dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 3, Matematyka; S-I 0 .lic. 16 listopada 2018

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 3, Matematyka; S-I ⁰ .lic. 16 listopada 2018

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr. 1

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych infor- macji.

Wzory na pochodne funkcji uwikªanej y = y(x) równania F (x, y) = 0 :

y ⁰ (x) = − F _x ⁰ F _y ⁰

y ⁰⁰ (x) = − F _xx ⁰ (F _y ⁰ ) ² − 2F _xy ⁰ F _x ⁰ F _y ⁰ + F _yy ⁰ (F _x ⁰ ) ² (F _y ⁰ ) ³

Pochodne funkcji uwikªanej z = z(x, y) równania F (x, y, z) = 0 : dz

dx = − F _x ⁰

F _z ⁰ , dz

dy = − F _y ⁰ F _z ⁰ . Wybrane wzory caªek:

Lp. Wzór Uwagi

17. R ₁

√

a

−x

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

+x

dx = ¹ _a arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

√

x

+a dx = ln  x + √

x ² + a 

 + c a ∈ R

20. R ₁

a

−x

dx = _2a ¹ ln   ^a+x _a−x

 + c a > 0, |x| 6= a 23. R sin ⁿ xdx = − _n ¹ cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R cos ⁿ xdx = _n ¹ sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R tg ⁿ xdx = _n−1 ¹ tg ⁿ⁻¹ x − R tg ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 26. R ctg ⁿ xdx = _n−1 ⁻¹ ctg ⁿ⁻¹ x − R ctg ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 27. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

28. R _dx

(x

+1)

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

)

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

(1+x

)

dx n ≥ 2

29. R √

a ² − x ² dx = ^a ₂

arcsin _|a| ^x + ^x ₂ √

a ² − x ² + c

Obliczanie caªek niewymiernych:

2a. Caªk¦ postaci R ^√ _ax

^dx +bx+c sprowadzamy do R √ ^dx

a(x−p)

+q i dokonujemy podstawienia x − p = q ₁

|a| t.

2b. Caªk¦ postaci R √

ax ² + bx + cdx sprowadzamy do R pa(x − p) ² + qdx i dokonujemy podstawienia x−p = q ₁

|a| t, a nast¦pnie stosujemy wzory ze strony 1

3. Caªk¦ postaci R ^√ _ax ^W

+bx+c ^(x) dx, gdzie W n (x) jest wielomianem stopnia n, przedstawiamy jako:

Z W n (x)

√ ax ² + bx + c dx = (A n−1 x ⁿ⁻¹ + . . . A 1 x + A 0 ) p

ax ² + bx + c + λ

Z dx

√ ax ² + bx + c ,

w celu wyliczenia A n−1 , . . . , A 1 , A 0 , λ obustronnie ró»niczkujemy, mno»ymy przez √

ax ² + bx + c i otrzymujemy równanie wielomianowe.

4. Caªk¦ postaci R P (x) √

ax ² + bx + c dx poprzez pomno»eni i podzielenie funkcji podcaªkowej przez √

ax ² + bx + c przeksztaªcamy do postaci R ^(ax

+bx+c)P (x)

√ ax

+bx+c dx. Nast¦pnie stosujemy algorytm z punktu 3.

5. Caªk¦ postaci R ^dx

(x−k)

√

dx

+ex+f poprzez podstawienie x − k = ¹ _t przeksztaªcamy do postaci R ^√ _at ^t

+bt+c dt, a wi¦c caªki z podpunktu 3.

6. Caªki typu R W (x, √

ax ² + bx + c)dx , gdzie W jest funkcj¡ wymiern¡ sprowadzamy najpierw do postaci kano- nicznej i stosujemy podstawienia:

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 3, Matematyka; S-I ⁰ .lic. 16 listopada 2018

a) R W (t, √

A ² − t ² )dt stosujemy podstawienie: t = A sin w lub t = A tgh w;

b) R W (t, √

A ² + t ² )dt stosujemy podstawienie: t = A tg w lub t = A sinh w;

c) R W (t, √

t ² − A ² )dt stosujemy podstawienie: t = _{cos w} ^A lub t = A cosh w.

7. Podstawienia Eulera

a) pierwsze podstawienie Eulera, gdy a > 0 : √

ax ² + bx + c = − √ ax + t;

b) drugie podstawienie Eulera, gdy c > 0 : √

ax ² + bx + c = xt + √ c;

c) trzecie podstawienie Eulera, gdy wyró»nik ∆ > 0 √

ax ² + bx + c = pa(x − x ₁ )(x − x ₂ ) = t(x − x ₁ ), gdzie x 1 , x ₂ to pierwiastki trójmianu ax ² + bx + c.

8. Caªki dwumienne: caªki postaci R x ^m (a + bx ⁿ ) ^p , gdzie m, n, p s¡ liczbami wymiernymi. Wówczas a) gdy p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

√

x = t,

gdzie N jest najmniejszym wspólnym mianownikiem liczb wymiernych m, n;

b) gdy ^m+1 _n jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:q

√

a + bx ⁿ = t, gdzie N jest mianownikiem liczby p;

c) gdy ^m+1 _n + p jest liczb¡ caªkowit¡, stosujemy podstawienie:

q

a+bx

x

= t, gdzie N jest mianownikiem liczby p.

Caªkowanie pewnych wyra»e« trygonometrycznych:

1. Caªk¦ R W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg ^x ₂ . Wówczas mamy:

dx = 2

1 + t ² dt, sin x = 2t

1 + t ² , cos x = 1 − t ² 1 + t ² .

2. Caªk¦ R W (sin ² x, cos ² x, sin x cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy:

dx = 1

1 + t ² dt, sin ² x = t ²

1 + t ² , cos ² x = 1 1 + t ² . 3. Caªk¦ postaci R sin ^m x · cos ⁿ xdx, n, m ∈ N liczmy:

a) gdy m, n s¡ parzyste jak podpunkcie 2;

b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x.

4. Caªki postaci R sin ax sin bxdx, R cos ax cos bxdx, R sin ax cos bx obliczmy korzystaj¡c ze wzorów:

sin x sin y = 1

2 [cos(x − y) − cos(x + y)], cos x cos y = 1

2 [cos(x − y) + cos(x + y)], sin x cos y = 1

2 [sin(x − y) + sin(x + y)].

2