dr Krzysztof ›yjewski In»ynieria Przetwórstwa ›ywno±ci; S-I 0 .in». 30 listopada 2018

dr Krzysztof ›yjewski In»ynieria Przetwórstwa ›ywno±ci; S-I ⁰ .in». 30 listopada 2018

Legalna ±ci¡ga kolokwium 1

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodatkowych informacji.

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n = 0, b) lim

n→∞

1

n

^α

= 0, α > 0 c) lim

n→∞ n ^α = +∞, α > 0 d) lim

n→∞ a ⁿ = 0, |a| < 1 e) lim

n→∞ a ⁿ = ∞, a > 1 f ) lim

n→∞

√

n

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

√

n

n = 1 h) lim

n→∞

n

^α

a

ⁿ

= 0 α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

log

_a

n

n = 0, n > 1 j) lim

n→∞

n

ⁿ

n! = ∞ k) lim

n→∞ a ⁿ = ∞, a > 1 l) lim

n→∞ a ⁿ = 0, |a| < 1 m) lim

n→∞ (1 + _n ¹ ) ⁿ = e n) lim

n→∞ (1 + _n ^a ) ⁿ = e ^a o) lim

n→∞ (1 + _a ¹

n

) ^a

ⁿ

= e.

Symbole nieoznaczone: ^∞ _∞ , ⁰ ₀ , ∞ − ∞, 0 · ∞, 1 ^∞ , 0 ⁰ , ∞ ⁰ . Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀ ^a

+

= ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0

⁺

= −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀ ^a

−

= −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0

⁻

= ∞, −∞ ≤ a < 0

a ^∞ = 0, 0 ⁺ ≤ a < 1 a ^∞ = ∞, 1 < a ≤ ∞

∞ ^a = 0, −∞ ≤ a < 0 ∞ ^a = ∞, 0 < a ≤ ∞ Warunek konieczny zbie»no±ci szeregu: Je±li szereg P ^∞

n=1

a n jest zbie»ny to lim

n→∞ a n = 0.

Krterium porównawcze: Niech 0 ≤ a n ≤ b _n dla ka»dego n > n 0 , n 0 ∈ N. Je±li zbie»ny jest szereg

∞

P

n=1

b n

to zbie»ny jest szereg P ^∞

n=1

a n . Je±li P ^∞

n=1

a n = ∞ to P ^∞

n=1

b n = ∞

Krterium d'Alamberta: Niech a n ≥ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

a

n+1

a

n

∈ [0, 1) ∪ (1, ∞] . Wówczas je±li g ∈ [0, 1) to szereg P ^∞

n=1

a n jest zbie»ny. Je±li g ∈ (1, ∞] to szereg P ^∞

n=1

a n jest rozbie»ny.

Krterium Cauchy'ego: Niech a n ≥ 0 dla n ∈ N i istnieje granica g := lim

n→∞

√

n

a n ∈ [0, 1) ∪ (1, ∞] . Wówczas je±li g ∈ [0, 1) to szereg P ^∞

n=1

a n jest zbie»ny. Je±li g ∈ (1, ∞] to szereg P ^∞

n=1

a n jest rozbie»ny.

Kryterium Leibniza: Niech szereg naprzemienny ma posta¢: P ^∞

n=1

(−1) ⁿ⁺¹ a n , gdzie a n > 0 Wówczas, aby wykaza¢ zbie»no±¢ tego szeregu z kryterium Leibniza nale»y stwierdzi¢, »e:

• lim

n→∞ a n = 0

• ci¡g (a n ) pocz¡wszy od pewnego wyrazu n 0 jest malej¡cy.

Szereg harmoniczny: Szeregiem harmonicznym o wykªadniku α ∈ R nazywamy szereg postaci P ^∞

n=1 1 n

^α

. Szereg ten jest zbie»ny dla α > 1.

Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, b) lim

x→0 tg x

x = 1, α > 0 c) lim

x→±∞ 1 + ^a _x
x

= e ^a , a ∈ R d) lim

x→0 (1 + x)

^x1

= e e) lim

x→0 arcsin x

x = 1 f ) lim

x→0 arctg x

x = 1 Inne przydatne wzory:

a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos ² α − sin ² α, c) sin ² α = ^1−cos ₂

²

^α , d) cos ² α = ^1+cos ₂

²

^α ,

e) sin α + sin β = 2 sin ^α+β ₂ cos ^α−β ₂ , f) sin α − sin β = 2 sin ^α−β ₂ cos ^α+β ₂ , g) cos α − cos β = −2 sin ^α+β ₂ sin ^α−β ₂ , h) cos α = sin ^π ₂ − α

i) a ² − b ² = (a − b)(a + b), j) a ³ ± b ³ = (a ± b)(a ² ∓ ab + b ² ).

1