Zadania z Geometrii rzutowej i rzutowo-metrycznej
Seria 9. – na wtorek 20.05.2014
Zadanie 1. Proste P A i P B są styczne do paraboli. Wykazać, że prosta łącząca P ze środkiem odcinka AB jest równoległa do osi paraboli.
Zadanie 2. Wykazać, że w dowolnym trójkącie opisanym na paraboli ortocentrum leży na jej kierownicy.
Zadanie 3. Dane są dwie styczne do paraboli, punkt styczności jednej z nich i kierunek osi. Przez dany punkt na jednej ze stycznych poprowadzić drugą styczną do paraboli.
Zadanie 4. Danych jest pięć punktów hiperboli, w tym jeden niewłaściwy. Znaleźć jej drugi punkt niewłaściwy.
Zadanie 5. Danych jest pięć punktów hiperboli, w tym jeden niewłaściwy. Poprowadzić asymptotę przechodzącą przez ten punkt.
Zadanie 6. Dane są trzy punkty hiperboli i jedna z asymptot. Skonstruować styczną w jednym z danych punktów.
Zadanie 7. Dane są trzy punkty hiperboli, w tym jeden niewłaściwy, i styczne w dwóch danych punktach właściwych; przez jeden z danych punktów właściwych przechodzi prosta d. Znaleźć drugi punkt przecięcia d z hiperbolą.
Zadanie 8. Dane są dwie asymptoty hiperboli i jeden z jej (właściwych) punktów. Skon- struować styczną w tym punkcie.
Zadanie 9. Dane są dwie asymptoty i (jedna) styczna do hiperboli. Skostruować punkt styczności tej stycznej.
Zadanie 10. Punkty A i B leżą na hiperboli. Odcinek AB jest przekątną równoległoboku o bokach równoległych do asymptot tej hiperboli. Wykazać, że druga przekątna przechodzi przez środek hiperboli.
Zadanie 11. Wykazać, że ortocentrum trójkąta wpisanego w hiperbolę równoramienną także leży na tej hiperboli.
Zadanie 12. Dany jest trójkąt A1B1C1 i dwa punkty A2 i C2 leżące w jego płaszczyźnie.
Przez punkt B1 przechodzi dowolna (też leżąca w płaszczyźnie trójkąta) prosta d. Punkt B2 jest skonstruowany w następujący sposób:
A1A2× C1C2 = B3, A1A2× d = C3, C1C2× d = A3, A1C1× A2C2= B4, A1B1× B4A3 = C4, A2C4× d = B2.
Wykazać, że przy obracaniu prostej d wokół punktu B1 punkt B2 opisze stożkową prze- chodzącą przez A2 i B1.
Zadanie 13. Znaleźć środek stożkowej danej przez jej pięć punktów.
Zadanie 14. Dane jest pięć punktów stożkowej, określić kierunki asymptot (jeśli istnieją).
Zadanie 15. Udowodnić następujące stwierdzenie: jeśli punkty A2, B2i C2leżą na bokach trójkąta ABC i są harmonicznie sprzężone względem (odpowiednio) jego wierzchołków z punktami A1, B1 i C1, w których prosta d przecina boki trójkąta, to proste AA2, BB2 i CC2 przecinają się w jednym punkcie.
1
