Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 11.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 11.

POCHODNE FUNKCJI Definicja (różniczka funkcji)

Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x₀. Różniczkę funkcji f w punkcie x₀ nazywamy funkcję df zmiennej x określoną wzorem

( ) '( )0 . df x  f x x Fakt (zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych) Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x₀, to

0 0 0

( ) ( ) '( ) .

f x  x  f x  f x x Przykład

Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń a) ⁴15,96; b) arctg1,05.

Definicja (pochodna właściwa n-tego rzędu funkcji)

Pochodna właściwa n-tego rzędu funkcji f w punkcie x₀ definiujemy

( ) ( 1)

0 0

( ) '( ) dla 2.

n n

f x f ^  x n

Przyjmujemy, że f⁽⁰⁾(x₀) f x( ₀). Przyjmujemy, także f ^II,f ^III, f^IV zamiast odpowiednio

(2) (3) (4)

, , .

f f f

Przykład

Obliczyć pochodne f ^I, f ^II, f^III dla podanych funkcji a) f x( )e^x2; b) f x( )xln .x

Twierdzenie (reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności 0 0⁾ Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:

1)

0 0

( ) ( ) 0;

lim lim

x x x x

f x g x

 

 

2) Istnieje granica

0

'( );

lim

x x

f x

 g x

(właściwa lub niewłaściwa)

to

0 0

( ) '( )

( ) '( ).

lim lim

x x x x

f x f x

g x g x

 



Przykład

Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice

0

2

sin 2arctg

a) ; b) .

ln 1 1

lim lim

x x

x x x

x

x



 

 

  

 

 

Twierdzenie (reguła de L’Hospitala dla nieoznaczoności 

⁾ Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:

1)

0 0

( ) ( ) ;

lim lim

x x x x

f x g x

 

  

2) Istnieje granica

0

'( );

lim

x x

f x

 g x

(właściwa lub niewłaściwa)

to

0 0

( ) '( )

( ) '( ).

lim lim

x x x x

f x f x

g x g x

 



Przykład

Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice

0

ln sin ln

a) ; b) .

ln tg ln

lim lim

x x

x x x

x x x

 







Fakt (tożsamości zmieniające rodzaje nieoznaczoności)

Nieoznaczoność Stosowana tożsamość Otrzymana nieoznaczoność 0 

1 1

f g f g

g f

   0

lub 0





   1 1

1 g f f g

fg



 

0 0

0 0 0

1 , ,0 f ^g e^{glnf 0 }

Przykład

Obliczyć podane granice

0

1 1 2

a) ln ; b) ; c) arctg .

lim lim

lim

x

x x

x

x x x

x  x 

  



    

    

 

BADANIE FUNKCJI Definicja (minimum lokalne funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀ minimum lokalne, jeżeli

0 0

0 x S x( , ) f x( ) f x( ).

 

    

Definicja (maksimum lokalne funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli

0 0

0 x S x( , ) f x( ) f x( ).

 

    

Minimum lokalne funkcji Maksimum lokalne funkcji Definicja (wartość najmniejsza funkcji na zbiorze)

Liczba m jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze A D_f jeżeli

0: ( )0 , ( ) .

x f x m x A f x m

    

Funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli Definicja (wartość największa funkcji na zbiorze)

Liczba M jest wartością największą funkcji f na zbiorze A D_f jeżeli

0: ( )0 , ( ) .

x f x M x A f x M

    

Funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne, jeżeli Twierdzenie (Fermata, warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1) ma ekstremum lokalne w punkcje x₀, 2) istnieje f x'( ),₀

to f x'( ₀)0.

Uwaga

Implikacja odwrotna jest fałszywa. Świadczy o tym przykład funkcji f x( )x³, która spełnia w punkcje

0 0

x  warunek f x'( ₀)0, ale nie ma tam ekstremum lokalnego.

Fakt (o lokalizacji ekstremów funkcji)

Funkcja może mieć ekstremum lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

Przykład

Funkcja f x( ) x , ma w punkcje x₀ 0 minimum lokalne, ale f '(0) nie istnieje.

Twierdzenie (I warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1) f x'( )₀ 0

2) ⁰

0

'( ) 0 dla każdego ( , ) 0 '( ) 0 dla każdego ( , )

f x x S x

f x x S x

 







 

    

to w tym punkcje x₀ ma maksimum lokalne właściwe.

Twierdzenie o minimum lokalnym właściwym jest analogiczne.

Przykład

Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji

4 3

1 1

a) f(x)=e e , ; b) f(x)= x + x +100x, .

4 3

x x

D D

   

Twierdzenie (II warunek wystarczający istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1) f x'( ₀) f⁽²⁾(x₀)  f^(n1)(x₀)0 2) ^{f ( )n ( )x0 0}





3) n jest liczbą parzystą, gdzie n2

to w tym punkcje x₀ ma maksimum lokalne właściwe, (minimum lokalne właściwe).

Przykład

Korzystając z II warunku wystarczającego istnienia ekstremum znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji

f(x)=(x-5)e .^x