniczkowe liniowe rzędu 2 jednorodne o stałych współczynnikach

(8)

Rozważmy RRL rzędu drugiego jednorodne o współczynnikach stałych (RRLWS):

0

y pyqy (19) gdzie ,p q  .

Równanie charakterystyczne (RCH) ma postać:

2 p q 0

    ^. (20)

Wtedy

6A20 Fakt (postać rozwiązania ogólnego RRLWS (19) rzędu drugiego jednorodnego o współczynnikach stałych)

Układ fundamentalny y x , 1

 

y2

 

x oraz rozwiązanie ogólne

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

y y xj C y x C y x RRLWS (19) ma postać:

20.1) y x₁( )e^¹^x,y x₂( )e^²^x oraz y x( ) y x_j( )C e₁ ^¹^x C e₂ ^²^x,

gdy RCH (20) ma różne pierwiastki  ₁, ₂ rzeczywiste ( ₁ ₂);

20.2) y x₁( )e^¹^x,y x₂( )xe^¹^x oraz y x( ) y x_j( )(C₁C x e₂ ) ^¹^x, gdy RCH (20) ma jeden pierwiastek podwójny rzeczywisty ( ₁ ₂ );

20.3) y x₁( )eâxcosbx y x, ₂( )eâxsinbx, y x( ) y x_j( )eâx(C₁cosbxC₂sinbx), gdy RCH (20) ma pierwiastki ₁  a bi,₂  a bi zespolone, b  0

6A21 Przykład. Scałkowac (wyznaczyć rozwiązania ogólne) podanych RR:

a) y y 2y0; b) y2y y 0; c)y  y y 0.

Rozwiązanie:

a) Równanie charakterystyczne ²    ma różne pierwiastki rzeczywiste:  2 0

1 2

1   2,

    więc rozwiązanie ogólne RR a) ma postać: y x_j( )C e₁ ^^xC e₂ ²^x; b) Równanie charakterystyczne ² 2  ma pierwiastek podwójny 1 0 rzeczywisty:  ₁ ₂ 1, więc rozwiązanie ogólne RR b) ma postać:



1 2



( ) ^x;

y xj  C C x e

c) Równanie charakterystyczne ²    ma pierwiastki  1 0 zespolone:

1 2

1 3 1 3

, ,

2 2 i 2 2 i

        więc rozwiązanie ogólne RR c) ma postać:

2

1 2

3 3

( ) cos sin .

2 2

x j

x x

y x e^ C C 

   

 

6A22 Przykład.Rozwiązać zagadnienie początkowe (0) 0, (0) 1y  y  dla RR podanych w 6A21.

Rozwiązanie. Podstawiamy dane początkowe do rozwiązania ogólnego:

a) ¹₀⁰ ² ⁰₀ ¹ ² ¹



²



1 2 1 2

2

1,

0 (0) (0) , 3 1

1 3

1 (0) (0) 2 2

3

j x x

j

y y C e C e C C C

y e e

y y C e C e C C C



  

       

     

           

 

 



rozwiązanie zagadnienia początkowego (0) 0, (0) 1;y  y 

(9)

b)

 

0

1 2 1 1

0 0

2

2 1 2 2 1

0,

0 (0) 0 ,

1 (0) 0 1

C x

y C C e C

y x e

y C e C C e C C C

       

     

          

 



rozwiązanie zagadnienia początkowego (0) 0, (0) 1;y  y 

c)

1 1

2

1 2 2

0 (0) , 0,

2 3

2 sin

3 3 2

1 (0)

2 2 3

y C C x

y e x

C C

y C

   

 

    

       

 



rozwiązanie zagadnienia początkowego (0) 0, (0) 1.y  y 

6.5. Równania różniczkowe liniowe rzędu 2 niejednorodne o stałych współczynnikach

Rozważmy RRL rzędu drugiego niejednorodne o współczynnikach stałych (RRLWS):

( ), , .

y pyqy f x p q (21)

6A23 Fakt (postać rozwiązania ogólnego RRLWS)

Rozwiązanie ogólne RRLWS (21) rzędu drugiego niejednorodnego o współczynnikach stałych ma postać:

* 1 1 2 2 *

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

y y xj  y x C y x C y x  y x

gdzie C C₁, ₂ są dowolnymi stałymi, funkcje y x , 1

 

y2

 

x tworzą układ fundamentalny RRLWS (19) jednorodnego, funkcja y x jest jakimkolwiek rozwiązaniem RRL (21) *

 

niejednorodnego oraz dla poszukiwania ktorej dla dowolnej funkcji ( )f x korzystamy ze metody uzmieniania∙stałych: y x_*( )C x y x₁( ) ( )₁ C x y x₂( ) ₂( ), gdzie C x C x₁( ), ₂( ) jest rozwiązaniem układu (18). Jeżeli funkcja ( )f x ma postać (10) specjalnej prawej strony to do poszukiwania rozwiązania y x_*( ) można stosować metodę (11) współczynników nieoznaczonych przy czym:

a) r 0 jeżeli stała kontrolna   i różni się od pierwiastków  ₁, ₂ RCH (20);

b) r 1 jeżeli     ₁,  ₂;c) r 2 jeżeli   ₁,   ₂.

6A24 Uwaga (Algorytm rozwiązywania równań o stałych współczynnikach):

6.1) napisać równanie charakterystyczne;

6.2) obliczyć wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego;

6.3) każdemu pierwiastkowi przyporządkować rozwiązanie według schematu 6B10, 6A20;

6.4) napisać rozwiązanie ogólne RRL jednorodnego;

6.5) wyznaczyć rozwiązanie szczególne RRL niejednorodnego stosując metodę współczynników nieoznaczonych lub/albo metodę uzmieniania∙stałych.

6.6) napisać rozwiązanie ogólne RRL niejednorodnego;

6.7) rozwiązać zagadnienia początkowe (brzegowe) jeżeli są podane.

(10)

Praca domowa

1. Wyznaczyć rozwiązania podanych RR z wskazanymi warunkami początkowymi:

a) y2y y 3x2 6x6, (0)y 0, (0)y 0,y(0)6;

3

2 1

b) y y , (1) 1, (1)y y 1;

x x

      

1 5

c) 1 sin sh , (0) , (0) ,

4 4

y  y x x y  y  tutaj

1 2 3 4

( ) 1 sin sh 1 sin ( ) ( ) ( ) ( ),

2

x x

e e

f x x x x f x f x f x f x

 

         

gdzie ₁( ) 1, ₂( ) sin , ₃( ) , ₄( )

2 2

x x

e e

f x f x x f x f x

 

    .