Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 1. (na piatek 9.03.2018)
Zadanie 1. Załóżmy, że funkcja f : R → R jest ciągła, granice lim
x→−∞f (x) i lim
x→∞f (x) istnieją i są skończone. Wykaż, że wówczas f jest jednostajnie ciągła na R.
Zadanie 2. Zbadaj jednostajną ciągłość:
(a) f (x) = cos x cosπx na (0, 1), (b) f (x) = x sinx1 na (0, ∞).
Zadanie 3. Funkcja f : [0, ∞) → R jest jednostajnie ciągła. Dla każdego x 0 zachodzi limn→∞f (x + n) = 0. Wykaż, że lim
x→∞f (x) = 0.
Zadanie 4. Niech f : [1, ∞) będzie jednostajnie ciągła. Udowodnić, że istnieje takie M ∈ R, że dla wszystkich x 1 zachodzi nierówność |f (x)|x ¬ M .
Zadanie 5. Niech f : R → R będzie funkcją jednostajnie ciągłą. Wykaż, że jeśli funkcja |x|f (x) jest jednostajnie ciągła na R, to dla dowolnej funkcji jednostajnie ciągłej g : R → R iloczyn f g jest funkcją jednostajnie ciągłą na R.
Wskazówki. Można na przykład osobno rozpatrzyć okolice zera i resztę dziedziny. Ustalmy ε > 0.
(a) (0.25p) Wykaż, że istnieje δ1> 0 takie, że jeśli |x1| < δ1i |x2| < δ2, to |f (x1)g(x1) − f (x2)g(x2)| < ε.
(b) (0.75p) Jeśli x1> δ1, to udowodnij, że można oszacować
|f (x1)g(x1) − f (x2)g(x2)| ¬|g(x1)|
|x1| (||x1|f (x1) − |x2|f (x2)| + |f (x2)||x2− x1|) + |f (x2)||g(x1) − g(x2)|, a następnie skorzystaj z zadania 4 dla funkcji g(x) i |x|f (x).
1
