dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I 0 .in». 31 maja 2018

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .in». 31 maja 2018

Legalna ±ci¡ga na kolokwium nr 3

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów (nie dotyczy legalnej ±ci¡gi do kolokwium nr 2) jak równie» dopisywania dodatkowych informacji.

Przydatne wzory:

Wzór na przybli»one warto±ci:

f (x, y) ≈ f (x 0 , y 0 ) + ∂f

∂x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + ∂f

∂y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ), f (x, y, z) ≈ f (x 0 , y 0 , z 0 ) + ∂f

∂x (x 0 , y 0 , z 0 )(x − x 0 ) + ∂f

∂y (x 0 , y 0 , z 0 )(y − y 0 ) + ∂f

∂z (x 0 , y 0 , z 0 )(z − z 0 ).

Równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji

∂f

∂x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + ∂f

∂y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) − z − z 0
= 0. (1) Gradient: gradf(x 0 , y ₀ ) ^def = h _∂f

∂x (x ₀ , y ₀ ), ^∂f _∂y (x ₀ , y ₀ ) i . Pochodna kierunkowa:

∂f

∂~ v (x 0 , y 0 ) = gradf(x 0 , y 0 ) ◦ ~ v = ∂f

∂x (x 0 , y 0 )v 1 + ∂f

∂y (x 0 , y 0 )v 2 .

lub ∂f

∂~ v (x 0 , y 0 ) = gradf(x 0 , y 0 ) ◦ [cos α, cos β] = ∂f

∂x (x 0 , y 0 ) cos α + ∂f

∂y (x 0 , y 0 ) cos β, Ekstrema funkcji dwóch zmiennych: Niech

∂f

∂x (x 0 , y 0 ) = 0, ∂f

∂y (x 0 , y 0 ) = 0.

∆ 2 =     

∂

f

∂x

(x 0 , y 0 ) _∂x∂y ^∂

^f (x 0 , y 0 )

∂

f

∂y∂x (x ₀ , y ₀ ) ^∂ _∂y

^f

(x ₀ , y ₀ )     

oraz ∆ 1 = ∂ ² f

∂x ² (x 0 , y 0 ).

Wówczas:

a) je±li ∆ 2 > 0 oraz ∆ 1 > 0, to w punkcie (x 0 , y 0 ) funkcja f ma wªa±ciwe minimum lokalne;

b) je±li ∆ 2 > 0 oraz ∆ 1 < 0, to w punkcie (x 0 , y 0 ) funkcja f ma wªa±ciwe maksimum lokalne;

c) je»eli ∆ 2 < 0, to w punkcie(x 0 , y 0 ) funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.

Inne wzory:

• f (x) ^g(x)  ⁰

= f (x) ^g(x) · [g(x) · ln f (x)] ⁰

1