dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II, 2015/2016; 16 listopada 2015

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II, 2015/2016; 16 listopada 2015

Analiza matematyczna II-kolokwium I

Fakt 1. Niech f : X → Y oraz A, B ⊂ X, wówczas maj¡ miejsce wzory:

a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B);

b) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B);

c) f(A \ B) ⊃ f(A) − f(B).

Fakt 2. Niech f : X → Y oraz A, B ⊂ Y, wówczas maj¡ miejsce wzory:

a) f ⁻¹ (A ∪ B) = f ⁻¹ (A) ∪ f ⁻¹ (B);

b) f ⁻¹ (A ∩ B) = f ⁻¹ (A) ∩ f ⁻¹ (B);

c) f ⁻¹ (A \ B) = f ⁻¹ (A) − f ⁻¹ (B).

Fakt 3. Niech f : X → Y i niech (A t ) _t∈T b¦dzie rodzin¡ zbiorow tak¡, »e A t ⊂ X oraz (B t ) _t∈T b¦dzie rodzin¡

zbiorow tak¡, »e B t ⊂ Y, wówczas zachodz¡ wzory:

a) f  S

t∈T

A t



= S

t∈T

f (A t );

b) f

 T

t∈T

A t



⊂ T

t∈T

f (A t );

c) f ⁻¹

 S

t∈T

A t



= S

t∈T

f ⁻¹ (A t );

d) f ⁻¹  T

t∈T

A _t



= T

t∈T

f ⁻¹ (A _t ).

Denicja 1. Funkcj¦ zbioru µ : F → [0, +∞] okre±lon¡ na σ−ciele podzbiorów zbioru Ω nazywamy miar¡, je»eli:

1) µ(∅) = 0;

2) µ  _∞ S

n=1

A n



=

∞

P

n=1

µ(A n ), gdzie A 1 , A 2 , ... ∈ F oraz A i ∩ A j = ∅ dla i 6= j.

Twierdzenie 4. (Wªasno±ci miary) Niech (Ω, µ) jest przzestrzeni¡ z miar¡ µ : F → [0, +∞], wówczas:

a) ∀ A,B∈F A ⊂ B ⇒ µ(A) ≤ µ(B);

b) ∀ A,B∈F A ⊂ B ∧ µ(A) < +∞ ⇒ µ(B \ A) = µ(B) − µ(A);

c) µ  _∞ S

n=1

A n



≤

∞

P

n=1

µ(A n ) dla ka»dego ci¡gu (A n ) zbiorów mierzalnych;

d) µ

 _∞ S

n=1

A _n



= 0 dla ka»dego ci¡gu (A n ) zbiorów mierzalnych miary zero;

e) ∀ A,B∈F µ(B) = 0 ⇒ µ(A \ B) = µ(A) = µ(A ∪ B);

f) µ

 _∞ S

n=1

A n



=

∞

P

n=1

µ(A n ) dla ka»dego cigu zbiorów mierzalnyc (A n ) takich, »e µ(A i ∩ A j ) = 0, i 6= j.

g) µ  _∞ S

n=1

A _n



= lim

n→∞ µ(A _n ) dla ka»dego ci¡gu zbiorów mierzalnych, takiego »e A 1 ⊂ A ₂ ⊂ ...;

h) µ  _∞ T

n=1

A n



= lim

n→∞ µ(A n ) dla ka»dego ci¡gu zbiorów mierzalnych, takiego »e A 1 ⊃ A 2 ⊃ ... oraz µ(A 1 ) < +∞.

Denicja 2. (funkcja mierzalna)

Niech F b¦dzie σ− ciaªem podzbiorów zbioru Ω. Funkcj¦ f : A → R, gdzie A ⊂ Ω nazywamy mierzaln¡ (σ−

mierzaln¡), je»eli dla ka»dej liczby a ∈ R zbiór

{x ∈ A; f (x) < a} ∈ F .

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II, 2015/2016; 16 listopada 2015

Wniosek 5. Mierzalno±¢ funkcji f oznacza, »e dla dowolnej liczby rzeczywistej a przeciwobraz f ⁻¹ (−∞, a)
nale»y do σ−algebry F.

Twierdzenie 6. Niech F b¦dzie σ− ciaªem podzbiorów zbioru Ω, f : A → R, gdzie A ⊂ Ω. Nast¦puj¡ce warunki s¡

równowa»ne:

a) ∀ a∈R {x ∈ A; f (x) < a} ∈ F ; b) ∀ a∈R {x ∈ A; f (x) ≤ a} ∈ F ; c) ∀ a∈R {x ∈ A; f (x) > a} ∈ F ; d) ∀ a∈R {x ∈ A; f (x) ≥ a} ∈ F . Denicja 3. (caªki Lebesque'a)

Niech (R ⁿ , L, l) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡ Lebesgue'a. Caªk¦ Lebegue'a po zbiorze A z funkcji f ∈ L wzgl¦dem miary l oznaczamy przez R

A

f dl i deniujemy w nast¦puj¡cy sposób:

a) je»eli f jest funkcj¡ prost¡ tzn. przyjmuj¡c¡ sko«czon¡ liczb¦ sko«czonych warto±ci na zbiorze A to:

Z

A

f dl := a ₁ l(A ₁ ) + a ₂ l(A ₂ ) + · · · + a _n l(A _n ) =

∞

X

n=1

a _i · l(A i ),

gdzie A i := f ⁻¹ ({a i });

b) je»eli f jest nieujemn¡ funkcj¡ mierzaln¡ to:

Z

A

f dl := lim

n→∞

Z

A

f _n dl,

gdzie (f n ) jest dowolnym niemalej¡cym ci¡giem funkcji prostych zbie»nych punktowo w zbiorze A do funkcji f ;

c) je»eli f jest funkcj¡ mierzaln¡ (rownie» ujemn¡) to:

Z

A

f dl :=

Z

A

f ⁺ dl − Z

A

f ⁻ dl,

gdzie f ⁺ = max{f (x), 0}, f ⁻ = min{−f (x), 0} oraz R _A f ⁺ dl lub R _A f ⁻ dl jest liczb¡ sko«czon¡.

Twierdzenie 7. (tw. Lebegue'a o monotonicznym przechodzeniu pod znakiem caªki) Niech A ∈ L. Je»eli (f n ) : A → R ⁺ jest:

a) rosn¡cym ci¡giem nieujemnych (tzn. 0 ≤ f 1 (x) ≤ f 2 (x) ≤ · · · ) funkcji mierzalnych lub

b) malej¡cym ciagiem (tzn. f 1 (x) ≥ f ₂ (x) ≥ f ₃ (x) ≥ · · · ) funkcji caªkowalnych oraz

f (x) = lim

n→∞ f n (x) dla x ∈ A.

Wówczas

n→∞ lim Z

A

f _n dl = Z

A

f dl.

Twierdzenie 8. (Lebegue'a o zbie»no±ci zmajoryzowanej)

Niech (f n ) b¦dzie ci¡giem funkcji mierzalnych okre±lonych na zbiorze A. Ponadto istnieje caªkowalna na zbiorze A funkcja g taka, »e |f n | ≤ g dla ka»dego naturalnego n. Wówczas granica lim

n→∞ f n jest funkcj¡ caªkowaln¡ oraz

n→∞ lim Z

A

f n dl = Z

A

n→∞ lim f n dl.

2

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II, 2015/2016; 16 listopada 2015

Twierdzenie 9. (caªka Riemanna a Lebesgue'a)

Niech b¦dzie dana ograniczona funkcja f : [a, b] → R. Wówczas:

a) je»eli funkcja f jest caªkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b], to jest mierzalna i caªkowalna w sensie Lebesgue'a na tym przedziale oraz obie caªki s¡ równe:

b

Z

a

f (x)dx = Z

[a,b]

f (x)dl(x)

b) funkcja f jest caªkowalna w sensie Riemana na przedziale [a, b], wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór punktów nieci¡gªo±ci jest miary Lebesgue'a zero.

Denicja 4. (patrz S. Tymowski)

Je»eli funkcja f : (a, b) → R, gdzie (a, b) ⊂ R jest przedziaªem ograniczonym lub nie, jest caªkowalna w sensie Lebesgue'a na kazdym podprzedziale [a ⁰ , b ⁰ ] ⊂ (a, b) i istnieje granica

lim

a0 →a+

b0 →b−

Z

[a

⁰

,b

⁰

]

f dl

sko«czona lub nie, to nazywamy j¡ caªk¡ niewªasciw¡ Lebesque'a funkcji f.

Twierdzenie 10. Je»eli funkcja f : (a, b) → R, gdzie (a, b) ⊂ R jest przedziaªem ograniczonym lub nie, jest mierzalna w sensie Lebesgue'a i istnieje (w R) caªka niewla±ciwa Riemana R ^b

a

f (x)dx to istnieje caªka niewªa±ciwa Lebesgue'a i obie caªki s¡ równe.

Twierdzenie 11. (caªkowanie szeregów nieujemnych wyraz za wyrazem)

Je»eli (f n ) jest ci¡giem nieujemnych funkcji mierzalnych okre±lonych na zbiorze A, to Z

A

∞

X

n=1

f n dl =

∞

X

n=1

Z

A

f n dl.

Twierdzenie 12. (o caªkowaniu szeregów)

Niech (f n ) b¦dzie ci¡giem funkcji caªkowalnych na zbiorze mierzalnym A. Je»eli P ^∞

n=1

R

A

|f n |dl < ∞, to funkcja P ^∞

n=1

f n

jest caªkowalna oraz

Z

A

∞

X

n=1

f n dl =

∞

X

n=1

Z

A

f n dl.

Twierdzenie 13. (Fubiniego)

Niech (X, F 1 , µ) oraz (Y, F 2 , ν) b¦d¡ przestrzeniami z miarami σ−sko«czonymi oraz f : X × Y → R jest funkcj¡

mierzaln¡ wzgl¦dem F 1 × F 2 oraz f ∈ L 1 (X × Y ). Wówczas: funkcje:

f y (x) = Z

Y

f (x, y)dν(y), f x (y) = Z

X

f (x, y)dµ(x) (1)

s¡ okre±lona prawie wsz¦dzie, nale»¡ odpowiednio do L 1 (X, F ₁ , µ), L ₁ (Y, F ₂ , ν) oraz zachodz¡ równo±ci:

Z

X×Y

f (x, y)d(µ × ν)(x, y) = Z

X



 Z

Y

f (x, y)dν(y)



 dµ(x) = Z

Y



 Z

X

f (x, y)dµ(x)



 dν(y). (2)

Twierdzenie 14. (Tonellego)

Je»eli funkcja f : X × Y → R jest mierzalna i nieujemna to funkcje f y , f x okre±lone wzorem (1) s¡ mierzalne i zachodz¡ równo±ci (2).

3

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna II, 2015/2016; 16 listopada 2015

Twierdzenie 15. (caªkowanie przez podstawienie)

Niech T : U → V b¦dzie dyfeomorzmem (odwzorowanie ró»nowarto±ciowe, nieosobliwe klasy C ¹ , takie, »e T ⁻¹ jest ci¡gªe), gdzie U, V ⊂ R ⁿ , U − zbiór otwarty. Ponadto, niech b¦dzie dana funkcja f okre±lona na zbiorze T(U).Wówczas:

a) funkcja f jest caªkowalna na zbiorze T (U) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f(T (t))J (T ),

b) je»eli funkcja f jest mierzalna i nieujemna lub caªkowalna na T (U), to zachodzi tzw. wzór na caªkowanie przez podstawienie:

Z

T (U )=V

f (x)dx = Z

U

f T (t)


J (T (t)) 

dt ( w sensie Lebegue'a),

gdzie J (T ) oznacza jakobian przeksztaªcenia T.

4